2024年高考數學二輪復習專題五直線與圓圓錐曲線第1講直線與圓梯度訓練含解析新人教A版

PAGE14-第1講直線與圓選題明細表學問點·方法鞏固提高A鞏固提高B直線及其方程1,4,10兩條直線的位置關系2,84,9,15點到直線的距離16圓的方程3,5,1413直線與圓、圓與圓的位置關系6,9,11,15,162,6,11,12圓的弦長131,5,10,14綜合問題7,12,173,7,8,16鞏固提高A一、選擇題1.過點(2,1)且傾斜角比直線y=-x-1的傾斜角小的直線方程是(A)(A)x=2 (B)y=1 (C)x=1 (D)y=2解析:因為直線y=-x-1的斜率為-1,則傾斜角為,依題意,所求直線的傾斜角為-=,所以斜率不存在,所以過點(2,1)的直線方程為x=2.2.(2024·金麗衢十二校)設兩直線l1:(3+m)x+4y=5-3m與l2:2x+(5+m)y=8,則“l1∥l2”是“m<-1”的(A)(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析:若l1∥l2,則(3+m)(5+m)=4×2,解得m=-7或m=-1,當m=-1時,兩直線重合,當m=-7時l1∥l2,所以“l1∥l2”是“m<-1”的充分不必要條件.故選A.3.方程|y|-1=表示的曲線是(D)(A)一個橢圓 (B)一個圓(C)兩個圓 (D)兩個半圓解析:由題意知|y|-1≥0,則y≥1或y≤-1,當y≥1時,原方程可化為(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)為圓心、1為半徑、直線y=1上方的半圓;當y≤-1時,原方程可化為(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)為圓心、1為半徑、直線y=-1下方的半圓.所以方程|y|-1=表示的曲線是兩個半圓,選D.4.直線l過點P(-1,2)且與以點M(-3,-2),N(4,0)為端點的線段恒相交,則l的斜率取值范圍是(D)(A)[-,5](B)[-,0)∪(0,2](C)(-∞,-)∪[5,+∞)(D)(-∞,-]∪[2,+∞)解析:如圖,因為P(-1,2),M(-3,-2),N(4,0),所以kPM==2,kPN==-.由圖可知,使直線l與線段MN相交的l的斜率取值范圍是(-∞,-]∪[2,+∞).故選D.5.拋物線y2=4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A,B兩點,其準線與x軸的交點為M,則過M,A,B三點的圓的標準方程是(D)(A)x2+y2=5 (B)(x-1)2+y2=1(C)(x-1)2+y2=2 (D)(x-1)2+y2=4解析:由拋物線方程及題意知A(1,2),B(1,-2),M(-1,0),設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以解得從而所求方程為x2+y2-2x-3=0,即圓的標準方程為(x-1)2+y2=4.故選D.6.直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點,則△ECF的面積為(B)(A) (B)2 (C) (D)解析:由已知可得圓心到直線的距離為d=,所以|EF|=4,所以S△ECF=×4×=2.故選B.7.已知平面上兩點A(-a,0),B(a,0)(a>0),若圓C:(x-3)2+(y-4)2=1上存在點P,使得∠APB=90°,則a的取值范圍是(C)(A)[3,6] (B)[3,7] (C)[4,6] (D)[0,7]解析:因為圓C:(x-3)2+(y-4)2=1,所以圓心C(3,4),半徑r=1;設點P(m,n)在圓C上,則=(a+m,n),=(m-a,n);因為∠APB=90°,所以⊥,所以(m+a)(m-a)+n2=0,即a2=m2+n2,又|OP|=,|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4,所以a的取值范圍是[4,6].故選C.8.已知直線a2x+y+2=0與直線bx-(a2+1)y-1=0相互垂直,則|ab|的最小值為(C)(A)5 (B)4 (C)2 (D)1解析:由題意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=,所以|ab|=|a×|=|a+|=|a|+||≥2.當且僅當|a|=1時等號成立.故選C.二、填空題9.直線l:x=my+2與圓M:x2+2x+y2+2y=0相切,則m的值等于.

解析:圓心M(-1,-1),圓半徑為.由直線與圓相切得d==,得m=-7或m=1.答案:-7或110.過點(2,-3)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程為.

解析:若直線過原點,則直線方程為3x+2y=0;若直線不過原點,則斜率為1,方程為y+3=x-2,即為x-y-5=0,故所求直線方程為3x+2y=0或x-y-5=0.答案:3x+2y=0或x-y-5=011.動直線l:y=kx-k+1(k∈R)經過的定點坐標為,若l和圓C:x2+y2=r2恒有公共點,則半徑r的最小值是.

解析:當x=1時,y恒為1,故定點為(1,1),要直線和圓恒有公共點,則需(1,1)在圓內,即12+12≤r2,r≥.答案:(1,1)12.當方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓的面積取最大值時,直線y=(k-1)x+2的傾斜角α=.

