2024-2025學年北京市朝陽區高三下冊3月月考數學檢測試題（附解析）

2024-2025學年北京市朝陽區高三下學期3月月考數學檢測試題本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據補集的概念及交集的運算可得結果.【詳解】∵，∴，∵，∴.故選：D.2.已知復數z滿足＝i，則z的虛部為（）A.4i B.4 C.1 D.﹣1【正確答案】B【分析】對＝i去分母化簡求出復數z，從而可得其虛部【詳解】解：由復數＝i，得，所以復數z的虛部為4故選：B此題考查復數的運算，考查復數的有關概念，屬于基礎題.3.已知向量若，則（）A. B.1 C. D.4【正確答案】C【分析】根據即可得出，解出即可.【詳解】，∴∴.故選：C.4.已知且滿足，則下列關系式恒成立的是（）.A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用不等式的性質，以及對數函數的性質、冪函數的性質、正弦函數的圖象性質求解.【詳解】對A，取，則，A錯誤；對B，取，則，即，B錯誤；對C，取，滿足，但，C錯誤；對D，因為冪函數在定義域上單調遞增，且，所以，D正確；故選：D.5.已知各項均為正數的等比數列的前項和為，，，則（）A. B.1 C.2 D.6【正確答案】A【分析】根據等比數列的定義結合前n項和可得，再結合等比中項可得，即可得結果.【詳解】因為數列為正項等比數列，即，可得首項，公比，若，即，可得，則，即，且，即，可得，即，所以.故選：A.6.已知角是的內角，則“”是“”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】在三角形內，先利用“大角對大邊”由得到，進而利用正弦定理即可進行證明.【詳解】在三角形中，成立等價于，由正弦定理：，充分性：若成立，大角對大邊，則成立，由上面正弦定理形式得出，滿足充分性；必要性：若成立，由上面正弦定理形式得出，大邊對大角，則成立，滿足必要性；所以“”是“”的充要條件．故選：C7.已知的半徑為1，直線與相切于點，直線與交于兩點，為的中點，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】A【分析】利用數形結合方法與轉換法，從而可求解.【詳解】因為，所以設，的方程為：，具體如下圖所示：連接，因為，直線與相切，所以，，連接，因為為的中點，所以，設，，則；當點和點在軸同側時可得：，又因為，所以，當時有最大值，所以：的最大值為：；當點和點在軸異側時可得：，又因為，所以，當時有最大值，所以：的最大值為.綜上可知：則的最大值為.故選：A.8.如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑．將圓柱側面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線．若該段正弦曲線是函數圖象的一部分，且其對應的橢圓曲線的離心率為，則的值為（）A. B.1 C.3 D.2【正確答案】B【分析】根據推出，設圓柱底面半徑為r，再根據圓柱的側面展開圖推出，利用圓柱的斜截面橢圓及離心率求出r即可.【詳解】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數圖象的一部分，可得．設圓柱底面半徑為r，則，所以，設橢圓長軸長為，短軸長為，因為離心率為，得，則，即，所以，得，又由勾股定理得，解得，故．故選：B.9.已知函數設，若函數僅有一個零點，則實數的取值范圍是（）A B.C. D.【正確答案】C【分析】轉化為的圖象與函數的圖象只有一個交點，同一坐標系內作出兩函數圖象，求出函數切線得到極端情況，數形結合得到答案.【詳解】因為函數僅有一個零點，所以函數的圖象與函數的圖象只有一個交點.函數恒過定點，，同一坐標系內作出兩函數圖象，如圖所示，兩個函數圖象已經有一個交點.時，，其導函數，當直線與函數在處相切時，只有一個交點，此時，解得，則當時，有兩個交點.時，，其導函數，當直線與函數在處相切時，只有一個交點，此時，解得，則當時，有兩個交點.綜上，要使函數僅有一個零點，則實數的取值范圍是.故選：C.10.設集合最大元素為，最小元素為，記的特征值為，若集合中只有一個元素，規定其特征值為0．已知是集合的元素個數均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（）A.15 B.16 C.17 D.18【正確答案】B【分析】根據題設描述只需保證各集合中（）盡量小，結合已知及集合的性質有最大時，進而分析的取值.【詳解】由題設，，，…，中都至少有一個元素，且元素個數互不相同，要使最大，則各集合中（）盡量小，可知集合，，，…，的元素個數盡量少且數值盡可能連續，不妨設，可得，可得，解得：或（舍去），所以的最大值為16.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若二項式展開式中的常數項為160，則______．【正確答案】2【分析】求出二項展開式的通項，令的指數等于零，再根據題意建立等量關系，即可求出.【詳解】由題二項式展開式的通項公式為：，所以當時的項為常數項，解得.故2.12.設，分別是雙曲線的左，右焦點．