專題07巧妙借助復數的幾何意義求與模有關的范圍與最值問題

專題07巧妙借助復數的幾何意義求與模有關的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：單模長最值問題題型二：多模長之和差最值問題題型三：模長的范圍問題【典型例題】題型一：單模長最值問題例1．（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學校考階段練習）已知復數為虛數單位）滿足，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解析】因為，所以復數對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以.故選：A例2．（2023·全國·高一專題練習）已知復數z滿足：，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由復數模的幾何意義知滿足的對應的點在以點和為端點的線段的中垂線，的中點為，的最小值就是原點到直線的距離即為，故選：B．例3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考模擬預測）若，則的最大值與最小值的和為___________.【答案】【解析】由幾何意義可得：復數表示以（）為圓心的半徑為1的圓，則.故答案為：變式1．（2023春·上海閔行·高一上海市七寶中學校考期末）在中，，為的中點，過點的直線分別交直線、于不同的兩點、．設，，復數，則取到的最小值為__．【答案】【解析】在中，因為，所以.又，，所以.因為E為的中點，所以.因為M、E、N三點共線，所以，即，復數，所以，令，故當，取最小值.故答案為：變式2．（2023·高一課時練習）已知復數和，i為虛數單位，求的最大值和最小值．【解析】復數和，則由，可得則的最大值，最小值題型二：多模長之和差最值問題例4．著名的費馬問題是法國數學家皮埃爾·德費馬（16011665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當的三個內角均小于120°時，則使得的點即為費馬點．根據以上材料，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則表示點到三頂點、、的距離之和.依題意結合對稱性可知的費馬點位于虛軸的負半軸上，且，則.此時.故選：B.例5．（2023·高一課時練習）已知復數滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】復數滿足，表示以原點為圓心，以3為半徑的圓，則的表示圓上的點到和的距離，由圖象可知，當點在處最小，最小為:，當點在處最大，最大為，則的取值范圍是，故答案為：例6．（2023·全國·高三專題練習）若復數滿足，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由于復數滿足，故復數對應的點在圓心為原點，半徑為的圓上，設圓上任意一點的坐標為.表示圓上的點到和兩點距離之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.故答案為：.變式3．（2023春·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考）已知復數滿足，求的最小值______．【答案】10【解析】復數，由，即，于是得，整理得，，即，表示點與點、距離的和，顯然點P在x軸上，而線段AB與x軸相交，因此，，當且僅當點P為線段AB與x軸的交點時取“=”，所以的最小值是10.故答案為：10題型三：模長的范圍問題例7．（2023·全國·高三專題練習）已知復數z滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由，則z在復平面內對應的點Z是以為圓心，2為半徑的圓上及圓內，所以表示Z到的距離，故其范圍為.故答案為：.例8．（2023·全國·高一假期作業）設復數z滿足，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】設復數z在復平面上的對應點為，復數的在復平面上的對應點為，由，可知點的軌跡為以，為端點的一條線段，又表示點到點的距離，觀察圖象可知當時，取最小值，最小值為1，當時，取最大值，最大值為，所以取值范圍為.故答案為：.例9．（2023春·全國·高一期末）已知復數z滿足，那么的取值范圍為_________.【答案】【解析】設，由可得即，表示點到點，的距離之和為2.又點，之間的距離為2，所以表示z對應的點的軌跡是以，為端點的線段表示z對應的點與的距離，如圖在z取時有最小值3，z取或時有最大值，故取值范圍為.故答案為：變式4．（2023·全國·高一專題練習）若，則取值范圍是___．【答案】【解析】由題意設(),則其幾何意義為平面內一動點到兩定點，距離之差，由圖可知，當，，三點共線時，距離之差最大，當時，最小，則．的取值范圍是．故答案為：．變式5．（2023·山西晉中·高二榆次一中校考開學考試）已知z為復數，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在復平面內，復數z對應的點的軌跡是以原點O為圓心，以1為半徑的圓，表示復平面內的點與點之間的距離.因為點與原點O的距離，所以的最小值是，最大值是，故的取值范圍是.故選:C.法二：因為復數z滿足，不妨設，,則.因為，所以，所以的取值范圍是.故選:C.【同步練習】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）設復數z滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由可知，復數對應的點的軌跡是圓心為，半徑為的圓，表示復數對應的點與原點之間的距離，因為，所以，即.故選：B2．（2023春·廣東潮州·高一潮州市松昌中學校考期中）已知，且，（i為虛數單位），則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示以為圓心，為半徑的圓，則圓心C到點的距離＝，則的最大值為.故選：A3．（2023春·福建泉州·高一校聯考階段練習）下列關于復數z的命題中真命題為（）A．若，則 B．若，則C．若，則的最大值為2 D．若，則【答案】C【解析】A：由得或，錯誤．B：由得：，錯誤；C：當|z+i|＝1時，復數z對應的點在以(0，1)為圓心，1為半徑的圓上，故|z|的最大值為2，正確；D：當，時，，錯誤．故選：C二、多選題4．（2023·全國·高三專題練習）設復數z滿足，令，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【答案】AD【解析】根據題意，有，且，于是為以點為圓心，1為半徑的圓上的點到點的距離，其取值范圍是，因此的最小值為，最大值為．故選：AD.5．（2023春·江西宜春·高一校考期末）設，是虛數單位，復數.則下列說法正確的是（

