山西省晉中市祁縣二中2025年數學高二下期末經典試題含解析

山西省晉中市祁縣二中2025年數學高二下期末經典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知分別是的內角的的對邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形2．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數是()A．420 B．210 C．70 D．353．形狀如圖所示的2個游戲盤中（圖①是半徑為2和4的兩個同心圓，O為圓心；圖②是正六邊形，點P為其中心）各有一個玻璃小球，依次搖動2個游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲，則一局游戲后，這2個盤中的小球都停在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．4．已知某產品連續4個月的廣告費用（千元）與銷售額（萬元），經過對這些數據的處理，得到如下數據信息：①廣告費用和銷售額之間具有較強的線性相關關系；②；③回歸直線方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；那么，廣告費用為8千元時，可預測銷售額約為（）A．4.5萬元 B．4.9萬元 C．6.3萬元 D．6.5萬元5．已知是虛數單位，則（）A． B． C． D．6．閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于()A．38 B．40 C．20 D．327．觀察下列各式：，則的末尾兩位數字為（）A．49 B．43 C．07 D．018．在極坐標系中,點與之間的距離為(

)A．1 B．2 C．3 D．49．袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（）A．310B．35C．110．對變量x,y有觀測數據(xi,yiA．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關11．設，則的值為()A．2 B．2046 C．2043 D．－212．已知數列是等比數列，其前項和為，，則（）A． B． C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是純虛數（i為虛數單位），則實數m的值為_______．14．如圖所示，函數的圖象由兩條射線和三條線段組成．若,，則正實數a的取值范圍是_________．15．在空間四邊形中，若分別是的中點，是上點，且，記，則_____.16．將參數方程（為參數）化成普通方程為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）求證：函數和在公共定義域內，恒成立；（3）若存在兩個不同的實數，，滿足，求證：．18．（12分）某大學學生會為了調查了解該校大學生參與校健身房運動的情況，隨機選取了100位大學生進行調查，調查結果統計如下：參與不參與總計男大學生30女大學生50總計45100（1）根據已知數據，把表格數據填寫完整；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為參與校健身房運動與性別有關？請說明理由.附：，其中.0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）某技術人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術人員從中隨機抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統計,繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內的植物有8株,在內的植物有2株.(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內的植物中隨機抽取3株,設隨機變量表示所抽取的3株高度在內的株數,求隨機變量的分布列及數學期望;(Ⅲ)據市場調研,高度在內的該植物最受市場追捧.老王準備前往該基地隨機購買該植物50株.現有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費,其中高度在內的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數來付費,每株6元.請你根據該基地該植物樣本的統計分析結果為決策依據,預測老王采取哪種付費方式更便宜?20．（12分）已知數列是公差不為的等差數列，，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.21．（12分）證明：當時，.22．（10分）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，且與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的標準方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由已知結合正弦定理可得利用三角形的內角和及誘導公式可得，整理可得從而有結合三角形的性質可求【詳解】解：是的一個內角，，由正弦定理可得，又，，即為鈍角，故選A．本題主要考查了正弦定理，三角形的內角和及誘導公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎試題．2、A【解析】

將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【詳解】按照的順序：當相同時：染色方案為當不同時：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A本題考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分為相同和不同兩種情況是解題的關鍵.3、A【解析】

先計算兩個圖中陰影面積占總面積的比例，再利用相互獨立事件概率計算公式，可求概率.【詳解】一局游戲后，這2個盤中的小球停在陰影部分分別記為事件，，由題意知，，相互獨立，且，，所以“一局游戲后，這2個盤中的小球都停在陰影部分”的概率為.故選A.本題考查幾何概型及相互獨立事件概率的求法，考查了分析解決問題的能力，屬于基礎題.4、C【解析】

由已知可求出，進而可求出，即可得到回歸方程，令，可求出答案.【詳解】由題意，，因為，所以，則回歸直線方程為.當時，.故選C.本題考查了線性回歸方程的求法，考查了計算能力，屬于基礎題.5、B【解析】

根據復數的乘法運算法則，直接計算，即可得出結果.【詳解】.故選B本題主要考查復數的乘法，熟記運算法則即可，屬于基礎題型.6、B【解析】

模擬程序,依次寫出各步的結果,即可得到所求輸出值．【詳解】程序的起始為第一次變為第二次變為第三次變為第四次變為滿足條件可得故選：B.本題考查程序框圖中的循環結構,難度較易.7、B【解析】

通過觀察前幾項，發現末尾兩位數分別為49、43、01、07，以4為周期重復出現，由此即可推出的末尾兩位數字。【詳解】根據題意，得，發現的末尾兩位數為49，的末尾兩位數為43，的末尾兩位數為01，的末尾兩位數為07，（）；由于，所以的末兩位數字為43；故答案選B本題以求的末尾兩位數的規律為載體，考查數列的通項公式和歸納推理的一般方法的知識，屬于基礎題。8、B【解析】

