浙江專用2025版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí)第十章計數(shù)原理10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理講義含解析

PAGEPAGE12§10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理最新考綱考情考向分析理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.以理解和應(yīng)用兩個基本原理為主，常以實(shí)際問題為載體，突出分類探討思想，留意分析問題、解決問題實(shí)力的考查，常與排列、組合學(xué)問交匯；兩個計數(shù)原理在高考中單獨(dú)命題較少，一般是與排列組合結(jié)合進(jìn)行考查；兩個計數(shù)原理的考查一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn).1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事須要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.3.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)分分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.概念方法微思索1.在解題過程中如何判定是用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？提示假如已知的每類方法中的每一種方法都能完成這件事，應(yīng)當(dāng)用分類加法計數(shù)原理；假如每類方法中的每一種方法只能完成事務(wù)的一部分，就用分步乘法計數(shù)原理.2.兩種原理解題策略有哪些？提示①分清要完成的事情是什么；②分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間相互獨(dú)立，“步”間相互聯(lián)系；③有無特別條件的限制；④檢驗(yàn)是否有重復(fù)或遺漏.題組一思索辨析1.推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能干脆完成這件事.(√)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成.(√)(4)假如完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1，2，3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法.(√)(5)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(√)題組二教材改編2.[P12A組T5]已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、其次象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是()A.12B.8C.6D.4答案C解析分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種狀況，其次步再確定縱坐標(biāo)，有2種狀況，因此第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個數(shù)是3×2＝6，故選C.3.[P10練習(xí)T4]已知某公園有4個門，從一個門進(jìn)，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為()A.16B.13C.12D.10答案C解析將4個門編號為1，2，3，4，從1號門進(jìn)入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2，3，4號門進(jìn)入，同樣各有3種走法，即進(jìn)門有4種走法，出門有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理得，共有不同走法4×3＝12(種).題組三易錯自糾4.從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24B.18C.12D.6答案B解析分兩類狀況探討：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個)奇數(shù).依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個)奇數(shù).5.現(xiàn)用4種不同顏色對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A.24種 B.30種C.36種 D.48種答案D解析須要先給C塊著色，有4種方法；再給A塊著色，有3種方法；再給B塊著色，有2種方法；最終給D塊著色，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×3×2×2＝48(種)著色方法.6.假如把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個.答案12解析當(dāng)組成的數(shù)字有三個1，三個2，三個3，三個4時共有4種狀況.當(dāng)有三個1時：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9種，當(dāng)有三個2，3，4時：2221，3331，4441，有3種，依據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果.題型一分類加法計數(shù)原理1.滿意a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A.14B.13C.12D.10答案B解析方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的狀況應(yīng)分類探討.①當(dāng)a＝0時，方程為一元一次方程2x＋b＝0，不論b取何值，方程肯定有解.此時b的取值有4個，故此時有4個有序數(shù)對.②當(dāng)a≠0時，須要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.明顯有3個有序數(shù)對不滿意題意，分別為(1，2)，(2，1)，(2，2).a≠0時，(a，b)共有3×4＝12個實(shí)數(shù)對，故a≠0時滿意條件的實(shí)數(shù)對有12－3＝9個，所以答案應(yīng)為4＋9＝13.2.假如一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿意a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么全部凸數(shù)的個數(shù)為()A.240B.204C.729D.920答案A解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個.若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個).若a2＝4，滿意條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)，…，若a2＝9，滿意條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個).所以全部凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個).3.定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對隨意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個 B.16個C.14個 D.12個答案C解析第一位為0，最終一位為1，中間3個0，3個1，3個1在一起時為000111，001110；只有2個1相鄰時，共Aeq\o\al(2,4)個，其中110100，110010，110001，101100不符合題意；三個1都不在一起時有Ceq\o\al(3,4)個，共2＋8＋4＝14(個).思維升華分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞，關(guān)鍵元素，關(guān)鍵位置.(1)依據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時應(yīng)留意完成這件事情的任何一種方法必需屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.