2024年江蘇省南通市啟東市中考二模數學試題（解析版）

2024年中考適應性測試

數學試題

注意事項

考生在答題前請認真閱讀本注意事項

L本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結束后，請將本試卷和答題紙

一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題

紙指定的位置.

3.答案必須按要求填涂、書寫在答題紙上，在試卷、草稿紙上答題一律無效.

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，恰有一

項是符合題目要求的，請將正確選項的序號填涂在答題紙上.

1.-4的相反數是（）

11

A.—B.——C.4D.-4

44

【答案】C

【解析】

【分析】根據相反數的定義（只有符號不同的兩個數，叫做互為相反數）即可求解.

【詳解】-4的相反數是4,

故選：C.

【點晴】此題主要考查相反數，解題的關鍵是熟知相反數的定義.

2.下列圖案由正多邊形拼成，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【解析】

【詳解】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形

是圖形沿對稱中心旋轉180度后與原圖重合.因此，

A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

第1頁/共27頁

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選B.

3.下列式子中，計算正確的是()

A.(x+2)2=x2+4B.2xy-2y^xC.(x2y3)2=x4/D.a10a5=a2

【答案】C

【解析】

【分析】利用完全平方公式，合并同類項的法則，同底數幕的除法的法則，積的乘方的法則對各項進行運算

即可.

【詳解】解：A、(x+2)2=/+4x+4,故不符合題意；

B、2孫與-2y不屬于同類項，不能合并，故不符合題意；

C、(x2/)2=x4/,故符合題意；

D、"°+/=笳，故不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查完全平方公式，合并同類項，積的乘方，同底數幕的除法，解答的關鍵是對相應的

運算法則的掌握.

4.如圖是一個幾何體的三視圖，這個幾何體是()

主視圖左視圖

俯視圖

A.圓錐B.長方體C.球D,圓柱

【答案】D

第2頁/共27頁

【解析】

【分析】根據三視圖的定義及性質：“長對正，寬相等、高平齊”，可知該幾何體為圓柱

【詳解】主視圖和俯視圖為矩形，則該幾何體為柱體，根據左視圖為圓，可知該幾何體為：圓柱

A、B、C選項不符合題意，D符合題意.

故選D.

【點睛】考查幾何體的三視圖的知識，從正面看的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看

到的圖象是俯視圖.掌握以上知識是解題的關鍵.

5.若關于龍的一元二次方程如2+〃%—2024=0（mw0）的一個解是尤=1,則加+〃+1的值是（）

A.2025B.2024C.2023D.2022

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即為能使方程成立的未知數的值是解本題

的關鍵.

把x=l代入原方程，可得加+“=2024,即可求解.

【詳解】解：???一元二次方程見2+7優—2024=0（機W0）的一個解是x=l,

m+n-2024=0,

m+n=2024,

m+n+1=2025.

故選：A.

6.如圖，數軸上點A,8分別對應2,4,過點B作以點B為圓心，長為半徑畫弧，交

P。于點C；以原點。為圓心，OC長為半徑畫弧，交數軸于點則點加對應的數是（）

【答案】B

第3頁/共27頁

【解析】

【分析】直接利用勾股定理得出OC的長，進而得出答案.

【詳解】解：如圖所示：由題意可得：

OB=2,BC=1,

貝ijOC=742+22=275,

故點M對應的數是：2亞,

故選B.

【點睛】此題主要考查了勾股定理，根據題意得出OC的長是解題關鍵.

7.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1,連接AE交BD于點F,則4DEF的

面積與4BAF的面積之比為（）

A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意可證明根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案.

【詳解】解：???四邊形ABCD為平行四邊形，

J.DC/7AB,

:.ADFEsABFA,

?：DE：EC=3：1,

：.DE：DC=3：4,

：?DE：AB=3：4,

SADFE：SABFA=9：16.

故選：B.

8.如圖，□O與正五邊形ABODE的兩邊A2CD相切于AC兩點，則/AOC的度數是（）

第4頁/共27頁

A.144°B.130°C.129°D,108°

【答案】A

【解析】

【分析】根據切線的性質，可得/OAE=90°,ZOCD=90°,結合正五邊形的每個內角的度數為

108°,即可求解.

【詳解】解：VA￡,CD切。。于點A、C,

：.ZOAE=90°,ZOCD=90°,

...正五邊形ABCDE的每個內角的度數為：（5-2）x180=]08。,

5

ZAOC=540°-90°-90°-108°-108°=144°,

故選：A.

