人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《正多邊形和圓》教學(xué)學(xué)案

24.3正多邊形和圓（1）

第一課時(shí)

敬憚&棕

了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、

中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫(huà)多邊形.

復(fù)習(xí)正多邊形概念，讓學(xué)生盡可能講出生活中盼多邊形為引題引入正多邊形

和圓這一節(jié)間的內(nèi)容.

fcs關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長(zhǎng)之

間的關(guān)系.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過(guò)例題使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心

距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.

教學(xué)4連

一、復(fù)習(xí)引入

請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題.

1.什么叫正多邊形？

2.從你身邊舉出兩三個(gè)正多邊形的實(shí)例，正多邊形具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱

嗎?其對(duì)稱軸有幾條，對(duì)稱中心是哪一點(diǎn)？

點(diǎn)評(píng)：1.各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.

2.實(shí)例略.正多邊形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)多條；

Ap

正多邊形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是正多邊對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線XyV

交點(diǎn)?

C-D

二、探索新知

如果我們以正多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的交點(diǎn)作為圓心，過(guò)點(diǎn)到頂點(diǎn)的連線為半徑，

能夠作一個(gè)圓，很明顯，這個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)圓上，如圖，正六邊

形ABCDEF,連結(jié)OD、CF交于一點(diǎn)，以0為圓心，0A為半徑作圓，那么肯定B、

C、D、E、F都在這個(gè)圓上.

因此，正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就

可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓.

我們以圓內(nèi)接正六邊形為例證明（略）.

為了今后學(xué)習(xí)和應(yīng)用的方便，我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)

多邊形的中心.

外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.ED

中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.尸

例L已知正六邊形ABC—DEF,如圖所示，其外接圓的半MB

徑是n,求正六邊形的周長(zhǎng)和面積.

分析：要求正六邊形的周長(zhǎng)，只要求AB的長(zhǎng)，已知條件是外接圓半徑，因

此自然而然，邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接0A,過(guò)0點(diǎn)作OMLAB垂于M,

在RtaAOM中便可求得AM,又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長(zhǎng).正六邊形的面積是

由六塊正三角形面積組成的.

例2.利用你手中的工具畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的正五邊形.

分析：要畫(huà)正五邊形，首先要畫(huà)一個(gè)圓，然后對(duì)圓五等分，因此，應(yīng)該先求

邊長(zhǎng)為3的正五邊形的半徑.

三、鞏固練習(xí)教材P115練習(xí)1、2、3,P116探究題、練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例3.在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形

的一邊為AB,頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8,現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)

接于4ABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上，如圖的設(shè)計(jì)方案是使AC=8,

BC=6.

（1）求aABC的邊AB上的高.（2）設(shè)DN『，且與產(chǎn)=翳當(dāng)z取何值時(shí)，水池

DEFN的面積最大？

（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1.85的M處有一

棵大樹(shù)，問(wèn)：這棵大樹(shù)是否位于最大矩形水池的邊上?如果在，/平卜

為了保護(hù)大樹(shù)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的ADGEB

方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開(kāi)大樹(shù).

分析：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初

中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值，（3）的設(shè)計(jì)要有新意，應(yīng)用圓的

對(duì)稱性就能圓滿解決此題.

五、歸納小結(jié)（學(xué)生小結(jié)，點(diǎn)評(píng)）

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.正多邊和圓的有關(guān)概念：正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正多邊形

的中心角，正多邊的邊心距.

2.正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長(zhǎng)、正多邊的邊心距之間的等

量關(guān)系.

3.畫(huà)正多邊形的方法.

4.運(yùn)用以上的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

六、布置作業(yè)教材PUT復(fù)習(xí)鞏固1綜合運(yùn)用5、7Pus的8

正多邊形和圓

教學(xué)目標(biāo)：

(1)使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定

理；

(2)通過(guò)正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力；通過(guò)正多邊形與圓關(guān)系

定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力；

(3)進(jìn)一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思

想.

教學(xué)重點(diǎn)：

正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個(gè)定理.

教學(xué)難點(diǎn)：

對(duì)定理的理解以及定理的證明方法.

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

(一)觀察、分析、歸納：

觀察、分析：

1.等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2.正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn).

教師組織學(xué)生進(jìn)行，并可以提問(wèn)學(xué)生問(wèn)題.

(二)正多邊形的概念：

(1)概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個(gè)正多

邊形有n(nN3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正

方形有四條邊叫正四邊形.

(2)概念理解:

①請(qǐng)同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見(jiàn)過(guò)的正多邊形.(正三角形、正方

形、正六邊形，…….)

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟?菱形不是正多邊形，因?yàn)榻?/p>

不一定相等.

（三）分析、發(fā)現(xiàn)：

A

問(wèn)題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同

心圓.

分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分.要

將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形.要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理

定理：把圓分成n（nZ3）等份：

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；

⑵經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的

外切正n邊形.

我們以n=5的情況進(jìn)行證明.

已知：。0中，AB=BC=CD=DE=EA,TP、PQ、QR、RS、ST分別是

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D、E的G）0的切線.

求證：（1）五邊形ABCDE是。O的內(nèi)接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是。O的外切正五邊形.

證明：（略）

引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路：

弦相等

][多邊形各邊相等

n圓周角相等n多邊形是正多邊形

多邊形各角相等

弧相等弦切角相等

說(shuō)明：（1）要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來(lái)判定外，還可

以根據(jù)這個(gè)定理來(lái)判定，即：①依次連結(jié)圓的n（叱3）等分點(diǎn)，所得的多邊

形是正多迫形；②經(jīng)過(guò)圓的n（nN3）等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的

多邊形是正多邊形.

⑵要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件.

⑶此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正

多邊形或根據(jù)它作正多邊形.

（五）初步應(yīng)用

P157練習(xí)

1、（口答）矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形