則雙曲線的漸近線為________，若點在雙曲線上，且，則________．【正確答案】①.②.【分析】根據方程可求，進而可得漸近線方程，根據向量加法結合垂直關系分析求.【詳解】由雙曲線方程可知：，且焦點在x軸上，所以雙曲線的漸近線為；因為，即，所以.故；.13.在正四棱錐中，，側棱與底面所成角的余弦值為，則該正四棱錐的體積是_______．【正確答案】32【分析】根據正四棱錐的結構特征結合線面夾角可得，，進而可求體積.【詳解】設，連接，可知平面，則側棱與底面所成角大小為，由題意可得：，即，解得，則，所以該正四棱錐的體積.故32.14.如圖，是邊長為1的正三角形．曲線，，是分別以，，為圓心，，，為半徑畫的圓弧，稱曲線為螺旋線旋轉一圈，然后又以為圓心，為半徑畫弧，…，如此下去，可以得到一個優美的螺旋線.那么曲線的長度為________，畫到第八圈，得到的螺旋線的總長度為________．【正確答案】①.②.【分析】根據題意結合扇形弧長公式求曲線的長度，分析可知第n個的圓弧的半徑為，圓弧長為，結合等差數列求和公式運算求解.【詳解】由題意可知：，所以曲線的長度為，又因為圓弧的半徑依次為，圓心角均為，即第n個的圓弧的半徑為，圓弧長為，所以第八圈得到的螺旋線的總長度為.故；.15.已知曲線．給出下列三個結論：①曲線關于軸對稱；②曲線恰好經過6個整點（即橫，縱坐標均為整數的點）；③曲線上任意一點到原點的距離都不超過；④曲線所圍成的區域的面積小于3．其中，所有正確結論的序號是________．【正確答案】①②③【分析】對于①：根據方程研究對稱性即可；對于②：由基本不等式可得，進而可知，結合對稱性找出整點；對于③：根據分析判斷即可；對于④：根據整點分析可知：曲線位于x軸上方部分的面積大于梯形的面積，再結合對稱性分析判斷.【詳解】對于①：將方程中的y換成，可得，即，方程不變，所以曲線關于軸對稱，故①正確；對于②：由于曲線，根據對稱性可令，則，解得，當且僅當時，等號成立，可知，當時，；當時，；當時，；所以曲線恰好經過6個整點，故②正確；對于③：因為，即，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過，故③正確；對于④：由②可知：曲線過點，可知梯形的面積為，若，可得，即，當時，假設，則，不滿足方程，可知當時，；當時，可得，因為，即，可得，整理可得，據此結合圖象可知：曲線位于x軸上方部分的面積大于梯形的面積，結合對稱性可知曲線C所圍成的區域的面積大于3，故④錯誤；故①②③.三、解答題共6小題，共85分.16.在△ABC中，已知（1）求角A；（2）若求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先利用正弦定理將已知等式中的角化為邊，再根據余弦定理求出角；（2）已知、和角，先根據余弦定理求出的值，再利用三角形面積公式求出面積.【小問1詳解】根據正弦定理將邊角互化，得到.化簡可得，即.再根據余弦定理，因為，所以.【小問2詳解】已知，，，根據余弦定理，可得.即，整理得.解得或（邊長不能為負舍去）.最后根據三角形面積公式，可得.17.無人駕駛技術是汽車研發領域的一個重要方向．某學校技術俱樂部研發了一個感知路況障礙的小汽車模型，該模型通過三個傳感器共同判斷路段是否有路障．在對該模型進行測試中，該俱樂部同學尋找了個不同的路段作為測試樣本，數據如下表：測試結果真實路況傳感器1傳感器2傳感器3有障礙無障礙無法識別有障礙無障礙無法識別有障礙無障礙無法識別無障礙415111548120有障礙4010104551045105假設用頻率估計概率，且三個傳感器對路況的判斷相互獨立．（1）從這80個路段中隨機抽取一個路段，求傳感器1對該路況判斷正確的概率；（2）從這80個路段中隨機抽取一個有障礙的路段進行測試，設為傳感器1和傳感器2判斷正確的總路段數，求的分布列和數學期望；（3）現有一輛小汽車同時裝載了以上3種傳感器．在通過某路段時，只要3個傳感器中一個判斷有障礙或無法識別，則小汽車減速．那么是否可以通過提高傳感器3判斷正確率，使得小汽車在無障礙的道路上減速的概率小于？（結論不要求證明）【正確答案】（1）（2）分布列見解析，（3）答案見解析【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機變量的取值集合為，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值；（3）計算出三個傳感器判斷無障礙的概率，比較大小后可得出結論.【小問1詳解】80個路段中，傳感器1判斷正確的路段有個．設“傳感器1對該路況判斷正確”為事件，則.【小問2詳解】80個路段中共有60個有障礙的路段．60個有障礙的路段中，傳感器1判斷正確的路段有40個，錯誤的有個，傳感器2判斷正確的路段有45個，判斷錯誤的路段有個的取值集合為．，，，故的分布列為隨機變量的數學期望【小問3詳解】可以通過提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無障礙的道路上減速的概率小于．分析：共有20個無障礙地路段，傳感器1判斷無障礙的有15個，由頻率估計概率，故無障礙路段上，估計傳感器1判斷無障礙的概率為．傳感2判斷無障礙的有15個，由頻率估計概率，故無障礙路段上，估計傳感器2判斷無障礙的概率為．