【點睛】本題主要考查正多邊形的內角和公式的應用，以及切線的性質定理，掌握正多邊形的內角和定理

是解題的關鍵.

9.如圖，在平面直角坐標系中，直線丁=京+4與y軸交于點C,與反比例函數y=一,在第一象限內的

X

圖像交于點B，連接OB,若用。BC=4,tanZBOC=1,則m的值是（）

【答案】D

【解析】

【分析】先根據直線求得點C的坐標，然后根據用。g=4求得8。=2,然后利用正切的定義求得

OD=6,從而求得點B的坐標，求得結論.

第5頁/共27頁

【詳解】解：..?直線丁=履+4與y軸交于點C,當x=0時，y=4,

...點C的坐標為（0,4）,

OC=4,

過B作5。，y軸于D,

?S口OBC=4,

BD=2,

?：tanZBOC=L

3

.BD

'*OD-3）

OD=6,

.?.點3的坐標為（2,6）,

rrj

??,反比例函數y=一,在第一象限內的圖像經過點3,

x

m=2x6=12.

故選：D.

【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點坐標，正切的含義，解題的關鍵是作輔助線構造直角三

角形.

10.如圖，已知A,2兩點的坐標分別為（8,0）,（0,8）,點C,尸分別是直線x=-5和x軸上的動點，

CF=10,點。是線段CF的中點，連接AO交y軸于點E,當A4BE面積取得最小值時，sin/BAO的值是

（）

第6頁/共27頁

874V27血

A.B.cD.

1717.~13~

【答案】D

【解析】

【分析】設直線x=-5交x軸于K,可知KD=!b=5,推出。點的運動軌跡是以K為圓心，5為半

2

徑的圓，推出當直線AD與□K相切時，口ABE的面積最小，作EH_LAB于H,求出的值，即可

解題.

【詳解】解：如圖，設直線x=-5交無軸于K,

由題意得,

KD=-CF=5

2

.:。點的運動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓,

當直線與口K相切時，DABE的面積最小，

???A。是切線，點。是切點，

AD1KD

-：AK=13,￡>K=5

AD=12

nrDK

tanZEAO=~

OA~AD

OE_5

10

:.OE

T

AE=VOE2+OA2=—

3

第7頁/共27頁

作EH_LAB于H

??V=-AB-EH=S-S

?^ABE2aAOBDAOE

:.EH=^-

3

7V2

EH3一7后

sin/BAD

AE2626

T

故選：D.

【點睛】本題考查切線的性質、正切、勾股定理、正弦等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

二、填空題（本題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分）不

需寫出解答過程，把最后結果填在答題紙對應的位置上.

11.因式分解：2a2—8。+8=

【答案】2（a—2『

【解析】

【分析】先提公因式2,再利用完全平方公式分解.

【詳解】解：2a2-8a+8

=2（/—4a+4）

=2（a-2『

故答案為：2（a-

【點睛】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握提公因式法和公式法的綜合應用.

12.太陽的主要成分是氫，氫原子的半徑約為0.000000000053m.這個數用科學記數法可以表示為

【答案】5.3x1011

【解析】

【分析】本題主要考查科學記數法，根據科學記數法的表示方法求解即可.科學記數法的表示形式為

ax10〃的形式，其中l4|a|<10,，為整數.解題關鍵是正確確定a的值以及"的值.

第8頁/共27頁

【詳解】0.000000000053用科學記數法可以表示為5.3x10一”.

故答案為：5.3x1011.

13.某個函數具有性質：當尤＞0時，丁隨龍的增大而增大，這個函數的表達式可以是一（只要寫出一個

符合題意的答案即可）

【答案】y=V

【解析】

【分析】根據一次函數的性質、反比例函數的性質、二次函數的性質寫出一個滿足條件的函數即可.

【詳解】某個函數具有性質：當尤＞0時，V隨X的增大而增大，這個函數的表達式可以是丁=無2,

故答案為y=x2（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了函數的性質，熟練掌握一次函數的性質、反比例函數的性質、二次函數的性質是解本

題的關鍵.

14.已知扇形的面積為12兀，半徑等于6,則它的圓心角等于_________度.

【答案】120

【解析】

【詳解】扇形面積=圓心角Ex半徑平方/360

即12knX7tx36+36012=n4-10

所以n=120°.

故答案為120.

