電子科技大學電磁場與電磁波課件第一章+矢量分析1

第一章矢量分析1

概述場：物理量的空間分布。即：如果任一時刻、所在空間的每一點，某物理量都有一個確定的值，則稱：該空間存在該物理量的場。矢量分析：00分析“場”的數學工具。本章重點：（概念、計算）1．亥姆霍茲定理（即：場的性質如何描述？）；2．標量場——梯度。3．矢量場——通量和散度、環量和旋度。

4.球坐標系、柱坐標系。2本章內容1.1矢量代數1.2三種常用的正交坐標系1.3

標量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環流與旋度1.6

無旋場與無散場1.7

拉普拉斯運算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理3一.物理量分類：標量、矢量矢量大小（模）：線的長度單位矢量：線的方向1.標量：只用大小描述的物理量。如：u、i、Q、W代數表示：1.1矢量代數2.矢量：既有大小又有方向的物理量。如：F、E、H用帶箭頭的字母或黑體字母表示。

矢量的表示：幾何表示：用一條有方向的線段來表示。

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

4矢量的坐標表示：zxy51、矢量加、減法：

幾何上：平行四邊形法則,如圖。

符合交換律和結合律：二.矢量的運算矢量的加法矢量的減法

直角坐標系中：結合律交換律62、矢量乘法（1）標量乘矢量：（2）矢量乘矢量：點積（標積）、叉積（矢積）、混合積標積符合交換律、結合律：q矢量與的夾角點積定義：例：7叉積定義：右手規則qsinABq矢量與的叉積用坐標分量表示為行列式形式：若，則若，則叉積僅服從分配律。8

混合運算：——分配律——分配律——標量三重積——矢量三重積9

三維空間點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。1.2

三種常用的正交坐標系

電磁理論中，常用的正交坐標系：

直角坐標系、圓柱坐標系、球坐標系。正交曲線坐標系：三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。101.直角坐標系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標變量：單位矢量

點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx范圍：112.圓柱坐標系坐標變量：單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系（半平面）（圓柱面）（平面）范圍：123.球坐標系坐標變量單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系（半平面）（圓錐面）（球面）范圍：思考：計算圓柱、球的表面積、體積？13線元矢量體積元面元矢量144.坐標單位矢量之間的關系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系foqrz單位圓

柱坐標系與求坐標系之間坐標單位矢量的關系qq15例:已知,.

求:???161.3標量場的梯度物理量若是標量，稱為標量場。

如：溫度場、電位場、密度場等。物理量若是矢量，稱該場為矢量場。

如：流速場、重力場、電場、磁場等。與時間無關的場，稱為靜態場，反之為時變場。從數學上看，場是空間位置和時間的函數：一、場的分類：標量場、矢量場。17二、場的幾何描述：場圖。標量場：等值面。矢量場：矢量線。場圖的意義：描述場量在空間的整體變化趨勢。18標量場的等值面

等值面:

場值相同的點形成的面。如：等溫面、等高線等值面方程：C取一不同的值，得到一系列等值面，形成等值面族；充滿場所在的整個空間；互不相交。

等值面特點：意義：幫助了解標量場在空間中的分布情況。A點高300B點高300A點比B點陡越密就越陡30040020010019例1-1求標量場,通過點M(1,0,1)的等值面方程。解：點M的坐標是x0=1,y0=0,z0=1，則該點的數量場值為其等值面方程為:即20矢量場的矢量線

矢量線：用一些有向矢量線來形象表示矢量在空間的分布。如靜電場的電力線等。矢量線方程：矢量線上任意點的切線方向必定與該點的矢量方向相同矢量線特點：21A點受到向下電場力B點受到向下電場力A點比B點受到的力大越密矢量越大矢量線的作用：根據矢量線確定矢量場中各點矢量的方向；根據各處矢量線的疏密程度，判別出各處矢量的大小及變化趨勢。22例1-2

求矢量場的矢量線方程解：矢量線應滿足的微分方程為從而有

c1和c2是積分常數。

23矢量線與矢徑的關系式：力線圖補充內容：關于矢量線：24三.方向導數意義：方向導數表示場沿某方向的對于距離的變化率。1.定義：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向減?。?/p>

——u(M)沿方向無變化。

M0M方向導數的概念

252．計算公式直角坐標系中，設函數u=u(x,y,z)在M0(x0,y0,z0)處可微，則有

式中:當Δl→0時→0。兩邊同除以并取極限,得到方向導數計算公式：

其中:cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。

可見：方向導數值與點M0及l方向都有關系。26梯度公式：圓柱坐標系

球坐標系直角坐標系

四.標量場的梯度（或）意義：描述標量場在某點的最大變化率及其所在的方向。1.定義：，其中

取得最大值的方向27方向導數的最大值及其方向：令：方向單位矢量矢量（梯度公式）（給定點處，為常矢量）則方向導數公式可表示為：可見:與方向相同時,即，則方向導數取最大值，即2、梯度公式28.梯度是矢量。.方向導數，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質：梯度運算的基本公式：.梯度垂直于過該點的等值面（或切平面）29

