2023-2024學年湖北省部分高中聯考協作體高二下學期期中考試數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2湖北省部分高中聯考協作體2023-2024學年高二下學期期中考試數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的學校、考號、班級、姓名等填寫在答題卡上．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的〖答案〗信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號，答在試題卷、草稿紙上無效．3．填空題和解答題的作答：用0．5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內，答在試題卷、草稿紙上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知，則（）A.3或9 B.9 C.3 D.6〖答案〗C〖解析〗因為，所以或，得.故選：C.2.下列導數運算正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A項，因是常數，故，即A項錯誤；對于B項，利用復合函數的求導法則，，故B項錯誤；對于C項，，故C項錯誤；對于D項，由求導法則易得故D項正確.故選：D.3.有3個旅游愛好者分別從4個不同的景點中選擇一處游覽，則不同的選擇方法數為（）A.81 B.64 C.24 D.12〖答案〗B〖解析〗3個旅游愛好者分步去選擇景點游覽得種不同的選擇方法數.故選：B.4.在等比數列中，是函數的兩個極值點，若，則的值為（）A.3 B. C. D.9〖答案〗D〖解析〗因為為等比數列，，所以，解得或（不合題意，舍去），所以，，令，即，由題意得，是方程的兩個相異正根，則，，符合題意，故選：D．5.已知等差數列的前項和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗是等差數列，∴，又，所以，公差，因此中，當時遞減，是最小值，從開始，遞增，又，，所以使得的最大的為11，故選：C．6.已知的展開式中，前三項的系數依次成等差數列，則展開式中二項式系數最大的項是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗展開式中的第項為，所以前三項的系數依次為，依題意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二項式系數的性質可知，展開式中第5項的二項式系數最大，即.故選：C.7.已知函數的導函數為，若，設，，．則的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，兩邊除以，，即，設，則由可得在上單調遞增.因，則有，即，因為增函數，故有，即，故.故選：A.8.對任意，存在，使得，則的最小值為（）A. B. C.1 D.e〖答案〗C〖解析〗由題，令，則，所以，令，則，令，則，則即在時單調遞增，又，則時時，所以時取得極小值也即為最小值，最小值，即的最小值為1．故選：C．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由，選項A是正確的；由，選項B是錯誤的；由，而，顯然，所以選項C是錯誤的；由而，所以成立，即選項D是正確的；故選：AD.10.已知數列滿足，，則（）A.為等比數列 B.的通項公式為C.為遞增數列 D.的前n項和〖答案〗AD〖解析〗因為，所以+3，所以，又因為，所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，故A正確；，即，故B不正確；因為，因為，所以，所以，所以為遞減數列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：AD.11.已知，，則下列結論正確的是（）A.函數在上存在極大值B.函數沒有最值C.若對任意，不等式恒成立，則實數的最大值為D.若，則的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A項，，設，則，當時，，即函數在上單調遞減；當時，，即函數在上單調遞增.故，則在上單調遞增，故函數無極大值，即A項錯誤；對于B項，，令，則，當時，，即函數在上單調遞減；當時，，即函數在上單調遞增.故，則函數在R上單調遞增，故函數沒有最值，即B項正確；對于C項，由B項知，函數在R上單調遞增，于是對任意，不等式等價于，則有，對任意，，由A項可得，在上單調遞增，故，則，故實數的最大值為，即C項正確；對于D項，若，則，即，因，則，由A項得，在上單調遞增，于是，，故，令，則，當時，，則函數在上遞增；當時，，則函數在上遞減，從而，故的最大值為，即D項正確.故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若展開式中的系數為70，則實數___________．〖答案〗2〖解析〗的通項公式為，當時，，當時，，故的展開式中含的項為，由題意知，解得．故〖答案〗為：213.若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由得：，因為在區間上單調遞增，所以，即，又因為，所以，即，故〖答案〗為：.14.