）A．若為實數，則B．若為純虛數，則C．當時，在復平面內對應的點為D．的最小值為【答案】ABD【解析】若為實數，則虛部為0，即，故正確；若為純虛數，則實部為0，即，故正確；當時，，則在復平面內對應的點為，故錯誤；（當且僅當時取等號），故正確，故選:.6．（2023春·河北保定·高一統考期中）下列說法正確的是（

）A．若、互為共軛復數，則為實數B．若為虛數單位，為正整數，則C．已知是關于的方程的一個根，則D．復數滿足，則的最大值為【答案】ACD【解析】對于A選項，設，則，所以，為實數，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，實系數的一元二次方程虛根成對（互為共軛復數），所以為方程的兩根，則，所以，，解得，所以，，C對；對于D選項，利用復數模的三角不等式可得，當且僅當時，等號成立，D對.故選：ACD.三、填空題7．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學校考階段練習）已知，、，是虛數單位.若復數是實數，則的最小值為______.【答案】【解析】復數是實數，所以，得.所以，當且僅當，取等號，所以的最小值為.故答案為：8．（2023·全國·高一專題練習）下面給出的幾個關于復數的命題，①若是純虛數，則實數②復數是純虛數③復數在復平面內對應的點位于第三象限④如果復數滿足，則的最小值是2以上命題中，正確命題的序號是______.【答案】②③【解析】對于①，因為為純虛數，所以，解得，故①錯誤；對于②，因為，所以，所以是純虛數，故②正確；對于③，因為，，所以在復平面內對應的點在第三象限，故③正確；對于④，由復數的幾何意義知，表示復數z對應的點Z到點和到點的距離之和，又因為，所以復數z對應的點Z在線段AB上，而表示點Z到點的距離，所以其最小值為，故④錯誤．故答案為：②③．9．（2023·全國·高三專題練習）已知z是虛數，是實數，是虛數z的共軛復數，則的最小值是__________．【答案】.【解析】設，，且，則，因為是實數，所以，因為，所以，所以，則，因為，所以，所以，所以，因為，所以，，則，當時，取到最值.故答案為：．10．（2023春·河南·高一校聯考階段練習）已知z是虛數是實數，是虛數z的共軛復數，則的最小值是__________．【答案】【解析】設（a，，且），則．因為是實數，所以，即．因為，所以，所以，則．因為，所以，所以，所以，因為，所以，解得，則．故答案為：11．（2023春·廣東·高一校聯考期末）若復數z滿足，則的最小值為________．【答案】1【解析】設，由可得，軌跡是以原點為圓心以2為半徑的圓，根據復數幾何意義知，表示復平面內到的距離，則最小值為，故答案為：112．（2023春·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考階段練習）復數，，則的最大值是__________.【答案】【解析】由題意可得，由三角不等式可得.當且僅當時，等號成立，故的最大值為.故答案為：.13．（2023·全國·高一專題練習）在復平面中，已知點，復數對應的點分別為，且滿足，則的最大值為___________.【答案】【解析】因為復數對應的點為且則可確定點在以O為圓心，2為半徑的圓上又，所以為圓的直徑，即關于原點對稱所以因為所以又，，則所以即的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.14．（2023·上海·高三專題練習）如果復數滿足，那么的最大值是_____.【答案】5【解析】設，，則，變形為，兩邊平方后得到，兩邊平方后得到，將代入，即，故，則，當時，取得最大值，最大值為5故答案為：515．（2023秋·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學校考期中）如果復數滿足，則的最大值是___________.【答案】【解析】設，則因為，所以，即.令，則，當，即時，取得最大值為，即，所以的最大值是.故答案為：16．（2023·高一課時練習）若為虛數單位，復數滿足，則的最大值為_______.【答案】【解析】復數滿足，即即復數對應的點到點的距離滿足設，表示復數對應的點到點的距離數形結合可知的最大值故答案為：17．（2023春·全國·高一專題練習）已知復數（為虛數單位）滿足，則實數a的取值范圍為____．【答案】【解析】，，，，即，解得，故實數a的取值范圍為．故答案為：．四、解答題18．（2023秋·山東日照·高二日照一中校考階段練習）設是實數，復數，（是虛數單位）．(1)在復平面內對應的點在第一象限，求的取值范圍；(2)求的最小值．【解析】（1），則，解得；（2），則，，，當時，的最小值為．19．（2023春·山西忻州·高一校聯考期末）已知復數，，，，，(1)求實數的取值范圍；(2)若，求|的最小值.【解析】(1)∵∴是實數，∴，即∴∵，∴，即，的實部的取值范圍為；(2)，∵∴∵，∴∴當時，即時，取到最小值,由于，故的最小值為20．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，，在復平面坐標系中，為虛數單位，復數對應的點為．(1)求；(2)若復數z滿足（為的共軛復數），且復數z對應的點為Z，求點Z與點之間的最小距離．【解析】（1）因為，，，所以，所以，所以，所以；（2）由（1）可得，，曲線，即，因此曲線是復平面內以圓心，半徑為1的圓，如圖，故與之間的距離為，所以與之間的最小距離為，21．（2023春·山東淄博·高一統考期中）（1）已知關于的實系數方程，若是方程的一個復數根，求出，的值；（2）復數的最大