解

(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為

例1.2.1

設一標量函數

(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標量場。試求：

(1)

在點P(1,1,1)處的梯度，該梯度的單位矢量？(2)求

沿該單位矢量方向的方向導數，并以點P(1,1,1)處的方向導數值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。其單位矢量：30

(2)由方向導數與梯度之間的關系式可知，沿el方向的方向導數為對于給定的P點，上述方向導數在該點取值為而該點的梯度值為

顯然，梯度描述了P點處標量函數

的最大變化率，即最大的方向導數，故恒成立。31例1.3.1已知證明：電磁場中，源點坐標（x’,y’,z’）、場點（x,y,z）.32一.矢量場的場圖：矢量線。(1)矢量線的性質：線上各點處的切線方向為該點處矢量方向。例：電力線、磁力線、流速場中的流線等。根據矢量線的疏密情況，可判斷出該矢量的整體變化趨勢。（場線不會相交）+-1.4矢量場的通量與散度

33(2)矢量線方程：設：P點為矢量的矢量線上任一點，其位為。則P處的切線為：;根據矢量線定義，必有

直角坐標系中：

矢量線微分方程：圖1.4矢量線

解該微分方程組，可得矢量線方程，從而描出矢量線。34例1.4.1設點電荷q位于坐標原點，則周圍空間的場強為。求：場強E的矢量線方程？解：

35二.矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大小？引入通量的概念。

通量定義：其中：——面元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規定曲面法矢量由閉合曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量是面積元矢量36通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的3種可能結果通量物理意義：反映了區域內場源的總體情況。37三.散度1.散度定義：稱為矢量場的散度。物理意義：表示點P處單位體積內散發的通量（通量的體密度），反映該點處通量源的強度。（正通量源、負通量源）38圓柱坐標系球坐標系直角坐標系2.散度公式：散度的有關公式：39散度公式的推導

（直角坐標系）

由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為

不失一般性，令包圍P點的微體積

V為直角六面體，如圖。根據泰勒定理，有：oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP40根據散度定義，得：

同理，分析穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為413.散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S散度定理是閉合面積分與體積分之間的一個變換關系，在電磁理論中有著廣泛的應用。42散度定理的證明43

例球面S上任意點的位置矢量為r=xex+yey+zez。求：解：根據散度定理知所以441.5矢量場的環流與旋度

矢量場的2種源：通量源、旋渦源。

有的矢量場由通量源激發。如：電場旋渦源所激發的矢量場特點：力線是閉合的，場沿閉合路徑的積分不為0；對于任何閉合曲面的通量為0。45

如：磁場沿任意閉合曲線的積分，與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場的環流與電流的關系。

磁感應線要么穿過曲面磁感應線要么同時穿入和穿出曲面磁感應線46.無旋場，又稱為保守場：一.環流的定義矢量對閉合曲線C的線積分。.有旋場：。如：電流是磁場的旋渦源。環量的意義：反映閉合曲線內旋渦源的總體情況。47

意義：描述區域內各點處旋渦源的情況。二.旋度（）

1.環流面密度定義稱為矢量場在點M處沿方向

的環流面密度。特點：其值與點M處的方向

有關。過點M作一微小曲面

S，其邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當

S

0時，極限48大小：為M點的環流面密度最大值；方向：環量密度取最大值時面積元的法線方向。物理意義：描述了該點處旋渦源密度矢量。性質：2.旋度定義：49旋度計算公式：（推導忽略）直角坐標系圓柱坐標系球坐標系50旋度的有關公式：旋度的散度恒為0梯度的旋度恒為051三.斯托克斯定理斯托克斯定理是線積分與面積分之間的變換關系式，在電磁理論中有廣泛應用。曲面的剖分方向相反大小相等結果抵消52例在坐標原點處放置一點電荷q，在自由空間產生的電場強度為求：自由空間任意點(r≠0)電場強度的旋度▽×E

？解:

531.矢量場的源不同性質的源，它們產生的場具有不同的性質。散度源：是標量，產生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；

旋度源：是矢量，產生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6無旋場與無散場542.矢量場按源的分類（1）無旋場：旋度處處為0的場。是散度源的激發的矢量場，如：靜電場無旋場可用梯度表示：例如：靜電場55標量場由梯度完全確定：對于無旋場F，有

該結論等價于：線積分結果與路徑無關，只取決于起點P和終點Q。

56（2）無散場散度處處為0的矢量場。顯然：無散場可用另一個矢量場的旋度表示：如：恒定磁場57（3）無旋、無散場（源在所討論的區域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分