《6.3 二項式定理》考點講解與專題訓練

《6.3二項式定理》考點講解【思維導圖】【常見考點】考法一二項式定理展開式【例1】(1)求的展開式為．（2）已知，則的值為【一隅三反】1．化簡多項式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結果是()A．(2x+2)5B．2x5C．(2x-1)5D．32x52．化簡：_________.考法二二項式指定項的系數與二項式系數【例2】（1）在(x-)10的展開式中，x6的系數是（2）二項式的展開式中常數項是______（用數字作答）（3）的有理項共有項【一隅三反】1．二項式的展開式中的常數項是_______.（用數字作答）2.在二項展開式中，常數項是_______.3.若的展開式中的系數為7，則實數=______.4．已知的展開式的常數項是第7項，則________.考法三多項式系數或二項式系數【例3】（1）的展開式中常數項是（）A．-252B．-220C．220D．252（2）．若的展開式中常數項為，則（）A．B．C．D．【一隅三反】1．展開式中常數項為（）.A．11B．C．8D．2．的展開式中常數項為()A．B．C．D．3．的展開式的常數項為（）A．6B．10C．15D．164．在的展開式中，x2項的系數為（）A．30B．45C．60D．905．若的展開式中的系數為，則等于（）A．B．C．1D．2考法四二項式定理的性質【例2】（1）（多選）的展開式中二項式系數最大的項是（）A．第5項B．第6項C．第7項D．第8項（2）（多選）二項式的展開式中，系數最大的項為（）.A．第五項B．第六項C．第七項D．第八項（3）若的展開式中只有第項的二項式系數最大，則展開式中含項的系數是A．B．C．D．【一隅三反】1．在的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數最大，則的二項展開式中的常數項為（）A．960B．1120C．-560D．-9602．(axA．B．C．10D．203．（多選）已知的展開式中第5項的二項式系數最大，則n的值可以為（）A．7B．8C．9D．104．已知展開式中各項系數的和為m，且，求展開式中二項式系數最大的項的系數.5．二項式的展開式中，二項式系數最大的項是第4項，則其展開式中的常數項是_________．考法五二項式系數或系數和【例5】若.求：（1）；（2）；（3）.【一隅三反】1．在的二項展開式中，二項式系數之和為_____；所有項的系數之和為_____.2．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝3．已知，則_____.4．設展開式中只有第1010項的二項式系數最大．（1）求n；（2）求;（3）求..考法六二項式定理運用【例6】（1）除以100的余數是________（2）的計算結果精確到0.01的近似值是_________【一隅三反】1．已知能夠被15整除，則________.2．被除所得的余數是_____________．3．的計算結果精確到0.001的近似值是答案解析考法一二項式定理展開式【例1】(1)求的展開式為．（2）已知，則的值為【答案】（1）eq\f(1,x2)＋eq\f(12,x)＋54＋108x＋81x2【解析】（1）方法一eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).方法二eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1,\r(x))))4＝eq\f(1,x2)(1＋3x)4＝eq\f(1,x2)·[1＋Ceq\o\al(1,4)·3x＋Ceq\o\al(2,4)(3x)2＋Ceq\o\al(3,4)(3x)3＋Ceq\o\al(4,4)(3x)4]＝eq\f(1,x2)(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(12,x)＋54＋108x＋81x2.（2）由得則，即，解得.【一隅三反】1．化簡多項式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結果是()A．(2x+2)5B．2x5C．(2x-1)5D．32x5【答案】D【解析】依題意可知，多項式的每一項都可看作，故為的展開式，化簡.故選D.2．化簡：_________.【答案】【解析】則所以故答案為：.考法二二項式指定項的系數與二項式系數【例2】（1）在(x-)10的展開式中，x6的系數是（2）二項式的展開式中常數項是______（用數字作答）（3）的有理項共有項【答案】（1）9（2）70（3）6【解析】（1）由Tk+1=x10-k(-)k，令10-k=6，解得k=4，∴系數為(-)4=9（2）二項式的展開式的通項公式，令，得,則常數項為，故答案為：70（3）的通項公式為：，，，，所以有理項共有6項，故選：C【一隅三反】1．二項式的展開式中的常數項是_______.（用數字作答）【答案】60【解析】有題意可得，二項式展開式的通項為：令可得，此時.2.在二項展開式中，常數項是_______.【答案】60【解析】展開式的通項公式是，當時，.故答案為603.若的展開式中的系數為7，則實數=______.【答案】【解析】根據二項展開式的通項公式可得：，令，可得，，解得：，故答案為：4．已知的展開式的常數項是第7項，則________.【答案】8【解析】根據題意，可知第7項為，而常數項是第7項，則，故.故答案為：8.考法三多項式系數或二項式系數【例3】（1）的展開式中常數項是（）A．-252B．-220C．220D．252（2）．若的展開式中常數項為，則（）A．B．C．D．