15.如圖是一個直角三角形紙片的一部分，測得NA=90。，ZB=76°,AB=10cm,則原來的三角形紙片

的面積是cm2.（結果精確至【J1cm2）參考數據：sin76°?0.97,cos76°工0.24，tan76°~4.01.）

【答案】201

【解析】

AC

【分析】先延長直角三角形的兩邊相交于點C,利用tan3=——，求出直角邊AC的長，即可求出三角形

AB

第9頁/共27頁

紙片的面積.

【詳解】如圖延長直角三角形的兩邊相交于點C,

,AC

??tanBn------

AB

/.AC=AB-tanB=10xtan76°x10x4.01=40.1,

S=-ABAC=-xl0x40.1?201,

22

故答案是201.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，以及三角形的面積，掌握直角三角形的邊角關系是解題的關

鍵.

16.我國古代數學名著《孫子算經》中記載了一道題，原文：今有人盜庫絹，不知所失幾何.但聞草中分絹,

人得六匹，盈六匹：人得七匹，不足七匹.問人、絹各幾何？注釋：（娟）紡織品的統稱；（人得）每人分得;

（匹）量詞，用于紡織品等；（盈）：剩下.則庫絹共有_____匹.

【答案】84

【解析】

【分析】根據“人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹”列出方程組即可.

【詳解】解：若設賊有無人，庫絹有y匹,

6%+6=y

根據題意得:<

7x-7=y

x=13

解得:

y=84

第10頁/共27頁

.?.庫絹共有84匹，

故答案為：84.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系，列出方程組，難

度不大.

17.已知四邊形A6CD是矩形，A3=2,3C=4,E為邊上一動點且不與2、C重合，連接AE,如

圖，過點、E作ENLAE交CD于點、N.將DECN沿EN翻折，點C恰好落在邊上，那么BE的長

22

【答案】2或或2

【解析】

【分析】過點E作環工AD于R則四邊形A8E尸是矩形，得出A3=ER=2,AF=BE,由折疊的性

質得出CE=C'E,CN=C'N,ZEC'N=ZC=900,證明口￡。'/皿C'A?,得出

CDDNC'N,CDDNCN,ABBE,CNBECDDNBE

----==----,貝!Jn------==,由=,倚zn出=,則==,

EFFCCEEFFCCECECNCEAB--------EFFCAB

出CD=BE,設=則C'D=AE=x,C'F=4-2x,CE=4—x,貝U

DNxCNx/、—x）

上竺=土,_j=±,求出。N=X（2—X）,CN=,由CN+DN=CD=2,即可得出結

4—2x24—x22

果；

【詳解】解：過點E作于尸，如圖所示:

則四邊形是矩形，

:.AB=EF=2,AF=BE,

由折疊的性質得：CE=C'E,CN=C'N,NEC'N=NC=哪,

：.ZNC'D+ZEC'F=90°,

第11頁/共27頁

?：ZC'ND+ZNC'D=9Q°,

：.NEC'F=NC'ND,

???ND=ZEFC,

.'.UECFUnCND,

*_C_D_—DNCN

EFFCCE

.CDDNCN

一,

…EF-FC'CE

ABBE

同理可得一,

CECN

.CNBE

,,CE-ABJ

.CDDNBE

一,

…EF—FC「AB

：.CD=BE,

設BE=x,則CZ)=AE=x,C'F=4-2x,CE=4-x,

.DN_XCN_x

4—2x24—x2

ANT/c\CTM4-x)

DN=x[2-x),CN=——-——，

x(4—x)

:?CN+DN=x(2-x)+---------=CD=2,

2

2

解得：元=2或%=一,

3

2

:.BE=2或BE=—.

3

2

故答案為：2或

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、折疊的性質、一元二次方程的解法，三

角形面積的計算等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

18.在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2,0）,尸是第一象限內任意一點，連接PO,PA,若NPOA=fn°,

ZPAO=n°,若點尸到x軸的距離為1,則加+”的最小值為.

【答案】90

【解析】

【分析】由題意可作出以。4為直徑的口加，根據已知條件及圓的相關知識可得答案.

【詳解】解：如圖，在平面直角坐標系中作出以0A為直徑的口〃，

第12頁/共27頁

設直線y=l與相切于點尸，則MP垂直于直線y=l,

根據三角形內角和定理可知，要使得機+〃取得最小值，則需NOPA取得最大值.

；點尸到無軸的距離為1,而為半徑，

:.PM=1,

???點A的坐標為(2,0),

OM=1,

：.NOPA為以OA為直徑的圓的一個圓周角，

ZOPA=90°.

