福建省永安市第三中學2025屆數學高一下期末質量檢測試題含解析

福建省永安市第三中學2025屆數學高一下期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．圓，那么與圓有相同的圓心，且經過點的圓的方程是（）．A． B．C． D．2．在中，若，則下列結論錯誤的是（）A．當時，是直角三角形 B．當時，是銳角三角形C．當時，是鈍角三角形 D．當時，是鈍角三角形3．已知數列的前項和為，且，則()A． B． C． D．4．如圖，在正四棱錐中，，側面積為，則它的體積為（）A．4 B．8 C． D．5．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點A．向左平行移動個單位長度B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度D．向右平行移動個單位長度6．等差數列{an}中，若S1=1A．2019 B．1 C．1009 D．10107．已知兩條直線m,n，兩個平面α,β，給出下面四個命題：①m//n，m⊥α?n⊥α；②α//β，m?α，n?β?m//n；③m//n，m//α?n//α；④α//β，m//n，m⊥α?n⊥β其中正確命題的序號是（）A．①④B．②④C．①③D．②③8．設，則比多了（）項A． B． C． D．9．如圖，在三角形中，點是邊上靠近的三等分點，則()A． B．C． D．10．若，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某中學從甲乙丙3人中選1人參加全市中學男子1500米比賽，現將他們最近集訓中的10次成績（單位：秒）的平均數與方差制成如下的表格：甲乙丙平均數250240240方差151520根據表中數據，該中學應選__________參加比賽．12．若6是-2和k的等比中項，則______.13．設實數滿足，則的最小值為_____14．數列定義為，則_______.15．若直線上存在點可作圓的兩條切線，切點為，且，則實數的取值范圍為．16．已知圓錐的底面半徑為3，體積是，則圓錐側面積等于___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為等邊角形，.點滿足，，.設.試用向量和表示;若,求的值.18．某城市理論預測2020年到2025屆人口總數與年份的關系如下表所示：年份202x（年）01234人口數y（十萬）5781119（1）請在右面的坐標系中畫出上表數據的散點圖；（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；（3）據此估計2025年該城市人口總數.（參考公式：，）19．某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分數在內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試的平均分；（3）用分層抽樣的方法在分數段為的學生中抽取一個容量為的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取個，求至多有人在分數段內的概率．20．某校從高一年級的一次月考成績中隨機抽取了50名學生的成績（滿分100分，且抽取的學生成績都在內），按成績分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）用分層抽樣的方法從月考成績在內的學生中抽取6人，求分別抽取月考成績在和內的學生多少人；（2）在（1）的前提下，從這6名學生中隨機抽取2名學生進行調查，求月考成績在內至少有1名學生被抽到的概率.21．從高三學生中抽出50名學生參加數學競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學生成績的眾數與中位數；（2）這50名學生的平均成績.（答案精確到0.1）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

圓的標準方程為，圓心，故排除、，代入點，只有項經過此點，也可以設出要求的圓的方程：，再代入點，可以求得圓的半徑為．故選．點睛：這個題目主要考查圓的標準方程，因為這是一道選擇題，故根據與條件中的圓的方程可以得到圓心坐標，進而可以排除幾個選項，如果正規方法，就可以按照已知圓心，寫出標準方程，代入已知點求出標準方程即可．2、D【解析】

由正弦定理化簡已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三邊等知識逐一分析各個選項即可得解．【詳解】解：為非零實數），可得：，由正弦定理，可得：，對于A，時，可得：，可得，即為直角，可得是直角三角形，故正確；對于B，時，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是銳角三角形，故正確；對于C，時，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是鈍角三角形，故正確；對于D，時，可得：，可得，這樣的三角形不存在，故錯誤．故選：D．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的應用，考查了分類討論思想，屬于基礎題．3、D【解析】

通過和關系，計算通項公式，再計算，代入數據得到答案.【詳解】，取，兩式相減得：是首項為4，公比為2的等比數列.故答案選D【點睛】本題考查了等比數列的通項公式，前N項和，意在考查學生的計算能力.4、A【解析】

連交于，連，根據正四棱錐的定義可得平面，取中點，連，則由側面積和底面邊長，求出側面等腰三角形的高，在中，求出，即可求解.【詳解】連交于，連，取中點，連因為正四棱錐，則平面，，側面積，在中，，.故選:A.【點睛】本題考查正四棱錐結構特征、體積和表面積，屬于基礎題.5、D【解析】試題分析：由題意，為得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，故選D.【考點】三角函數圖象的平移【名師點睛】本題考查三角函數圖象的平移，在函數的圖象平移變換中要注意“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單位得的圖象，再把橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得的圖象，再向左平移個單位得的圖象．6、D【解析】

由等差數列{an}中，S1=1，S【詳解】∵等差數列{an}中，S∴S即15=5+10d，解得d=1，∴S故選：D．【點睛】本題考查等差數列基本量的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．7、A【解析】依據線面垂直的判定定理可知命題①是正確的；對于命題②，直線m,n還有可能是異面，因此不正確；對于命題③，還有可能直線n?α，因此③命題不正確；依據線面垂直的判定定理可知命題④是正確的，故應選答案A.8、C【解析】