題型二分步乘法計數(shù)原理例1(1)如圖，小明從街道的E處動身，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12D.9答案B解析從E點(diǎn)到F點(diǎn)的最短路徑有6條，從F點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有3條，所以從E點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B.(2)有六名同學(xué)報名參與三個智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報一人，且每人至多參與一項(xiàng)，則共有________種不同的報名方法.答案120解析每項(xiàng)限報一人，且每人至多參與一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個項(xiàng)目有6種選法，其次個項(xiàng)目有5種選法，第三個項(xiàng)目有4種選法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種).引申探究1.本例(2)中若將條件“每項(xiàng)限報一人，且每人至多參與一項(xiàng)”改為“每人恰好參與一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人都可以從這三個競賽項(xiàng)目中選報一項(xiàng)，各有3種不同的報名方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種).2.本例(2)中若將條件“每項(xiàng)限報一人，且每人至多參與一項(xiàng)”改為“每項(xiàng)限報一人，但每人參與的項(xiàng)目不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人參與的項(xiàng)目不限，因此每一個項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種).思維升華(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事務(wù)發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后依次的，并且分步必需滿意：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.(2)分步必需滿意兩個條件：一是步驟相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.跟蹤訓(xùn)練1一個旅游景區(qū)的巡游線路如圖所示，某人從P點(diǎn)處進(jìn)，Q點(diǎn)處出，沿圖中線路巡游A，B，C三個景點(diǎn)及沿途風(fēng)景，則不同(除交匯點(diǎn)O外)的巡游線路有______種.(用數(shù)字作答)答案48解析依據(jù)題意，從點(diǎn)P處進(jìn)入后，參觀第一個景點(diǎn)時，有6個路口可以選擇，從中任選一個，有6種選法；參觀完第一個景點(diǎn)，參觀其次個景點(diǎn)時，有4個路口可以選擇，從中任選一個，有4種選法；參觀完其次個景點(diǎn)，參觀第三個景點(diǎn)時，有2個路口可以選擇，從中任取一個，有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×4×2＝48(種)不同巡游線路.題型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用例2(1)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個.(用數(shù)字作答)答案1080解析①當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960.②當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(4,5)＝120.故符合題意的四位數(shù)一共有960＋120＝1080(個).(2)現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進(jìn)行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能運(yùn)用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是()A.120B.140C.240D.260答案D解析由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最終涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種).故選D.(3)假如一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A.60B.48C.36D.24答案B解析長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點(diǎn)的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.思維升華利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么.(4)利用兩個計數(shù)原理求解.跟蹤訓(xùn)練2(1)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A.144個B.120個C.96個D.72個答案B解析由題意，首位數(shù)字只能是4，5，若萬位是5，則有3×Aeq\o\al(3,4)＝72(個)；若萬位是4，則有2×Aeq\o\al(3,4)＝48(個)，故比40000大的偶數(shù)共有72＋48＝120(個).故選B.(2)假如一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是________.答案36解析第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個).(3)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部運(yùn)用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為________.答案96解析按區(qū)域1與3是否同色分類：①區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2，4，5(還有3種顏色)有Aeq\o\al(3,3)種方法.∴區(qū)域1與3同色時，共有4Aeq\o\al(3,3)＝24(種)方法.②區(qū)域1與3不同色：第一步涂區(qū)域1與3有Aeq\o\al(2,4)種方法，其次步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有1種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法.∴共有Aeq\o\al(2,4)×2×1×3＝72(種)方法.故由分類加法計數(shù)原理可知，不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96.1.集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，4，5，6，7，8，9}，從集合A，B中各取一個數(shù)，能組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為()A.52B.58C.64D.70答案B解析依據(jù)分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理得(Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3))·Aeq\o\al(2,2)＝58.2.三個人踢毽，相互傳遞，每人每次只能踢一下，由甲起先踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A.4種B.6種C.10種D.16種答案B解析分兩類：甲第一次踢給乙時，滿意條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿意條件的也有3種傳遞方式.由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式.3.