記上的可導函數的導函數為，滿足的數列稱為“牛頓數列”．若函數，且，數列為牛頓數列．設，已知，則______，數列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，則的最大值為______．〖答案〗①4②〖解析〗因為，則，則，由，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即數列是以2為首項、2為公比的等比數列，所以，，因為對任意的恒成立，又且單調遞增，所以對任意的恒成立，令，根據對勾函數的性質可得在上單調遞減，在上單調遞增，又，且，所以，所以的最大值為．故〖答案〗為：4；.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.若，且.（1）求實數a的值；（2）求的值.解：（1）依題意，展開式的通項為=，由，=2得，所以，，解得，所以實數a的值是1.（2）由（1）知，，當時，，當時，，因此=1.16.某班有6名同學報名參加校運會的四個比賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法．（用數字回答）（1）每項限報一人，且每人至多參加一項，每個項目均有人參加；（2）每人限報一項，人人參加，且每個項目均有人參加．解：（1）在6人中任選4人，安排其參加四個比賽項目，有種報名方法．（2）根據題意，分2步進行分析：①將6人分成4組，若分為3、1、1、1的四組，有種分組方法，若分為2、2、1、1的四組，有種分組方法，則一共有種分組方法；②將分好的四組安排參加4項比賽，有種情況，所以共有種報名方法．17.已知數列的前項和為，.（1）求的值，并求數列的通項公式；（2）若數列的前項和為，證明：.解：（1）因為，所以當時，，兩式作差可得，整理得．，令，則，所以，所以，則，當時，也符合上式，綜上，．（2）由（1）可知，，則，因為，所以，所以．18.已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數在處有極值為時：①求的值；②若的導函數為，討論方程的零點的個數．解：（1）由題知定義域為，，當時，，，，切線方程為即；（2）①由題意得，解得或，令，當時，，符合題意；當時，，此時恒成立，不符合題意，故．②由①得設則令，得或當和時，，單調遞增；在時，，單調遞減.，,又時，；時，，如圖所示.所以，當時，方程沒有零點；當或時，方程有一個零點；當或時，方程有兩個零點；當時，方程有三個零點．19.已知函數．（1）試討論函數的單調性；（2）時，求在上的最大值；（3）當時，不等式恒成立，求整數的最大值．解：（1）由函數可得，當時，恒成立，所以的單調遞減區間是；無單調遞增區間.當時，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調遞減區間是；單調遞增區間是，綜上所述：當時，的單調遞減區間是；無單調遞增區間，當時，的單調遞減區間是；單調遞增區間是.（2）由（1）知當時，在上單調遞減；在上單調遞增，當，即時，在上單調遞減，所以，即在上的最大值是，當，即時，在上單調遞增，所以，即在上的最大值是，當，即時，在上單調遞減；在上單調遞增，所以最大值可能在或處取得，，，當，即時，，即在上的最大值是，當，即時，，即在上的最大值是，綜上所述：當時，在上的最大值是；當時，在上的最大值是.（3）當時，不等式恒成立，即，即，，，，，即，令，，令，，所以在區間上單調遞增，因為，，所以存在唯一一點，使，即，所以，所以當時，，即，當時，，即，所以在區間上單調遞減；在區間上單調遞增；所以，，，因為，所以，即，所以，所以整數的最大值是4.湖北省部分高中聯考協作體2023-2024學年高二下學期期中考試數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的學校、考號、班級、姓名等填寫在答題卡上．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的〖答案〗信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號，答在試題卷、草稿紙上無效．3．填空題和解答題的作答：用0．5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內，答在試題卷、草稿紙上無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知，則（）A.3或9 B.9 C.3 D.6〖答案〗C〖解析〗因為，所以或，得.故選：C.2.下列導數運算正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A項，因是常數，故，即A項錯誤；對于B項，利用復合函數的求導法則，，故B項錯誤；對于C項，，故C項錯誤；對于D項，由求導法則易得故D項正確.故選：D.3.有3個旅游愛好者分別從4個不同的景點中選擇一處游覽，則不同的選擇方法數為（）A.81 B.64 C.24 D.12〖答案〗B〖解析〗3個旅游愛好者分步去選擇景點游覽得種不同的選擇方法數.故選：B.4.在等比數列中，是函數的兩個極值點，若，則的值為（）A.3 B. C. D.9〖答案〗D〖解析〗因為為等比數列，，所以，解得或（不合題意，舍去），所以，，令，即，由題意得，是方程的兩個相異正根，則，，符合題意，故選：D．