【答案】（1）A（2）C【解析】(1）由，可得二項式的展開式通項為，令，解得，所以展開式的常數項為.故選：A.（2）的展開式的通項公式為：，顯然，為奇數，若求展開式的常數項，，解得故的展開式的常數項等于：故選：C.【一隅三反】1．展開式中常數項為（）.A．11B．C．8D．【答案】B【解析】將看成一個整體，展開得到：的展開式為：取當時，系數為：當時，系數為：常數項為故答案選B2．的展開式中常數項為()A．B．C．D．【答案】C【解析】的通項為，，根據式子可知當或時有常數項，令;令;故所求常數項為，故選C.3．的展開式的常數項為（）A．6B．10C．15D．16【答案】D【解析】由題意得的展開式的通項為，令，則，所以的展開式的常數項為.故選：D.4．在的展開式中，x2項的系數為（）A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】在的展開式中，通項公式為Tr+1?.對于，通項公式為Tk+1?xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2項的系數為?45，故選：B.5．若的展開式中的系數為，則等于（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】將題中所給式子可化為根據二項式定理展開式通項為,的通項為令解得所以的項為令解得所以的項為綜上可知,的系數為解得故選:D考法四二項式定理的性質【例2】（1）（多選）的展開式中二項式系數最大的項是（）A．第5項B．第6項C．第7項D．第8項（2）（多選）二項式的展開式中，系數最大的項為（）.A．第五項B．第六項C．第七項D．第八項（3）若的展開式中只有第項的二項式系數最大，則展開式中含項的系數是A．B．C．D．【答案】（1）BC（2）BC（3）D【解析】(1）因為n＝11為奇數，所以展開式中第項和第項，即第6項和第7項的二項式系數相等，且最大.故選：BC（2）二項式的展開式中，每項的系數與二項式系數相等，共有12項所以系數最大的項為第六項和第七項故選：BC（3）∵的展開式中只有第項的二項式系數最大，∴為偶數，展開式共有項，則.的展開式的通項公式為，令，得.∴展開式中含項的系數是，故選D．【一隅三反】1．在的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數最大，則的二項展開式中的常數項為（）A．960B．1120C．-560D．-960【答案】B【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數最大，則n=8，則=的二項展開式的通項公式為Tr+1=?28﹣r?（﹣1）r?x4﹣r，令4﹣r=0，求得r=4，可得展開式中的常數項為?24?（﹣1）4=1120，故選B．2．(axA．B．C．10D．20【答案】C【解析】由已知，當x=1時，(a+11)(2-1)3．（多選）已知的展開式中第5項的二項式系數最大，則n的值可以為（）A．7B．8C．9D．10【答案】ABC【解析】∵已知的展開式中第5項的二項式系數最大,則或n＝8或n＝9故選：ABC.4．已知展開式中各項系數的和為m，且，求展開式中二項式系數最大的項的系數.【答案】59136【解析】設，令，得，所以，則展開式中有13項，且中間一項（第7項）的二項式系數最大，該項為.故所求的系數為59136.5．二項式的展開式中，二項式系數最大的項是第4項，則其展開式中的常數項是_________．【答案】-20【解析】由題意知，展開式中有7項，．因為令，得，所以常數項為．考法五二項式系數或系數和【例5】若.求：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令，可得，∴．①（2）令可得，∴．②由①②得，∴．（3）由題意得二項式展開式的通項為，∴每項的系數，∴．【一隅三反】1．在的二項展開式中，二項式系數之和為_____；所有項的系數之和為____.【答案】【解析】根據二項展開式的性質，展開式的二項式系數之和為，令可得所有項的系數之和為，故答案為：，2．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝【答案】1【解析】令，得，令，得，.故選：A.3．已知，則___.【答案】【解析】對等式兩邊求導，得，令，則.4．設展開式中只有第1010項的二項式系數最大．（1）求n；（2）求;（3）求..【答案】（1）2018；（2）；（3）-1.【解析】（1）由二項式系數的對稱性，（2）（3）令，得，令，得，故.考法六二項式定理運用【例6】（1）除以100的余數是________（2）的計算結果精確到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）即除以100的余數為．故答案為：．（2）故答案為：【一隅三反】1．已知能夠被15整除，則________.【答案】14【解析】由題可知，所以，而75能被15整除，要使能夠被15整除，只需能被15整除即可，所以，解得：.故答案為：14.2．被除所得的余數是_____________．【答案】1【解析】因為，所以轉化為求被除所得的余數，因為，所以被除所得的余數是1，故答案為：13．的計算結果精確到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】故選B《6.3二項式定理》考點訓練【題組一二項式定理展開式】1．計算等于（）A．B．C．D．2．設，化簡______.3．已知，若，則________.4．求值____．【題組二二項式指定項的系數與二項式系數】1.展開式中含的項是（）A．第8項B．第7項C．第6項D．第5項2．二項式展開式中的第2020項是（）A．1B．C．D．3．二項式的展開式中，常數項為________.4.