立體幾何與空間向量（解答題）-《2022屆山東高考模擬數學試卷分項解析2》【原卷版】

《2022屆山東高考模擬數學試卷分項解析》

專題15立體幾何與空間向量（解答題）

1

=AO現

40.（2022.山東日照.二模）如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=BC=CD2-

以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且24,CD.

P(B)

■\

D

（1）證明：平面APC，平面AQC；

⑵若何為上一點，且三棱錐O-ACM的體積是三棱錐P-ACM體積的2倍，求二面角

P-AC-"的余弦值.

41.（2022.山東威海.三模）如圖所示，在等邊AMC中，AB=6,M,N分別是45,AC上

的點，且AM=4V=4,E是8c的中點，AE交MN于點、F.以MN為折痕把折起,

使點A到達點P的位置（0<NPFE<萬），連接PB,PE,PC.

（1）證明：MN工PE；

2

（2）設點P在平面ABC內的射影為點Q,若二面角尸-MN-3的大小為:），求直線QC與平

面PBC所成角的正弦值.

42.（2022?山東省實驗中學模擬預測）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，AC=BBt=2BC=2,

NCBB]=2ZCAB=-,且平面ABC±平面B,C,CB.

(1)求證：平面/WC，平面4Cg；

(2)設點戶為直線8c的中點，求直線同尸與平面AC4所成角的正弦值.

43.(2022?山東棗莊?三模)如圖，在平行六面體ABCD-ABCR中，A。，底面A8CO,

AB=A\=2AD=2,ZDAB=60°.

(1)證明：ADL\B.

(2)設點P為線段。G上一點(異于。，G),當。P為何值時，平面APB與平面例夾角

的余弦值最大？

44.(2022?山東荷澤?二模)如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABC。是邊長為2的正方形,

ZAPD=^,PB=PC,ZABP=ZDCP,APBC的面積是△P4D的面積的石倍.

(1)證明：平面以。，平面ABCC；

(2)若E為8c的中點，尸為線段PE上的任意一點，當。F與平面PBC所成角的正弦值最大

時，求平面陰。與平面ABCO所成角的正切值.

45.(2022?山東?德州市教育科學研究院二模)《九章算術》是中國古代張蒼，耿壽昌所撰寫

的一部數學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右，是當時世界上最

簡練有效的應用數學專著，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系.在《九章算

術?商功》篇中提到“陽馬”這一幾何體，是指底面為矩形，有一條側棱垂直于底面的四棱錐,

現有“陽馬”尸一A8C。，底面為邊長為2的正方形，側棱以_1_面/188,以=2,E、F為

邊BC、CQ上的點，CE=ACB>#=4而，點M為AD的中點.

⑴若石;，證明：面尸8吐1面B4F；

(2)是否存在實數4,使二面角人防一A的大小為45。？如果不存在，請說明理由；如果存

在，求此時直線8M與面「￡尸所成角的正弦值.

46.(2022?山東臨沂?二模)如圖，AB是圓柱底面圓。的直徑，AA、CG為圓柱的母線，四

邊形A8C。是底面圓。的內接等腰梯形，且A8=例=28C=2C￡>,E、尸分別為A。、C、C

的中點.

(1)證明：E/〃平面A8CD；

(2)求平面OE尸與平面BCG夾角的余弦值.

47.(2022?山東濱州?二模)如圖，在四棱錐P—A3C。中，PA_L底面ABCO,底面ABCD是

等腰梯形，AD//BC,BC=2AB=2AD=6五,E是PB上一點，且P8=3PE.

(1)求證：PD〃平面說；

(2)已知平面AEC_L平面PBC,求二面角A—CE-O的余弦值.

48.(2022?山東臨沂?模擬預測)如圖，四棱錐P-A8CZ)的底面為正方形，PDIJ&^ABCD.設

平面PAD與平面PBC的交線為I.

(1)證明：L平面PQC；

(2)已知PD=AO=1,。為/上的點，求PB與平面。CO所成角的正弦值的最大值.

49.(2022?山東泰安,三模)如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，點E在AB上，AE=2EB=

2,JiDELAB,沿OE將AADE折起，使點A到達點廠的位置，且NFEB=60。.

(1)求證：平面8FC_L平面8C0E；

(2)若直線。尸與平面BCQE所成的角的正切值為正，求平面OEF與平面。尸C的夾角的余

5

弦值.

50.(2022.海南華僑中學模擬預測)如圖，四棱錐P-ABCO的底面為梯形，底面

^BAD=ZCDA=90P,AD=AB=\,CD=2,E為抬的中點.

(1)證明：平面平面BCE；

(2)若二面角P-BC-E的余弦值為平，求三棱錐P-BCE的體積.

51.(2022?山東濟南?二模)在底面為正三角形的三棱柱ABC-AqG中，平面A8CL平面

BCCE,ZCBBt=60°,伍=248=4.

AA

(1)證明：^C±A,Cl；

(2)求二面角C-AB-A)的余弦值.

52.(2022?山東泰安?二模)如圖，在四棱錐P—48CO中，底面4BC。為菱形，且ND4B=

60°,PD=AD,POJ_平面A8C￡>,M為BC中點，麗=2而(0<2<l).

(2)當；I取何值時，二面角B-QN-M的余弦值為巫.

5

53.(2022.山東淄博.模擬預測)如圖，已知三棱柱48C-A,4G的棱長均為2,“AC=60。,

(1)證明：平面AACC|_L平面4BC；

(2)設M為側棱CC,上的點，若平面與平面ABC夾角的余弦值為回，求點M到直線

A4距離.

54.(2022.湖北.荊門市龍泉中學二模)如圖，在三棱臺A8C-A4G中，底面AABC為等邊

三角形，平面48C,AC=2AA,=2A,C,=2,且。為AC的中點.

(1)求證：平面ABG，平面AfO；

(2)求平面\BD與平面BB￡C夾角的余弦值.

55.(2022?山東聊城?二模)如圖，在四棱錐E—ABCD中，EC_L平面ABC。，AB1BC,

△ACZ)是等邊三角形，AC=2.

(1)若AB=1,求證：8(7_1平面。￡；

(2)若二面角E-AB-。為30。，EC=1,求直線OE與平面ME所成的角的正弦值.

56.(2022?山東濰坊?二模)如圖，線段AC是圓O的直徑，點8是圓O上異于A,C的點，

AC=2,BC=1,以，底面ABC,M是PB上的動點，且麗=/1方(0<2<1),N是PC的

中點.

⑴若時，記平面AMN與平面ABC的交線為/,試判斷直線/與平面P8C的位置關系,

并加以證明；

⑵若平面P8C與平面ABC所成的角為f,點M到平面以C的距離是且，求2的值.

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57.（2022?山東?模擬預測）如圖，C是以AB為直徑的圓。上異于A,B的點，平面PAC_L

平面A8C,APAC為正三角形，E,尸分別是PC尸8上的動點.

（1）求證：BCLAE-,

⑵若E,尸分別是PC尸8的中點且異面直線加■與BC所成角的正切值為也，記平面AEr與

2

平面ABC的交線為直線/,點。為直線/上動點，求直線尸。與平面AEF所成角的取值范圍.

58.（2022.山東?肥城市教學研究中心模擬預測）如圖，圓臺下底面圓。的直徑為AB,