可先求出判斷為等邊三角形即可得到答案.【詳解】解析：由與,知,所以為等邊三角形,因此本題主要考查極坐標點間的距離，意在考查學生的轉化能力及計算能力，難度不大.9、C【解析】試題分析：因為第一次摸到紅球的概率為35，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅球的概率為35×考點：1、條件概率；2、獨立事件．10、C【解析】試題分析：由散點圖1可知，點從左上方到右下方分布，故變量x與y負相關；由散點圖2可知，點從左下方到右上方分布，故變量u與v正相關，故選C考點：本題考查了散點圖的運用點評：熟練運用隨機變量的正負相關的概念是解決此類問題的關鍵，屬基礎題11、D【解析】分析：先令得，再令得，解得結果.詳解：令得令得=0因此，選D.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數之和，只需令即可.12、A【解析】

由題意，根據等比數列的通項公式和求和公式，求的公比，進而可求解，得到答案．【詳解】由題意得，，，公比，則，故選A．本題主要考查了等比數列的通項公式和求和公式的應用，其中解答中熟記等比數列的通項公式和求和公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1.【解析】分析：由復數的實部等于0且虛部不等于0列式求解m的值.詳解：由復數是純虛數，得，解得.故答案為-1.點睛：本題考查了復數的基本概念，考查了復數是純虛數的條件.14、【解析】試題分析：由已知可得且，若，則，解得，所以實數的取值范圍是.考點：函數圖象的應用.【方法點晴】本題主要考查了函數的圖象及其應用，其中解答中涉及函數的圖象及其簡答的性質，全稱命題、函數的恒成立問題等知識點的綜合考查，其中解答中根據已知條件和函數的圖象，列出相應的不等式組是解答本題的關鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及轉化與化歸思想的應用，屬于中檔試題.15、【解析】

由條件可得【詳解】因為，分別是的中點所以所以故答案為：本題考查的是空間向量的線性運算，較簡單.16、.【解析】

在參數方程中利用加減消元法或代入消元法消去參數，可將參數方程化為普通方程.【詳解】由得，兩式相加得，即，因此，將參數方程（為參數）化成普通方程為，故答案為.本題考查參數方程與普通方程的互化，將直線的參數方程化普通方程，常見的有代入消元法和加減消元法，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）增區間為,減區間為；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】分析：（1）構造函數，對函數求導，得到得到導函數的正負，進而得到單調區間和極值；（2）構造函數,對函數和求導研究函數的單調性進而得到函數的最值，使得最小值大于2即可；（3）要證原式只需要證，故得到即證：，變量集中設即可,轉化為關于t的不等式.詳解：(1)函數的定義域為,,故當時,,當時,,故函數的單調增區間為,單調減區間為;(2)證明:函數和的公共定義域為,,設,則在上單調遞增,故;設,當時有極大值點,;故;故函數和在公共定義域內,.(3)證明:不妨設,由題意得,,;所以;而要證,只需證明;即證明;即證明;即證明,;令,則;即證明;設;則,故函數在區間上是增函數,所以,即;所以不等式成立.點睛：利用導數證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數.根據差函數導函數符號，確定差函數單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式；2）根據條件，尋找目標函數.一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數轉化為一元函數.18、（1）見解析（2）能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為參與校健身房運動與性別有關【解析】

（1）根據表格內的數據計算即可.（2）將表格中的數據代入公式，計算即可求出k的取值，根據參考值得出結論.【詳解】解：（1）參與不參與總計男大學生302050女大學生153550總計4555100（2）因為的觀測值，所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為參與校健身房運動與性別有關．本題考查列聯表和獨立性檢驗的應用，屬于基礎題.19、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)方案一付費更便宜.【解析】

(Ⅰ)由題目條件及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y．(Ⅱ)由題意可知，高度在[80，90）內的株數為5，高度在[90，100]內的株數為2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）內的株數X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．(Ⅲ)根據(Ⅰ)所得結論，分別計算按照方案一購買應付費和按照方案二購買應付費，比較結果即可得按照方案一付費更便宜.【詳解】(Ⅰ)由題意可知，樣本容量,，.(Ⅱ)由題意可知,高度在[80,90)內的株數為5,高度在[90,100]內的株數為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內的株數X的可能取值為1,2,3,則，，,∴X的分布列為：X123P故.(Ⅲ)根據(Ⅰ)所得結論，高度在內的概率為，按照方案一購買應付費元，按照方案二購買應付費元，故按照方案一付費更便宜.本題考查頻率分布直方圖、分布列和數學期望，考查能否根據頻率分布直方圖得出每一組的概率以及一組的數據計算總體，求隨機變量的分布列的主要步驟：①明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；②求每一個隨機變量取值的概率；③列成表格，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力，屬于中等題.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據等差數列的定義和，，成等比數列代入公式得到方程，解出答案.(2)據(1)把通項公式寫出,根據裂項求和的方法求得.【詳解】解：(1)，，成等比數列,則或(舍去)所以（2）本題考查了公式法求數列通項式，裂項求和方法求，屬于基礎題.21、見解析【解析】分析：（1）記，則，分x∈與x∈兩類討論，可證得