已知在的展開式中，第6項為常數項．（1）求；（2）求含的項的系數；（3）求展開式中所有的有理項．【題組三多項式指定項系數或二項式系數】1．在的展開式中，項的系數為（）A．B．C．30D．502．展開式中的系數為（）A．92B．576C．192D．3843．的展開式中，的系數為（）A．B．C．D．4．代數式的展開式的常數項是________（用數字作答）5．的展開式中的常數項為_____．（用數字作答）6．求的展開式中的系數.7．的展開式中的項的系數是________.8．已知的展開式中的系數是，求實數a的值.【題組四二項式定理的性質】1．在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的系數為（）A．B．C．D．72．若的展開式中只有第7項的二項式系數最大，則展開式中含項的系數是（）A．132B．C．D．663．展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是（）A．B．C．-180D．-904．（多選）在的展開式中，下列說法正確的有（）A．所有項的二項式系數和為64B．所有項的系數和為0C．常數項為20D．二項式系數最大的項為第4項5．（多選）已知（其中）的展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數成等差數列．則下列結論正確的是（）A．n的值為14B．展開式中常數項為第8項C．展開式中有理項有3項D．二項式系數最大的項是第7項6．關于的說法，正確的是（）A．展開式中的二項式系數之和為2048B．展開式中只有第6項的二項式系數最大C．展開式中第6項和第7項的二項式系數最大D．展開式中第6項的系數最大7．（多選題）已知展開式中，各項系數的和比它的二項式系數的和大，則下列結論正確的為（）A．展開式中偶數項的二項式系數之和為B．展開式中二項式系數最大的項只有第三項C．展開式中系數最大的項只有第五項D．展開式中有理項為第三項、第六項【題組五二項式系數或系數和】1．若，則（）A．3B．4C．5D．62．已知，，則自然數等于（）A．6B．5C．4D．33．若，則（）A．1B．0C．D．4．已知多項式可以寫成，則（）A．0B．C．D．5．已知的展開式中第9項為常數項，則展開式中的各項系數之和為（）A．B．C．D．6．設復數（是虛數單位），則（）A．iB．C．D．7．已知展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，，若，則的值為()A．1B．－1C．8lD．－818．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10．若數列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一個單調遞增數列，則k的最大值是（）A．5B．6C．7D．8【題組六二項式定理的運用】1．除以88的余數是（）A．2B．1C．86D．872．設，且，若能被13整除，則（）A．0B．1C．11D．123．已知，且恰能被14整除，則的取值可以是（）A．B．1C．7D．134．設a∈Z，且0≤a＜13，若512020+a能被13整除，則a＝（）A．0B．1C．11D．125．設n∈N*，則1n80+1n﹣181+1n﹣282+1n﹣383+……+118n﹣1+108n除以9的余數為（）A．0B．8C．7D．26．的近似值（精確到0.01）為（）A．1.12B．1.13C．l.14D．1.207．的計算結果精確到個位的近似值為（）A．106B．107C．108D．1098．已知為正整數，若，則的值為（）A．2B．3C．4D．5答案解析【題組一二項式定理展開式】1.計算等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式可變為（+）-=選項D.2．設，化簡______.【答案】【解析】容易知.故答案為：.3．已知，若，則________.【答案】【解析】故答案為：4．求值__________．【答案】1【解析】通項展開式中的，故=【題組二二項式指定項的系數與二項式系數】1.展開式中含的項是（）A．第8項B．第7項C．第6項D．第5項【答案】C【解析】展開式的通項公式為：；令；故展開式中含的項是第6項.故選：C.2．二項式展開式中的第2020項是（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由二項展開式，可得展開式的通項為，所以展開式中第2020項為.故選：C.3．二項式的展開式中，常數項為________.【答案】【解析】的展開式的通項公式為，令，可得，所以展開式的常數項為，故答案為：.4.已知在的展開式中，第6項為常數項．（1）求；（2）求含的項的系數；（3）求展開式中所有的有理項．【答案】（1）；（2）；（3），，.【解析】（1）的展開式的通項為，因為第6項為常數項，所以時，有，解得．（2）令，得，所以含的項的系數為．（3）根據通項公式與題意得，令，則，即．，∴應為偶數．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為，，，即，，．【題組三多項式指定項系數或二項式系數】1．在的展開式中，項的系數為（）A．B．C．30D．50【答案】B【解析】表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式都選，其余的3個因式都選1，相乘可得含的項；或者有3個因式選，有1個因式選，1個因式選1，相乘可得含的項，故項的系數為，故選B．2．展開式中的系數為（）A．92B．576C．192D．384【答案】B【解析】展開式中含的項為，即的系數為576；故選B.3．