在直線y=l上任取一點不同于點尸的一點P，連接。尸'，交口用于點Q,連接AQ,

則ZAQO=90°>ZAp'O,

ZOPA>ZAP'O,

NOPA的最大值為90。，

”的最小值為90.

故答案為：90.

【點睛】本題考查了坐標與圖形的相關性質，直徑所對的圓周角是直角、三角形的內角和及外角性質等知

識點，掌握以上知識是解題的關鍵.

三、解答題(本題共8小題，共90分)解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請在

答題紙對應的位置和區域內解答.

x+4>-2.x+1

19.(1)解不等式組：\xx-1；

123

X—14

(2)解方程：------5一=1.

X+1X—1

【答案】(1)-l<x<4；(2)無解

第13頁/共27頁

【解析】

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，解分式方程，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間

找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

(1)分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；

(2)先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程的解進行檢驗即可得.

x+4〉—2x+1CD

【詳解】解：(1)\xx-1公

<1(2)

[23

由①得，x>—1,

由②得，%<4.

原不等式組的解集-l<x44.

去分母得：(X-1)2-4=X2-1,

整理得：x2-2x+1-4=x2-1，

解得：x=-l,

檢驗：將x=—1代入/一1=0，

x=-1是原方程的增根，

原分式方程無解.

20.如圖，B、C在直線EF上，AE/7FD,AE=FD,且BE=CF,

(1)求證：△ABEgZ\DCF；

(2)連接AC、BD,求證：四邊形ACDB是平行四邊形.

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

【分析】(1)根據SAS即可證明；

(2)只要證明AB〃CD,AB=CD即可解決問題.

【詳解】證明：(1)VAE//DF,

第14頁/共27頁

，ZAEF=ZDFE,

VAE=FD,BE=CF,

AAAEB^ADFC(SAS).

(2)連接AC、BD.

VAAEB^ADFC,

；.AB=CD,ZABE=ZDCF,

AABDC,

四邊形ABDC是平行四邊形.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知

識，屬于中考常考題型.

21.為進一步宣傳防溺水知識，提高學生防溺水的能力，某校組織七、八年級各200名學生進行防溺水知

識競賽（滿分100分）.現分別在七、八年級中各隨機抽取10名學生的測試成績X（單位：分）進行統

計、整理如下：

七年級：86,90,79,84,74,93,76,81,90,87.

八年級：85,76,90,81,84,92,81,84,83,84.

七、八年級測試成績頻數統計表

70<x<8080<x<9090<x<100

七年級343

八年級17a

七、八年級測試成績分析統計表

平均數中位數眾數方差

七年級84b9036.4

八年級8484C18.4

第15頁/共27頁

根據以上信息，解答下列問題：

(1)a=,b=,c=；

(2)按學生的實際成績，你認為哪個年級的學生掌握防溺水知識的總體水平較好？請說明理由.

(3)如果把xN85的記為“優秀”，把70<x<85的記為“合格”，學校規定兩項成績按6:4計算.通

過計算比較哪個年級得分較高？

【答案】(1)2,85,84

(2)八年級總體水平較為好些；理由見解析

(3)七年級得分較高

【解析】

【分析】(1)從題目中給出的七，八年級中各隨機抽取10名學生的測試成績中可直接求出。，。的值，根

據中位數定義可求出

(2)根據方差的意義求解即可；

(3)根據加權平均數的定義計算，從而得出答案.

【小問1詳解】

解：；八年級的10名學生中有8名學生成績低于90分，

/.a=10—7—1=2,

根據眾數的定義可知：c=84,

把七年級10名學生的測試成績排好順序為：74,76,79,81,84,86,87,90,90,93,

根據中位數的定義可知，該組數據的中位數為b=84+呼=85,

2

故答案為：2,85,84；

【小問2詳解】

八年級好些

七八年級成績的平均數相等，但八年級成績的方差小于七年級成績的方差，所以八年級總體水平較為好些

【小問3詳解】

七年級得分：

(90x2+93+87+86)x0.6+(84+81+79+74+76)x0.4=425.2

八年級得分：

(90+92+85)x0.6+(84x3+81x2+83+76)x0.4=389.8

.??七年級得分較高.

【點睛】本題考查了方差、中位數，方差是反映一組數據的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離

第16頁/共27頁

散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好.