若傳感器3在無障礙路段上，判斷為無障礙的概率為1．小汽車在無障礙的道路上減速的概率：．故可以通過提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無障礙的道路上減速的概率小于．18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，為中點，為上一點，且滿足．（1）設平面平面，求證：；（2）若已知點到平面的距離2．從條件①，條件②中選擇一個作為已知．求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；【正確答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）可證∥平面，結合線面平行的性質定理證明線線平行；（2）若選①：根據面面垂直的性質定理可證平面，建系標點，利用空間向量求線面夾角；若選②：根據線面垂直的判定定理可證平面，建系標點，利用空間向量求線面夾角.【小問1詳解】因為四邊形為菱形，則∥，且平面，平面，可知∥平面，又因為平面平面，平面，所以∥.【小問2詳解】設，連接，可知為的中點，由可得.若選①：因為平面平面，平面平面，平面，可得平面，可知，又因為四邊形為菱形，則，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，又因為為中點，，則，，可得，設平面的法向量為，則，令，則，可得，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；若選②：因為，可得，且，平面，可得平面，可知，又因為四邊形為菱形，則，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，又因為為中點，，則，，可得，設平面的法向量為，則，令，則，可得，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知橢圓，且過，兩點．（1）求的方程；（2）設過點的直線交于，兩點，過且平行于軸的直線與線段交于點，點與點關于點對稱．證明：直線恒過點．【正確答案】（1）（2）證明見詳解【分析】（1）設橢圓的標準方程為，由已知條件求出的值，將點的坐標代入橢圓的方程，求出的值，可得出橢圓的標準方程，求出的值，即可求出該橢圓的離心率；（2）分析可知，直線的斜率存在，先利用特殊位置猜想出直線過軸上的一個定點，設直線的方程為，、，將該直線方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，求出直線的方程，可求出點的坐標，由已知條件求出點的坐標，求出直線的方程，然后令，可求出直線所過定點的坐標.【小問1詳解】設橢圓的標準方程為，由題意，代入點得，，解得，所以橢圓E的標準方程.【小問2詳解】若直線的斜率不存在，此時直線與橢圓相切，不合乎題意，所以，直線斜率存在.當的斜率為時，的方程為，此時、，直線的斜率為，則直線的方程為，令得，由題意可得：，此時直線的方程為過點，當過橢圓的右頂點時，直線的方程為，此時、，直線的方程為，令得，由題意可得，，此時直線的方程，故直線過軸上一個定點.設直線的方程為，、，與橢圓方程聯立得：，，可得，由韋達定理可得，，在直線的方程為中，令得，由題意可得得，，，直線的方程為，令，可得，所以直線過定點.20.設函數，其中．函數是函數的導函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，函數有且僅有一個零點，且；（3）若，討論函數的零點個數（直接寫出結論）．【正確答案】（1）.（2）證明見解析.（3）①當時，有1個零點；②當時，有2個零點.【分析】（1）運用導數幾何意義求切線的斜率，進而求得切線方程.（2）令，令，研究的單調性及運用零點存在性定理即可證明.（3）分類討論與時，運用導數的符號來研究原函數的單調性及圖象即可求得結果.【小問1詳解】當時，，則，，所以，所以，即：，所以在點處的切線方程為.【小問2詳解】證明：∵的定義域為，，，則（），令（），則，又∵，，∴，∴在上單調遞減，又∵，，，∴，，即：，∴，，∴在上有唯一零點，且，即：有且僅有一個零點，且.【小問3詳解】①當時，的定義域為，則，∴由零點存在性定理知，在上單調遞增，又∵，，∴在上有唯一零點.②當時，由（2）知，在上單調遞減，且有且僅有一個零點，，∴，即：，∴，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，又∵，，令（），則，∴在上單調遞減，又∵，∴，即：，∴由零點存在性定理知，在上有2個零點.綜述：①當時，有1個零點；②當時，有2個零點.21.已知數列，從中選取第項、第項、…、第項，若，則稱新數列為的長度為的遞增子列．規定：數列的任意一項都是的長度為1的遞增子列．（Ⅰ）寫出數列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；（Ⅱ）已知數列的長度為的遞增子列的末項的最小值為，長度為的遞增子列的末項的最小值為.若，求證：；（Ⅲ）設無窮數列的各項均為正整數，且任意兩項均不相等.若的長度為的遞增子列末項的最小值為，且長度為末項為的遞增子列恰