熱點4-3正弦定理與余弦定理解三角形5大題型（原卷版）

熱點43正弦定理與余弦定理解三角形5大題型“解三角形”是每年高考常考內容，在選擇題、填空題中考查較多，有時也會出現在解答題中。對于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應用；而是考查兩個定理的綜合應用，多與三角變換、平面向量等知識綜合命題。以實際生活為背景（如測量、航海、幾何天體運行和物理學上的應用等）考查解三角形問題，此類問題在近幾年高考中雖未涉及，但深受高考命題者的青睞，應給予關注；在高考試題中出現有關解三角形的試題大多數為容易題、中檔題。一、解三角形中常用結論及公式1、解三角形所涉及的其它知識（1）三角形內角和定理：A+B+C=.（2）三角形邊角不等關系：.2、誘導公式在中的應用（1）；（2）；3、三角形中，最大的角不小于，最小的角不大于.二、已知三邊（或三邊之比，或三內角正弦之比）判定三角形的形狀設a是三角形中最長的邊，則（1）若，則是銳角三角形；（2）若，則是直角三角形；（3）若，則是鈍角三角形；或（1）若,則是銳角三角形；若,則是直角三角形；若,則是鈍角三角形；三、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實質是實現邊角的轉化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉化：化邊為角后一般要結合三角形的內角和定理與三角恒等變換進行轉化；若將條件轉化為邊之間的關系，則式子一般比較復雜，要注意根據式子結構特征靈活化簡.3、得結論：利用三角函數公式，結合三角形的有關性質（如大邊對大角，三角形的內角取值范圍等），并注意利用數形結合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。四、解三角形應用題的常見情形1、實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2、實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形．3、設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的角．4、涉及四邊形等非三角形圖形時，可以作輔助線，將圖形分割成三角形后求解．【題型1利用正余弦定理解三角形的邊與角】【例1】（2023秋·湖南株洲·高三校聯考期末）在中，角的對邊分別為已知，，（1）證明：（2）若求的周長.【變式11】（2023秋·天津南開·高三崇化中學校考期末）在中，角所對的邊分別為．已知且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【變式12】（2023春·安徽·高三統考開學考試）在①，②，③，．這三個條件中任進一個，補充在下面問題中并作答．已知中，內角所對的邊分別為，且________．（1）求的值;（2）若，求的周長與面積．【變式13】（2023·福建·統考一模）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面積．【題型2利用正余弦定理判斷多邊形形狀】【例2】（2023·貴州·校聯考一模）在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（）A．直角三角形B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形【變式21】（2022·上海嘉定·統考一模）已知，那么“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分條件但非必要條件B．必要條件但非充分條件C．充要條件D．以上皆非【變式22】（2023·全國·高三專題練習）在中，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形【變式23】（2022秋·北京·高三校考期中）在中，已知，那么一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等邊三角形【變式24】（2022·全國·高三專題練習）在中，若，，則一定是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．無法確定【題型3利用正余弦定理解多三角形問題】【例3】（2023秋·廣東深圳·高三統考期末）在中，角，，對邊分別為，，，且，.（1）求；（2）若，邊上中線，求的面積.【變式31】（2022·江蘇常州·華羅庚中學校考模擬預測）已知中內角的對邊分別是，.（1）求的值；（2）設是的角平分線，求的長.【變式32】（2023·廣東肇慶·統考二模）如圖，在中，角的對邊分別為.已知.（1）求角；（2）若為線段延長線上一點，且，求.【變式33】（2022秋·湖南常德·高三統考期末）如圖，在梯形中，AD//BC，且，.（1）若，，求梯形的面積；（2）若，證明：為直角三角形．【變式34】（2022秋·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習）如圖，在四邊形中，已知.（1）若，求的值；（2）若，四邊形的面積為4，求的值.【題型4利用正余弦定理解與三角形有關的最值問題】【例4】（2023秋·貴州銅仁·高三統考期末）設的三個內角A，B，C所對的邊長為a，b，c，的面積為S．且有關系式：．（1）求C；（2）求的最小值．【變式41】（2023·江蘇泰州·泰州中學校考一模）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）設，當的值最大時，求△ABC的面積．【變式42】（2022秋·遼寧·高三朝陽市第一高級中學校聯考期末）的內角的對邊分別為，，.設.（1）求A；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【變式43】（2022秋·河北·高三校聯考階段練習）在三角形ABC中，若.（1）求角A的大小；（2）如圖所示，若，，求長度的最大值.【變式44】（2023秋·江西·高三校聯考期末）設的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足（1）證明：；（2）求的最小值.【題型5利用正余弦定理解決實際應用問題】【例5】（2023·四川涼山·統考一模）我國古代數學家劉徽在其撰寫的《海島算經》中給出了著名的望海島問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問島高及去表各幾何．這一方法領先印度500多年，領先歐洲1300多年．其大意為：測量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測點與，共線，目測點與，共線，測出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（）A．18B．16C．12D．21【變式51】（2023秋·內蒙古呼和浩特·高三統考期末）小明同學學以致用，欲測量學校教學樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進行測量，小明同學在運動場上選取相距20米的C，D兩觀測點，且C，D與教學樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測點處測得教學樓頂部A的仰角分別為，，并測得，則教學樓AB的高度是（）A．20米B．米C．米D．25米【變式52】（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開學考試）我國古代數學典籍《九章算術》卷九“勾股”中有一測量問題：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何?這個問題體現了古代對直角三角形的研究，現有一豎立的木頭柱子，高4米，繩索系在柱子上端，牽著繩索退行，當繩索與底面夾角為75°時繩索未用盡，再退行米繩索用盡（繩索與地面接觸），則繩索長為（）A．米B．米C．米D．米【變式53】（2023秋·江蘇南通·高三統考期末）我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動.如圖（2），傘完全收攏時，傘圈已滑到的位置，且，，三點共線，，為的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當傘完全張開時，的余弦值是（）A．B．C．D．【變式54】（2023秋·江蘇南通·高三統考期末）為測量河對岸的直塔AB的高度，選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C，D，測得的大小為60°，點C，D的距離為200m，在點C處測得塔頂A的仰角為45°，在點D處測得塔頂A的仰角為30°，則直塔AB的高為（）A．100mB．C．D．200m（建議用時：60分鐘）1．（2022秋·河南駐馬店·高三校考階段練習）在中，內角，，所對的邊分別為．已知．則（）A．B．C．D．2．（2023秋·廣西欽州·高三校考階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則C等于（）A．B．C．D．3．（2022秋·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學校聯考階段練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（）A．1B．C．2D．4．（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形5．（2023秋·廣西欽州·高三校考階段練習）如圖所示，為了測量某座山的山頂A到山腳某處B的距離（AB垂直于水平面），研究人員在距D研究所處的觀測點C處測得山頂A的仰角為，山腳B的俯角為.若該研究員還測得B到C處的距離比到D處的距離多，且，則（）A．B．C．D．6．（2022·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列結論錯誤的是（）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定為直角三角形D．若，則可以是鈍角三角形7．（2022·全國·高三專題練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則______．8．（2021秋·陜西漢中·高三校聯考階段練習）如圖，一艘船上午8：00在A處測得燈塔S在它的北偏東30°方向，之后它繼續沿正北方向勻速航行，上午8：30到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°方向，且與它相距海里，則此船的航行速度是______海里/