專題11 等差數列與等比數列（5知識點+2重難點+11方法技巧+3易錯易混）（原卷版）-2025高考數學一輪復習知識

專題11等差數列與等比數列（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1數列的有關概念1、數列的定義及表示（1）數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列．數列中的每一個數叫做這個數列的項．（2）數列的表示法：數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法．2、數列的分類分類標準類型滿足條件按項數分類有窮數列項數有限無窮數列項數無限按項與項間的大小關系分類遞增數列其中n∈N*遞減數列常數列按其他標準分類有界數列存在正數M，使擺動數列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列周期數列對n∈N*，存在正整數常數k，使3、數列的通項公式：如果數列的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表達，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．4、數列的遞推公式：如果已知數列的首項(或前幾項)，且任一項與它的前一項(或前幾項)間的關系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數列的遞推公式．知識點2等差數列1、等差數列的定義（1）文字語言：一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數；（2）符號語言：(，為常數)．2、等差中項：若三個數a，A，b組成等差數列，則A叫做a，b的等差中項．3、通項公式與前n項和公式（1）通項公式：．（2）前項和公式：．（3）等差數列與函數的關系=1\*GB3①通項公式：當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且一次項系數為公差.若公差，則為遞增數列，若公差，則為遞減數列．=2\*GB3②前n項和：當公差時，是關于的二次函數且常數項為0.知識點3等差數列的性質已知數列是等差數列，是其前項和．1、等差數列通項公式的性質：（1）通項公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數列，公差為．（4）若是等差數列，則也是等差數列．2、等差數列前項和的性質（1）；（2）；（3）兩個等差數列，的前n項和，之間的關系為.（4）數列，，，…構成等差數列．3、關于等差數列奇數項和與偶數項和的性質（1）若項數為，則，；（2）若項數為，則，，，.知識點4等比數列1、等比數列的定義（1）等比數列的定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母表示。（2）數學語言表達式：(，為非零常數)．2、等比中項性質：如果三個數，，成等比數列，那么叫做與的等比中項，其中.注意：同號的兩個數才有等比中項。3、通項公式及前n項和公式（1）通項公式：若等比數列的首項為，公比是，則其通項公式為；通項公式的推廣：.（2）等比數列的前項和公式：當時，；當時，.知識點5等比數列的性質已知是等比數列，是數列的前項和．1、等比數列的基本性質（1）相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即，，，…仍是等比數列，公比為.（2）若，（項數相同）是等比數列，則，，，，仍是等比數列．（3）若，則有口訣：下標和相等，項的積也相等推廣：（4）若是等比數列，且，則（且）是以為首項，為公差的等差數列。（5）若是等比數列，，則構成公比為的等比數列。2、等比數列前項和的性質（1）在公比或且為奇數時，，，，……仍成等比數列，其公比為；（2）對，有；（3）若等比數列共有項，則，其中，分別是數列的偶數項和與奇數項和；（4）等比數列的前項和，令，則（為常數，且）重難點01等差數列前n項和最值求法1、二次函數法：將Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．轉化為求二次函數的最值問題，但要注意n∈N*，結合二次函數圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀．2、鄰項變號法：當a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時，Sn取得最大值；當a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時，Sn取得最小值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．【典例1】（23-24高三下·遼寧葫蘆島·二模）等差數列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【典例2】（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知是等差數列，是其前項的和，則下列結論錯誤的是（

）A．若，則取最小值時的值為12B．若，則的最大值為108C．若，則必有D．若首項，，則取最小值時的值為9重難點02已知{an}為等差數列，求數列{|an|}的前n項和的步驟第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負項分界點．第二步，求和：①若an各項均為正數(或均為負數)，則{|an|}各項的和等于{an}的各項的和(或其相反數)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，這時數列{an}只有前面有限項為正數(或負數)，可分段求和再相加．【典例1】（23-24高二上·天津武清·月考）若等差數列的首項，，記，則．【典例2】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知數列的前n項和為.若為等差數列，且滿足，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求.一、由前幾項歸納數列通項的常用方法及具體策略1、常用方法：觀察(觀察規律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.2、具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；⑥對于符號交替出現的情況，可用或，處理.【典例1】（23-24高三上·山東泰安·開學摸底）已知數列1，，，，3，…，按此規律，是該數列的（

）A．第11項 B．第12項 C．第13項 D．第14項【典例2】（23-24高三下·貴州黔南·二模），數列1，，7，，31，的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高三下·廣東梅州·一模）.二、數列周期性解題策略1、周期數列的常見形式（1）利用三角函數的周期性，即所給遞推關系中含有三角函數；（2）相鄰多項之間的遞推關系，如后一項是前兩項的差；（3）相鄰兩項的遞推關系，等式中一側含有分式，又較難變形構造出特殊數列．2、解決此類題目的一般方法：根據給出的關系式求出數列的若干項，通過觀察歸納出數列的周期，進而求有關項的值或者前項的和．【典例1】（23-24高三下·山東濟寧·三模）已知數列an中，，則（

）A．-2 B． C．1 D．2【典例2】（23-24高三下·遼寧·模擬預測）數列中，，，，則的值為（

）A． B． C．3 D．【典例3】（23-24高三下·重慶·開學考試）已知數列滿足，，則的前項和為（

）A． B． C． D．三、求數列最大項或最小項的方法（1）將數列視為函數當x∈N*時所對應的一列函數值，根據的類型作出相應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出的最值，進而求出數列的最大(小)項．（2）通過通項公式研究數列的單調性，利用確定最大項，利用確定最小項．（3）比較法：①若有（或時，），則，即數列是遞增數列，所以數列的最小項為；②若有（或時，），則，即數列是遞減數列，所以數列的最大項為．【典例1】（23-24高三下·山東濟南·二模）已知是各項均為正整數的遞增數列，前項和為，若，當取最大值時，的最大值為（