解析:由題意可知,圓的半徑r==≤1,當半徑r取最大值時,圓的面積最大,此時k=0,r=1,所以直線方程為y=-x+2,則有tanα=-1,又α∈[0,π),故α=.答案:13.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦長為2,則a=.

解析:兩圓方程作差易知弦所在的直線方程為y=,如圖,由已知得|AC|=,|OA|=2,所以|OC|==1,所以a=1.答案:114.C的圓心在y軸正半軸上,且與x軸相切,被雙曲線x2-=1的漸近線截得的弦長為,則圓C的方程為.

解析:依題意得,題中的雙曲線的一條漸近線的斜率為,傾斜角為60°,結合圖形(圖略)可知,所求的圓C的圓心坐標是(0,1)、半徑是1,因此其方程是x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=115.直線y=-x+m與圓x2+y2=1在第一象限內有兩個不同的交點,則m的取值范圍是.

解析:當直線經過點(0,1)時,直線與圓有兩個不同的交點,且另一個交點在第一象限,此時m=1;當直線與圓相切時,圓心到直線的距離d==1,解得m=(切點在第一象限),所以要使直線與圓在第一象限內有兩個不同的交點,則1<m<.答案:(1,)16.當正實數m改變時,斜率不為0的定直線始終與圓(x-2m)2+(y+m)2=m2相切,則直線的方程為.

解析:設定直線的方程為y=kx+b,則=m,即(3k2+4k)m2+2b(2k+1)m+b2=0,因為該等式對隨意m>0成立,故3k2+4k=0,2b(2k+1)=0,b2=0,即k=-,b=0,則直線的方程為y=-x.答案:y=-x三、解答題17.已知點G(5,4),圓C1:(x-1)2+(y-4)2=25,過點G的動直線l與圓C1相交于E,F兩點,線段EF的中點為C,且C在圓C2上.(1)若直線mx+ny-1=0(mn>0)經過點G,求mn的最大值;(2)求圓C2的方程;(3)若過點A(1,0)的直線l1與圓C2相交于P,Q兩點,線段PQ的中點為M.l1與l2:x+2y+2=0的交點為N,求證:|AM|·|AN|為定值.解:(1)因為點G(5,4)在直線mx+ny-1=0上,所以5m+4n=1,5m+4n≥2(當且僅當5m=4n時取等號),所以1≥80mn,即mn≤,所以(mn)max=.(2)由已知得圓C1的圓心為(1,4),半徑為5,設C(x,y),則=(x-1,y-4),=(5-x,4-y),由題設知·=0,所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0,即(x-3)2+(y-4)2=4,所以C2的方程是(x-3)2+(y-4)2=4.(3)證明:當直線l1的斜率不存在時,直線l1與圓C2相切,當直線l1的斜率為0時,直線l1與圓C2相離,故設直線l1的方程為kx-y-k=0(k≠0).由直線l1與圓C2相交,得<2,解得k>.由得N(,-),又直線C2M與l1垂直,由得M(,),所以|AM|·|AN|=·=··=6(定值).鞏固提高B一、選擇題1.若過點M(1,1)的直線l與圓(x-2)2+y2=4相交于兩點A,B,且M為弦AB的中點,則|AB|為(A)(A)2 (B)4 (C) (D)2解析:圓心坐標為(2,0),半徑為2,因為[]2+()2=22,所以|AB|=2.故選A.2.已知圓x2+y2=4與直線x+y-t=0,則“t=2”是“直線與圓相切”的(A)(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件解析:由已知,令=2,所以t=±2.故選A.3.若圓C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)與圓C2:x2+y2-2by+b2-1=0(b∈R)恰有三條公切線,則a+b的最大值為(D)(A)-3 (B)-3 (C)3 (D)3解析:由已知得兩圓外切,則|C1C2|=r1+r2,C1(-a,0),C2(0,b),所以a2+b2=9,因為()2≤,所以a+b≤3.故選D.4.已知點A在直線x+2y-1=0上,點B在直線x+2y+3=0上,線段AB的中點為P(x0,y0),且滿意y0>x0+2,則的取值范圍為(A)(A)(-,-) (B)(-∞,-](C)(-,-] (D)(-,0)解析:設A(x1,y1),=k,則y0=kx0,因為AB的中點為P(x0,y0),所以B(2x0-x1,2y0-y1).因為A,B分別在直線x+2y-1=0和x+2y+3=0上,所以x1+2y1-1=0,2x0-x1+2(2y0-y1)+3=0,所以2x0+4y0+2=0,即x0+2y0+1=0.因為y0=kx0,所以x0+2kx0+1=0,即x0=-.又y0>x0+2,所以kx0>x0+2,即(k-1)x0>2,即(k-1)(-)>2,即<0,解得-<k<-.故選A.5.已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點,則圓的方程為(D)(A)x2+y2=1 (B)x2+y2=4(C)x2+y2= (D)x2+y2=1或x2+y2=37解析:如圖所示,因為A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1).所以過A,C的直線方程為=,化為一般式為x+2y-4=0.點O到直線x+2y-4=0的距離d==>1,又|OA|==,|OB|==,|OC|==.所以以原點為圓心的圓若與三角形ABC有唯一的公共點,則公共點為(0,-1)或(6,-1),所以圓的半徑分別為1或,則圓的方程為x2+y2=1或x2+y2=37.6.已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=2與y軸在其次象限所圍成區域的面積為S,直線y=2x+b分圓C的內部為兩部分,其中一部分的面積也為S,則b等于(D)(A) (B)± (C)- (D)±解析:圓心(1,2)到y軸的距離為1,由題意知,圓心(1,2)到直線y=2x+b的距離也為1,即=1,解得b=±.故選D.7.已知A(-2,0),B(0,2),實數k是常數,M,N是圓x2+y2+kx=0上兩個不同點,P是圓x2+y2+kx=0上的動點,假如M,N關于直線x-y-1=0對稱,那么△PAB面積的最大值是(C)(A)3- (B)4(C)3+ (D)6解析:依題意得圓x2+y2+kx=0的圓心(-,0)位于直線x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圓心坐標是(1,0),半徑是1.由題意可得|AB|=2,直線AB的方程是+=1,即x-y+2=0,圓心(1,0)到直線AB的距離等于=,點P到直線AB的距離的最大值是+1,所以△PAB面積的最大值為×2×=3+,故選C.8.過點P(-3,0)作直線2ax+(a+b)y+2b=0(a,b不同時為零)的垂線,垂足為M,已知點N(2,3),則當a,b改變時,|MN|的取值范圍是(A)(A)[5-,5+](B)[5-,5](C)[5,5+](D)[0,5+]解析:直線2ax+(a+b)y+2b=0,整理為a(2x+y)+b(y+2)=0,從而可得直線過定點Q(1,-2),如圖,∠PMQ=90°或者M與P,Q之一重合,PQ=2,故點M在以PQ為直徑的圓上運動,設該圓的圓心為F,則線段MN確定的范圍為|FN|-≤|MN|≤|FN|+,所以|MN|的取值范圍是[5-,5+].故選A.二、填空題9.若m>0,n>0,點(-m,n)關于直線x+y-1=0的對稱點在直線x-y+2=0上,那么+的最小值等于.