22.人工智能是數字經濟高質量發展的引擎，也是新一輪科技革命和產業變革的重要驅動，中國人工智能

行業可按照應用領域分為四大類別：決策類人工智能，人工智能機器人，語音及語義人工智能，視覺類人

工智能，將四個類型的圖標依次制成A,B,C,D四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上

洗勻放置在桌面上.

（1）隨機抽取一張，抽到決策類人工智能的卡片的概率為;

（2）從中隨機抽取一張，記錄卡片的內容后不放回洗勻，再隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法

求抽取到的兩張卡片中不含D卡片的概率.

【答案】（1）-

4

⑵I

【解析】

【分析】本題考查了概率公式計算，畫樹狀圖法計算，正確選擇方法是解題的關鍵.

（1）利用公式計算即可.

⑵不放回型的概率計算，利用畫樹狀圖法計算即可.

【小問1詳解】

一共有4種等可能性，抽到決策類人工智能的卡片有1種等可能性，

故抽到決策類人工智能的卡片的概率為5

故答案為：:

【小問2詳解】

根據題意，畫樹狀圖如下：

開始

一共有12種等可能性，其中，兩張卡片中不含。卡片等可能性有6種.

故兩張卡片中不含。卡片的概率是二=4.

122

23.如圖，在RtOABC中，ZACB=90°.以斜邊A3上的中線CD為直徑作□。，與交于點

第17頁/共27頁

與AB的另一個交點為E,過M作"N工AB,垂足為N.

（1）求證：MN是口。的切線；

3

（2）若口。的直徑為5,sin5=-,求ED的長.

7

【答案】（1）見解析；（2）ED=-.

【解析】

【分析】（1）欲證明MN為。O的切線，只要證明OMLMN.

32

（2）連接DM,CE,分別求出BD=5,BE=y,根據即=BE-3。求解即可.

【詳解】（1）證明：連接OM,

???OC=OM,

ZOCM=ZOMC.

在ABC中，CD是斜邊AB上的中線，

:.CD=-AB=BD,

2

ZDCB=ZDBC,

：.ZOMC=ZDBC,

：.OM//BD,

MNA.BD,MN1OM,

是口。的切線.

(2)連接DM,CE,易知DM，3C,CE_LA3,

由(1)可知BD=CD=5,故M為的中點，

.八3

?/sin8=一，

5

第18頁/共27頁

:.cosB=~,

5

在RtABMD中,BM=BDcosB=4,

BC=IBM=8.

32

在R￡jCEB中,BE=BC-cosB=

327

:.ED=BE—BD=——5=-.

55

【點睛】本題考查切線的判定和性質，等腰三角形的性質，解直角三角形等知識；熟練掌握切線的判定定

理是解題的關鍵.

24.為響應荊州市“創建全國文明城市”號召，某單位不斷美化環境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物

園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過18m,另外三邊由36m長的柵欄圍成.設矩形ABCD空地中，垂

直于墻的邊面積為ym?（如圖）.

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）若矩形空地的面積為160m2,求x的值；

（3）若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵（每種植物的單價和每棵栽種的合理用

地面積如下表）.問丙種植物最多可以購買多少棵？此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說

明理由.

甲乙丙

單價（元/棵）141628

合理用地（//

0.410.4

棵）

18m

AD

B1------------------'C

【答案】（1）y=-2x2+36x（0<x<18）；（2）x的值為10；（3）這批植物不可以全部栽種到這塊空地上.

【解析】

【分析】（1）根據矩形的面積公式計算即可；

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(2)構建方程即可解決問題，注意檢驗是否符合題意；

(3)利用二次函數的性質求出y的最大值，設購買了乙種綠色植物a棵，購買了丙種綠色植物6棵，由題

意：14(400-a-b)+16a+286=8600,可得a+7b=1500,推出。的最大值為214,此時a=2,再求出實際

植物面積即可判斷.

【詳解】(1)y=x(36-2x)=-2x2+36x(0<x<18)；

(2)由題意：-2x2+36x=160,

解得x=10或8,

?；x=8時，36-16=20<18,不符合題意，

??.X的值為10；

(3)'."y=-2x2+36x=-2(x-9)2+162,

；.x=9時，y有最大值162,

設購買了乙種綠色植物。棵，購買了丙種綠色植物6棵，

由題意：14(400-a-b)+16a+28b=8600,

a+7Z?=1500,

的最大值為214,此時a=2,

需要種植的面積=0.4x(400-214-2)+1x2+0.4x214=162.8〉162,

這批植物不可以全部栽種到這塊空地上.