十字路口來往的車輛，假如不允許回頭，則行車路途共有()A.24種B.16種C.12種D.10種答案C解析依據(jù)題意，車的行駛路途起點(diǎn)有4種，行駛方向有3種，所以行車路途共有4×3＝12(種)，故選C.4.若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)各位數(shù)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“快樂數(shù)”.例如：32是“快樂數(shù)”.因32＋33＋34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“快樂數(shù)”，因23＋24＋25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，那么，小于100的“快樂數(shù)”的個數(shù)為()A.9B.10C.11D.12答案D解析依據(jù)題意個位數(shù)n須要滿意n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，∴個位數(shù)可取0，1，2三個數(shù)，∵十位數(shù)k須要滿意3k<10，∴k<3.3，∴十位數(shù)可以取0，1，2，3四個數(shù)，故小于100的“快樂數(shù)”共有3×4＝12(個).故選D.5.如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在供應(yīng)5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有()A.120種B.260種C.340種D.420種答案D解析由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420.故選D.6.如圖，給7條線段的5個端點(diǎn)涂色，要求同一條線段的兩個端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有()A.24 B.48C.96 D.120答案C解析若A，D顏色相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有1種涂法，共有4×3×2＝24(種)；若顏色A，D不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當(dāng)B和D相同時，C有2種涂法，當(dāng)B和D不同時，C只有1種涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72(種)，依據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有24＋72＝96(種)，故選C.7.對33000分解質(zhì)因數(shù)得33000＝23×3×53×11，則33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是()A.48B.72C.64D.96答案A解析33000的因數(shù)由若干個2(共有23，22，21，20四種狀況)，若干個3(共有3，30兩種狀況)，若干個5(共有53，52，51，50四種狀況)，若干個11(共有111，110兩種狀況)，由分步乘法計數(shù)原理可得33000的因數(shù)共有4×2×4×2＝64(個)，不含2的共有2×4×2＝16(個)，∴正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)為64－16＝48，即33000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是48，故選A.8.從1，2，3，4，7，9六個數(shù)中，任取兩個數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則全部不同對數(shù)值的個數(shù)為________.答案17解析當(dāng)所取兩個數(shù)中含有1時，1只能作真數(shù)，對數(shù)值為0，當(dāng)所取兩個數(shù)中不含有1時，可得到Aeq\o\al(2,5)＝20(個)對數(shù)，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.綜上可知，共有20＋1－4＝17(個)不同的對數(shù)值.9.設(shè)a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有________個.答案27解析先考慮等邊的狀況，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六個，再考慮等腰的狀況，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此時c＝1與等邊重復(fù)，若a＝b＝2，c<a＋b＝4，則c＝1，3，有兩個，若a＝b＝3，c<a＋b＝6，則c＝1，2，4，5，有四個，若a＝b＝4，c<a＋b＝8，則c＝1，2，3，5，6，有五個，若a＝b＝5，c<a＋b＝10，則c＝1，2，3，4，6，有五個，若a＝b＝6，c<a＋b＝12，則c＝1，2，3，4，5，有五個，故一共有27個.10.(2024·湖州高考適應(yīng)性考試)將不同顏色的2個小球放入5個不同的盒子中，每個盒子最多可以放一個小球，則三個空盒中恰有兩個空盒相鄰的方法共有________種(用數(shù)字回答).答案12解析當(dāng)兩個空盒在兩邊位置時，則一個小球放在中間的盒子內(nèi)，另一個有兩種放法，此時有2×2×Aeq\o\al(2,2)＝8(種)放法；當(dāng)兩個空盒在中間位置時，則兩個小球放在這兩個空盒的兩邊位置，此時有2×Aeq\o\al(2,2)＝4(種)放法.綜上所述，不同的放法共有8＋4＝12(種).11.(2024·金華模擬)聯(lián)合國國際救濟(jì)組織安排向非洲三個國家救濟(jì)糧食和藥品兩種物資，每種物資既可以全部給一個國家，也可以由其中兩個或三個國家均分，若每個國家都要有物資救濟(jì)，則不同的救濟(jì)方案有________種.答案25解析依據(jù)題意，可分為：三個國家糧食和藥品都有，有1種方法；一個國家糧食，兩個國家藥品，有3種方法；一個國家藥品，兩個國家糧食，有3種方法；兩個國家糧食，三個國家藥品，有3種方法；兩個國家藥品，三個國家糧食，有3種方法；兩個國家糧食，兩個國家藥品，有3×2＝6種方法；三個國家糧食，一個國家藥品，有3種方法；三個國家藥品，一個國家糧食，有3種方法，故方法總數(shù)是25.12.(2024·杭州教學(xué)質(zhì)量檢測)盒子里有完全相同的6個球，每次至少取出1個球(取出不放回)，取完為止，則共有________種不同的取法(用數(shù)字作答).答案32解析由題意知，一次可以取球的個數(shù)為1，2，3，4，5，6，若一次取完可由1個6組成，共1種；兩次取完可由1與5，2與4，3與3組成，共5種；三次取完可由1，1，4或1，2，3或2，2，2組成，共10種；四次取完可由1，1，1，3或1，1，2，2組成，共10種；五次取完可由1，1，1，1，2組成，共5種；六次取完可由6個1組成，共1種.綜上，不同的取法一共有1＋5＋10＋10＋5＋1＝32(種).13.(2024·杭州其次中學(xué)模擬)工人在安裝一個正六邊形零件時，須要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按肯定依次將每個螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.答案60解析依據(jù)題意，第一個可以從6個螺栓里隨意選一個，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會相等的，若第一個選1號螺栓，其次個可以選3，4，5號螺栓，依次選下去，共可以得到10種方法，所以總共有10×6＝60種方法，故答案是60.14.已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，定義函數(shù)f：M→N.若點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，△ABC的外接圓圓心為D，且eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→))(λ∈R)，則滿意條件的函數(shù)f(x)有________種.答案12解析由eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→))(λ∈R)，說明△ABC是等腰三角形，且|BA|＝|BC|，必有f(1)＝f(3)，f(1)≠f(2).當(dāng)f(1)＝f(3)＝1時，f(2)＝2，3，4，有三種狀況；f(1)＝f(3)＝2，f(2)＝1，3，4，有三種狀況；f(1)＝f(3)＝3，f(2)＝2，1，4，有三種狀況；f(1)＝f(