解析:設點(-m,n)關于直線x+y-1=0的對稱點為(a,b),則解得則(-m,n)關于直線x+y-1=0的對稱點為(1-n,1+m),則1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是+=(m+n)(+)=×(5++)≥×(5+2×2)=,當且僅當m=,n=時等號成立.答案:10.直線l:kx+y+4=0(k∈R)是圓C:x2+y2+4x-4y+6=0的一條對稱軸,過點A(0,k)作斜率為1的直線m,則直線m被圓C所截得的弦長為.

解析:由l:kx+y+4=0(k∈R)是圓C:x2+y2+4x-4y+6=0的一條對稱軸知,其必過圓心(-2,2),因此k=3,則過點A(0,k)斜率為1的直線m的方程為y=x+3,圓心到其距離d==,所以弦長等于2=2=.答案:11.已知圓C1:x2+y2=4和圓C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若點P(a,b)(a>0,b>0)在兩圓的公共弦上,則+的最小值為.

解析:由題意,兩圓的方程相減,可得公共弦方程為x+y=2,因為點P(a,b)(a>0,b>0)在兩圓的公共弦上,所以a+b=2,所以+=(+)(a+b)=(10++)≥(10+6)=8,當且僅當b=3a=時,取等號,+的最小值為8.答案:812.過x軸上一點P向圓C:x2+(y-2)2=1作切線,切點分別為A,B,則△PAB面積的最小值是.

解析:因為圓的方程為x2+(y-2)2=1,所以圓心C(0,2),半徑r為1,設點P(a,0),則|PC|=,|PA|=|PB|=,sin∠APB=2×=,所以S△PAB=|PA|·|PB|sin∠APB=,令=t,t≥,所以S△PAB==在[,+∞)上單調遞增,所以當t=時,△PAB面積有最小值為.答案:13.已知圓C的圓心與拋物線y2=4x的焦點關于直線y=x對稱,直線4x-3y-2=0與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=6,則圓C的方程為.

解析:設所求圓的半徑為r,依題意得,拋物線y2=4x的焦點坐標是(1,0),則圓C的圓心坐標是(0,1),圓心到直線4x-3y-2=0的距離d==1,則r2=d2+()2=10,故圓C的方程為x2+(y-1)2=10.答案:x2+(y-1)2=1014.過點P(1,)作圓O:x2+y2=1的兩條切線,切點分別為A和B,則弦長|AB|=.

解析:如圖所示,因為PA,PB分別為圓O:x2+y2=1的切線,所以OA⊥AP,|AB|=2|AC|.因為P(1,),O(0,0),所以|OP|==2,又因為|OA|=1,所以∠AOP=60°,所以|AB|=2|AC|=2|AO|sin∠AOP=.答案:15.已知曲線-=1與直線y=2x+m有兩個交