）A．63 B．64 C．71 D．72【典例2】（23-24高三下高三·全國·專題練習）已知數列{an}的通項公式為，則此數列的最大項為（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三下·上海·模擬預測）數列的最小項的值為.四、等差數列的基本運算的解題策略1、等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了方程思想．2、數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．【典例1】（23-24高三下·新疆·二模）已知等差數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·江蘇南京·月考）已知公差大于0的等差數列的前6項和為，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例3】（23-24高三下·內蒙古包頭·三模）設為等差數列的前n項和，若，，若時，，則等于（

）A．11 B．12 C．20 D．22五、等差數列的判定與證明的方法1、定義法：或是等差數列；2、定義變形法：驗證是否滿足；3、等差中項法：為等差數列；4、通項公式法：通項公式形如為常數為等差數列；5、前n項和公式法：為常數為等差數列．注意：（1）若判斷一個數列不是等差數列，只需找出三項，使得即可；（2）如果要證明一個數列是等差數列，則必須用定義法或等差中項法．【典例1】（23-24高三下高三·全國·專題練習）已知數列滿足．證明：數列是等差數列；【典例2】（23-24高二下·江蘇·月考）數列的前項和為，且，當時，.(1)計算：，；(2)證明為等差數列，并求數列的通項公式；【典例3】（23-24高三下·江蘇南通·二模）設數列的前項和為，若，.(1)求，，并證明：數列是等差數列；(2)求.六、等差數列性質的應用1、在等差數列{an}中，當m≠n時，d＝eq\f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.2、等差數列{an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數列仍然是等差數列．3、等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.【典例1】（23-24高三下·廣西柳州·模擬預測）在等差數列中，若，則（

）．A．7 B．12 C．16 D．24【典例2】（24-25高三上·廣東·聯考）在等差數列中，若，則的值為（

）A．20 B．30 C．40 D．50【典例3】（23-24高三下·云南·月考）已知為等差數列的前n項和，，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10七、等差數列的前n項和常用的性質應用1、等差數列的依次k項之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數列．2、數列{an}是等差數列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數)?數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數列．3、若S奇表示奇數項的和，S偶表示偶數項的和，公差為d，①當項數為偶數2n時，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當項數為奇數2n－1時，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【典例1】（24-25高三上·廣東·開學考試）在等差數列中，，，（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·天津南開·月考）已知等差數列和的前項和分別為，若，則（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三下高三·全國·專題練習）在等差數列中，，其前項和為，若，則.八、求解等比數列的基本量常用的思想方法1、方程的思想：等比數列的通項公式、前n項和公式中聯系著五個量：，已知其中三個量，可以通過解方程(組)求出另外兩個量；其中基本量是a1與q，在解題中根據已知條件建立關于a1與q的方程或者方程組，是解題的關鍵．2、分類討論思想：在應用等比數列前n項和公式時，必須分類求和，當時，；當時，；在判斷等比數列單調性時，也必須對與分類討論．【典例1】（23-24高三下·四川涼山·三模）已知是等比數列的前n項和，，，則公比（

）A． B． C．3或 D．或【典例2】（23-24高三下·江蘇無錫·開學考試）設各項均為正數的等比數列的前項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．31【典例3】（23-24高三下·遼寧丹東·開學考試）設等比數列an的前項和為，若，，則（

）A．或9 B．8或 C．8或9 D．或九、等比數列的判定與證明常用的方法：1、定義法：為常數且數列是等比數列．2、等比中項法：數列是等比數列．3、通項公式法：數列是等比數列．4、前項和公式法：若數列的前項和，則該數列是等比數列．其中前兩種方法是證明等比數列的常用方法，而后兩種方法一般用于選擇題、填空題中．注意：（1）若要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續三項不成等比數列即可．（2）只滿足的數列未必是等比數列，要使其成為等比數列還需要.【典例1】（23-24高三下·寧夏銀川·二模）已知數列滿足，，則下列是等比數列的是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下高三·全國·專題練習）已知數列滿足，，．(1)證明：是等比數列；(2)求．【典例3】（23-24高三下·重慶·月考）已知數列的前項和為，且，．(1)求，，并證明：數列為等比數列；(2)求的值．十、等比數列的性質及應用1、等比數列性質應用問題的解題突破口等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項公式的變形，三是前n項和公式的變形．根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．2、應用等比數列性質解題時的2個注意點（1）在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若，則有”，可以減少運算量，提高解題速度．（2）在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．【典例1】（23-24高三下·山東淄博·二模）已知等比數列則（

）A．8 B．±8 C．10 D．±10【典例2】（23-24高三下·廣西·二模）設是等比數列的前n項和，若S2=2，，則S6S4=A．2 B． C．3 D．【典例3】（23-24高三下·湖北襄陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，且，則（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或40十一、等差數列與等比數列的實際應用解決數列新背景問題的步驟（1）讀懂題意：脫去傳統風俗、數學文化等背景，讀懂題意；（2）構造模型：根據題意構造等差數列、等比數列或遞推關系的模型；（3）求解模型：根據數列的相關性質求解，如求特定項、通項公式或前n項和.【典例1】（23-24高三下·山西·模擬預測）干支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，依此類推．已知2024年是甲辰年，則2124年為（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年【典例2】（23-24高三下·云南昆明·模擬預測）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續開放，已知池塘內某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內共有2000個花蕾，第一天有10個花蕾開花，之后每天花蕾開放的數量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內開放荷花的數量達到最大（

）A．6 B．7 C．8 D．9【典例3】（23-24高三上·河南周口·月考）如圖，正方形的邊長為1，記其面積為，取其四邊的中點，，，，作第二個正方形，記其面積為，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第三個