5.已知等差數列的前項和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗是等差數列，∴，又，所以，公差，因此中，當時遞減，是最小值，從開始，遞增，又，，所以使得的最大的為11，故選：C．6.已知的展開式中，前三項的系數依次成等差數列，則展開式中二項式系數最大的項是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗展開式中的第項為，所以前三項的系數依次為，依題意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二項式系數的性質可知，展開式中第5項的二項式系數最大，即.故選：C.7.已知函數的導函數為，若，設，，．則的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，兩邊除以，，即，設，則由可得在上單調遞增.因，則有，即，因為增函數，故有，即，故.故選：A.8.對任意，存在，使得，則的最小值為（）A. B. C.1 D.e〖答案〗C〖解析〗由題，令，則，所以，令，則，令，則，則即在時單調遞增，又，則時時，所以時取得極小值也即為最小值，最小值，即的最小值為1．故選：C．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由，選項A是正確的；由，選項B是錯誤的；由，而，顯然，所以選項C是錯誤的；由而，所以成立，即選項D是正確的；故選：AD.10.已知數列滿足，，則（）A.為等比數列 B.的通項公式為C.為遞增數列 D.的前n項和〖答案〗AD〖解析〗因為，所以+3，所以，又因為，所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，故A正確；，即，故B不正確；因為，因為，所以，所以，所以為遞減數列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：AD.11.已知，，則下列結論正確的是（）A.函數在上存在極大值B.函數沒有最值C.若對任意，不等式恒成立，則實數的最大值為D.若，則的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A項，，設，則，當時，，即函數在上單調遞減；當時，，即函數在上單調遞增.故，則在上單調遞增，故函數無極大值，即A項錯誤；對于B項，，令，則，當時，，即函數在上單調遞減；當時，，即函數在上單調遞增.故，則函數在R上單調遞增，故函數沒有最值，即B項正確；對于C項，由B項知，函數在R上單調遞增，于是對任意，不等式等價于，則有，對任意，，由A項可得，在上單調遞增，故，則，故實數的最大值為，即C項正確；對于D項，若，則，即，因，則，由A項得，在上單調遞增，于是，，故，令，則，當時，，則函數在上遞增；當時，，則函數在上遞減，從而，故的最大值為，即D項正確.故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若展開式中的系數為70，則實數___________．〖答案〗2〖解析〗的通項公式為，當時，，當時，，故的展開式中含的項為，由題意知，解得．故〖答案〗為：213.若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由得：，因為在區間上單調遞增，所以，即，又因為，所以，即，故〖答案〗為：.14.記上的可導函數的導函數為，滿足的數列稱為“牛頓數列”．若函數，且，數列為牛頓數列．設，已知，則______，數列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，則的最大值為______．〖答案〗①4②〖解析〗因為，則，則，由，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即數列是以2為首項、2為公比的等比數列，所以，，因為對任意的恒成立，又且單調遞增，所以對任意的恒成立，令，根據對勾函數的性質可得在上單調遞減，在上單調遞增，又，且，所以，所以的最大值為．故〖答案〗為：4；.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.若，且.（1）求實數a的值；（2）求的值.解：（1）依題意，展開式的通項為=，由，=2得，所以，，解得，所以實數a的值是1.（2）由（1）知，，當時，，當時，，因此=1.16.某班有6名同學報名參加校運會的四個比賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法．（用數字回答）（1）每項限報一人，且每人至多參加一項，每個項目均有人參加；（2）每人限報一項，人人參加，且每個項目均有人參加．解：（1）在6人中任選4人，安排其參加四個比賽項目，有種報名方法．（2）根據題意，分2步進行分析：①將6人分成4組，若分為3、1、1、1的四組，有種分組方法，若分為2、2、1、1的四組，有種分組方法，則一共有種分組方法；②將分好的四組安排參加4項比賽，有種情況，所以共有種報名方法．17.已知數列的前項和為，.（1）求的值，并求數列的通項公式；（2）若數列的前項和為，證明：.解：（1）因為，所以當時，，兩式作差可得，整理得．，令，則，所以，所以，則，當時，也符合上