可知中共有項，然后將中的項數減去中的項數即可得出答案.【詳解】，則中共有項，所以，比多了的項數為.故選:C.【點睛】本題考查數學歸納法的應用，解題的關鍵就是計算出等式中的項數，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9、A【解析】

利用向量的三角形法則以及線性運算法則進行運算,即可得出結論.【詳解】因為點是邊上靠近的三等分點,所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查向量的加?減法以及數乘運算,需要學生熟練掌握三角形法則和共線定理.10、B【解析】

根據不等式性質確定選項.【詳解】當時，不成立；因為，所以；當時，不成立；當時，不成立；所以選B.【點睛】本題考查不等式性質，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、乙；【解析】

一個看均值，要均值小，成績好；一個看方差，要方差小，成績穩定．【詳解】乙的均值比甲小，與丙相同，乙的方差與甲相同，但比丙小，即乙成績好，又穩定，應選乙、故答案為乙．【點睛】本題考查用樣本的數據特征來解決實際問題．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的穩定），這樣比較易得結論．12、-18【解析】

根據等比中項的性質，列出等式可求得結果.【詳解】由等比中項的性質可得，，得.故答案為：-18【點睛】本題主要考查等比中項的性質，屬于基礎題.13、1．【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【詳解】解：由實數滿足作出可行域如圖，

由圖形可知：．

令，化為，

由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最小，有最小值為1．

故答案為：1．【點睛】本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．14、【解析】

由已知得兩式，相減可發現原數列的奇數項和偶數項均為等差數列，分類討論分別算出奇數項的和和偶數項的和，再相加得原數列前的和【詳解】兩式相減得數列的奇數項，偶數項分別成等差數列，，，，數列的前2n項中所有奇數項的和為：，數列的前2n項中所有偶數項的和為：【點睛】對于遞推式為，其特點是隔項相減為常數，這種數列要分類討論，分偶數項和奇數項來研究，特別注意偶數項的首項為，而奇數項的首項為.15、【解析】試題分析：若，則，直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點，由圓心到直線的距離公式可得,解之可得.考點：點到直線的距離公式及直線與圓的位置關系的運用.【方法點晴】本題主要考查了點到直線的距離公式及直線與圓的位置關系的運用，涉及到圓心到直線的距離公式和不等式的求解，屬于中檔試題，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及學生的推理與運算能力，本題的解答中直線上存在點可作和的兩條切線等價于直線與圓有公共點是解答的關鍵．16、【解析】試題分析：求圓錐側面積必須先求圓錐母線，既然已知體積，那么可先求出圓錐的高，再利用圓錐的性質(圓錐的高，底面半徑，母線組成直角三角形)可得母線，，，，．考點：圓錐的體積與面積公式，圓錐的性質．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；；(2).【解析】

（1）根據向量線性運算法則可直接求得結果；（2）根據（1）的結論將已知等式化為；根據等邊三角形邊長和夾角可將等式變為關于的方程，解方程求得結果.【詳解】（1）（2）為等邊三角形且，即：，解得：【點睛】本題考查平面向量線性運算、數量積運算的相關知識；關鍵是能夠將等式轉化為已知模長和夾角的向量的數量積運算的形式，根據向量數量積的定義求得結果.18、（1）見解析；（2）；（3）2025年該城市人口總數為196萬人【解析】

（1）由表中數據描點即可；（2）由最小二乘法的公式得出的值，即可得出該線性方程；（3）將代入（2）中的線性方程，即可得出2025年該城市人口總數.【詳解】（1）畫出散點圖如圖所示.（2），，，，，，則線性回歸方程.（3）時，（十萬）（萬）.答：估計2025年該城市人口總數為196萬人【點睛】本題主要考查了繪制散點圖，求回歸直線方程以及根據回歸方程進行數據估計，屬于中檔題.19、(1)0.3，直方圖見解析；(2)121；(3).【解析】

（1）頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，而頻率的和等于1，可求出分數在內的頻率，即可求出矩形的高，畫出圖象即可；（2）同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，將中點值與每一組的頻率相差再求出它們的和即可求出本次考試的平均分；（3）先計算、分數段的人數，然后按照比例進行抽取，設從樣本中任取2人，至多有1人在分數段為事件，然后列出基本事件空間包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后將包含事件的個數求出題目比值即可.【詳解】(1)分數在[120,130)內的頻率為：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，，補全后的直方圖如下：(2)平均分為：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，[110,120)分數段的人數為：60×0.15＝9人，[120,130)分數段的人數為：60×0.3＝18人．∵用分層抽樣的方法在分數段為[110,130)的學生中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110,120)分數段內抽取2人，并分別記為m，n；在[120,130)分數段內抽取4人并分別記為a，b，c，d；設“從樣本中任取2人，至多有1人在分數段[120,130)內”為事件A，則基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15種．事件A包含的基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9種，∴.20、（1）有4人，有