【點睛】本題考查了二次函數的應用，弄清題意，熟練掌握一元二次方程的解法、二次函數的性質等是解

題的關鍵.

25.如圖，在矩形ABC。中，BC=3,ABAC=30°,M是對角線AC上的動點，過點M作AC的垂線

交折線A。一DC于點N,當點N不和點A,C,￡>重合時，以MN為邊作等邊UMNP,使點P和點D在

直線的同側，設AM=".

(1)若點N落在邊上，求等邊的邊長(用含根的代數式表示).

(2)若點尸落在UAC。的邊上，求，"的值.

(3)作直線。P,若點N關于直線DP的對稱點分別為AT,N',MN'//CD,求加的值.

【答案】(1)V3m

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(2)m=——

5

(3)1或—

4

【解析】

【分析】(1)在RtaNMA中利用正切函數關系即可求得M0,從而求得等邊的邊長；

(2)依題意可得NAPM=90°,則可求得PM的長，另一方面，由矩形的性質及已知，在RtZXNMC中,

可求得NM,由建立方程即可求得m的值；

(3)分兩種情況：點N在上；點N在。。上，分別計算即可.

【小問1詳解】

解：在矩形ABC。中，ZDAB=90°,

VNM1AC,Zft4c=30。，

/NAM=60°,

/.NM=AM-tan60°=V3m；

【小問2詳解】

當P落在上時，如圖，MN=PM,

?：ZCMN=9Q°,ZPMN=60°,

ZAMP=30°,

?；ZDAC=60°,

ZAPM=90°,

PM

AM=m,sin60°=——,

AM

,DM8V3

??PM=——xm=——m，

22

VBC=3,ABAC=30°,zB=90°,

AC-2BC=6,

/.CM=6-m；

■:AB//CD,

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NDCM=ABAC=30°,

NM=CM-tan30°=](6-附；

...由MW=PM得：^(6-m)=—m，

32

12

m——

5

【小問3詳解】

分兩種情況:

延長MN、MN'交DP于同一點E,

ZANP=90°,

ZADC=90°,

PN//CD,

?：MN'//CD,

：.PN〃MN,

NMEM'=ZMNP=60°，

由對稱得：ZMEP^ZM'EP=30°，

ZMPE=90°,

RtAANM中，AN=2AM=2m,MN=PN=6rn,

?：ZNPD=30°,

ND=m,

*.*AD=3=3m,

m=1.

②當N在。C上時，如圖，

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當MN'〃C。時，N'在AC上，延長MM'、NM,交。P上同一點為E,

ZEN'M=ZDCA=30°，

ME=-N'E,

2

由對稱知，MN=MH,ME=M'E,

：.M'E=-N'E,

2

：.M'N'=M'E,

：.ME=MN=MP,

NMPE=ZMEP=-ZPMN=30°,

2

ZNPE=ZNPM+ZMPE=90°,

：ZCNM=ZMNP=60°,

ZDNP=ACNM=60°,

在UDNP與UCNM中，

ZDNP=ZCNM

<ZDPN=ZEMN'=90°,

NP=MN

ADNP也△CiW,

DN=CN,

由（2）知：.==（6—〃z），

CN=2MN=—，

2f（6-m）=^-X3A/3，

解得1，

則MN〃C。時機的值為1或”.

4

第23頁/共27頁

【點睛】本題是四邊形動點問題，考查了矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，三角函

數，等邊三角形的性質等知識，靈活運用它們是關鍵，注意分類討論.

26.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，二次函數丁=以2+法+。的圖象與*軸交于4（—4,。）,

（2）在拋物線上是否存在一點P,滿NCOP=L/OCA?若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請

2

說明理由；

（3）如圖2,過點。作的垂線，垂足為H,M,N分別為射線0C,。以上的兩個動點，且滿足

3

OM:ON=3;5,連接請直按寫出+§CN的最小值.

【答案】（1）y=—必一3

16

⑶叵

5

【解析】

【分析】（1）利用待定系數法求解即可；

（2）過點C作NOCA的角平分線CD,交x軸于點。，過點。作。E工AC于E,得到

（~）A43

A￡=AC-C￡=2,然后由cosNQ4C=—=—求出,得到NCOP=NOC0,過點尸作

AC52

PQ-LOC,垂足為Q,黑=],設點尸坐標為（加，二加2一31，根據題意分點尸在第四象限和點尸在

O（22VloJ

第三象限兩種情況討論，分別