5年級下冊第14講-數論相關的計數

第十四講數論相關的計數

在前面的學習中，我們學習了解決計數問題的一些基本方法，包括：枚舉法、樹形圖、分類討論、加法原理和乘法原理、排列與組合等．計數問題是多種多樣的，它經常與其他的知識聯系在一起，比如幾何、數論、數字謎等等．今天讓我們來研究一下結合了數論知識的計數問題．

恰好能同時被6，7，8，9整除的四位數有多少個？

「分析」大家還記得公倍數怎么求嗎？練習1、恰好能同時被4，5，6整除的三位數有多少個？

用1、2、3、4、5、7這6個數字各一次組成六位數，并且使這個六位數是11的倍數，有多少種不同的方法？

「分析」根據11的整除特性，通過分析奇位數字和與偶位數字和，再結合本題的已知條件可以獲得解題的線索．

練習2、用1，2，3，4各一次組成四位數，使得它是11的倍數，有多少種不同的方法？

從1~10這10個數中選出2個數，請問：

（1）要使這2個數的乘積能被3整除，一共有多少種不同的選法？

（2）要使這2個數的和能被3整除，一共有多少種不同的選法？

「分析」（1）兩個數的乘積能被3整除，那么這兩個數中至少有一個能被3整除．如何選取才能保證選到3的倍數呢？（2）要考慮兩個數的和是否能被3整除，只需要考慮每個數除以3的余數的情況，那么怎樣的兩個數相加才能被3整除呢？

練習3、從1~12這12個數中選出2個數，請問：

（1）要使這2個數的乘積能被3整除，一共有多少種不同的選法？

（2）要使這2個數的和能被3整除，一共有多少種不同的選法？

如果稱能被8整除或者含有數字8的自然數為“吉利數”，那么在1至200這200個自然數中有多少個“吉利數”？

「分析」這道題目可以從兩方面入手，8的倍數和含有數字8的數，注意其中重復的情況．

練習4、在1至200這200個自然數中，含有數字9或者能被9整除的有多少個？

前面幾個例題都是計數與整除相結合的題目．而除了整除之外，與數字相關的問題也屬于數論的范疇，下面我們來看兩道與數字有關的計數問題．

有一種“上升數”，這些數的數字從左往右依次增大，將所有的四位“上升數”按從小到大的順序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．請問：此列數中的第100個數是多少？

「分析」數字從左往右依次增大的數是“上升數”，那么四位“上升數”一共有多少個呢？顯然，不能將前100個“上升數”都寫出來，那怎么才能方便的計算出第100個數呢？

一個正整數，如果從左到右看和從右到左看都是一樣的，那么稱這個數為“回文數”．例如：1331，7，202，66都是回文數，而220則不是回文數．請問：六位回文數有多少個？五位回文數又有多少個？五位的回文數中，有多少個是4的倍數？

「分析」“回文數”一定是左右對稱的，不妨從左往右分析，一旦左面的一個數字確定，右面一定有一個數字和其相同．

回文聯數學當中有回文數，在文學當中也有回文聯．回文聯，它是我國對聯修辭奇葩(pā)中的一朵．用回文形式寫成的對聯，既可順讀，也可倒讀，不僅它的意思不變，而且頗具趣味．茲舉數例如下．其一：河南省境內有一座山名叫雞公山，山中有兩處景觀：“斗雞山”和“龍隱巖”．有人就此作了一副獨具慧眼的回文聯：斗雞山上山雞斗龍隱巖中巖隱龍其二：廈門鼓浪嶼魚脯浦，因地處海中，島上山巒疊峰，煙霧繚繞，海淼淼水茫茫，遠接云天．于是，一副饒有趣味的回文聯便應運而生：霧鎖山頭山鎖霧天連水尾水連天其三：清代，北京城里有一家飯館叫“天然居”，乾隆皇帝曾就此作過一副有名的回文聯：客上天然居居然天上客上聯是說，客人上“天然居”飯館去吃飯．下聯是上聯倒著念，意思是沒想到居然像是天上的客人．乾隆皇帝想出這副回文聯后，心里挺得意．即把它當成一個聯，向大臣們征對下聯，大臣們面面相覷，無人言聲．只有大學士紀曉嵐即席就北京城東的一座有名的大廟——大佛寺，想出了一副回文聯：人過大佛寺寺佛大過人上聯是說，人們路過大佛寺這座廟．下聯是說，廟里的佛像大極了，大得超過了人．紀學士的下聯，想得挺不錯．這副回文聯放到乾隆皇帝的一塊，就組成一副如出一口的新回文聯了：客上天然居居然天上客人過大佛寺寺佛大過人其四：湛江德鄰里有一副反映鄰里之間友好關系，魚水深情的回文聯，至今傳頌不衰：鄰居愛我愛居鄰魚傍水活水傍魚

作業1~100中，7的倍數有多少個？除以7余2的數有多少個？

從1~15中，選出2個數，使它們的和是3的倍數，共有多少種選法？用1、2、3、4、5、8、9組成不重復的七位數，其中有多少個能被11整除？如果把三位的“