的展開式中，的系數為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】展開式中含項為展開式中項的系數為項的系數為展開式中的系數為，故選B.4．代數式的展開式的常數項是________（用數字作答）【答案】3【解析】的通項公式為.令，得；令，得.∴常數項為故答案為.5．的展開式中的常數項為_____．（用數字作答）【答案】180【解析】的展開式中的通項公式，而分別令，，解得，或．∴的展開式中的常數項．故答案為：180．6．求的展開式中的系數.【答案】【解析】因為的展開式中含的項為，所以其系數為.故答案為：6007．的展開式中的項的系數是________.【答案】1560【解析】由題意，，因為的展開式的通項公式為，的展開式的通項公式為，所以的展開式中的項的系數是.故答案為：1560.8．已知的展開式中的系數是，求實數a的值.【答案】2【解析】由的展開式的通項公式為，令，可得，令，可得，所以的展開式中的系數為，解得.故答案為：.【題組四二項式定理的性質】1．在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的系數為（）A．B．C．D．7【答案】D【解析】因為在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大所以所以的展開式的通項令，得所以展開式中的系數為故選：D2．若的展開式中只有第7項的二項式系數最大，則展開式中含項的系數是（）A．132B．C．D．66【答案】D【解析】因為展開式中只有第7項的二項式系數最大，所以為偶數，展開式有13項，，所以二項式展開式的通項為由得，所以展開式中含項的系數為.故選：D3．展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是（）A．B．C．-180D．-90【答案】A【解析】展開式中只有第六項的二項式系數最大，，故展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中的常數項為.故選：A4．（多選）在的展開式中，下列說法正確的有（）A．所有項的二項式系數和為64B．所有項的系數和為0C．常數項為20D．二項式系數最大的項為第4項【答案】ABD【解析】的展開式中所有二項式系數和為，A正確；令可得的展開式中所有項的系數和為，B正確；通項為，令，所以的展開式中常數項為，C錯誤；的展開式共有7項，二項式系數最大為第4項，D正確.故選：ABD5．（多選）已知（其中）的展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數成等差數列．則下列結論正確的是（）A．n的值為14B．展開式中常數項為第8項C．展開式中有理項有3項D．二項式系數最大的項是第7項【答案】AC【解析】由題意，化簡得，∵，∴．A正確；展開式通項為，顯然其中無常數項，B錯誤；當時，為整數，因此展開式中有3項為有理項，C正確；展開式有15項，二項式系數最大的項為第8項，D錯誤．故選：AC．6．關于的說法，正確的是（）A．展開式中的二項式系數之和為2048B．展開式中只有第6項的二項式系數最大C．展開式中第6項和第7項的二項式系數最大D．展開式中第6項的系數最大【答案】AC【解析】的展開式中的二項式系數之和為，所以正確；因為為奇數，所以展開式中有項，中間兩項（第6項和第7項）的二項式系數相等且最大，所以不正確，正確；展開式中第6項的系數為負數，不是最大值，所以不正確.故選：AC7．（多選題）已知展開式中，各項系數的和比它的二項式系數的和大，則下列結論正確的為（）A．展開式中偶數項的二項式系數之和為B．展開式中二項式系數最大的項只有第三項C．展開式中系數最大的項只有第五項D．展開式中有理項為第三項、第六項【答案】CD【解析】令，可得展開式中各項系數的和為，又二項式系數的和，因為各項系數的和比它的二項式系數的和大，所以，解得，對A：因為二項式展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，所以展開式中，偶數項的二項式系數的和為，故A錯誤；對B：因為，所以第三項、第四項的二項式系數最大，故B錯誤；對C：，設展開式中系數最大的項是第項，則，解得，又，所以，所以展開式中系數最大的項只有第五項，故C正確；對D：若是有理項，則當且為整數，又，，所以，所以展開式中有理項為第三項、第六項，故D正確.故選：CD【題組五二項式系數或系數和】1．若，則（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】令可得：，令可得：，兩式相加可得：，所以，故選：B2．已知，，則自然數等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】由題意，令，則，因為，所以，解得.故選：C.3．若，則（）A．1B．0C．D．【答案】C【解析】，當且時，，因此，.故選：C.4．已知多項式可以寫成，則（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】由題意，多項式，即，令，可得，令，可得，兩式相加，可得，可得.故選：C.5．已知的展開式中第9項為常數項，則展開式中的各項系數之和為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以，則,令，可得，所以展開式中的各項系數之和為．故選：A.6．設復數（是虛數單位），則（）A．iB．C．D．【答案】D【解析】，，故選D.7．已知展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，，若，則的值為()A．1