2021年益陽市初中學業水平考試試卷數學

2021年益陽市初中學業水平考試試卷數學一、選擇題(本題共10個小題，每小題4分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的)1.－2021的相反數等于()A.2021B.－2021C.eq\f(1,2021)D.－eq\f(1,2021)2.已知a≠0,下列運算正確的是()A.3a－2a＝1B.3a·2a＝6aC.a3÷a2＝aD.(2a)3＝6a33.將eq\r(\f(45,2))化為最簡二次根式，其結果是()A.eq\f(\r(45),2)B.eq\f(\r(90),2)C.eq\f(9\r(10),2)D.eq\f(3\r(10),2)4.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3①,2x－3y＝4②))時，若將①－②可得()A.－2y＝－1B.－2y＝1C.4y＝1D.4y＝－15.正比例函數y＝2x與反比例函數y＝eq\f(2,x)的圖象或性質的共有特征之一是()A.函數值y隨x的增大而增大B.圖象在第一、三象限都有分布C.圖象與坐標軸有交點D.圖象經過點(2，1)6.以下有關勾股定理證明的圖形中，不是中心對稱圖形的是()7.如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE＝40°，則∠EAB等于()A.40°B.30°C.20°D.15°INCLUDEPICTURE"21益陽SX正3.TIF"第7題圖第8題圖8.如圖，在△ABC中，AC>BC，分別以點A，B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E，經過D，E作直線分別交AB，AC于點M，N,連接BN，下列結論正確的是()A.AN＝NCB.AN＝BNC.MN＝eq\f(1,2)BCD.BN平分∠ABC9.小劉利用空閑時間到外地某建筑公司打工，公司承諾：正常上班的工資為200元/天，不能正常上班(如下雨)的工資為80元/天，如果某月(30天)正常上班的天數占80%，則當月小劉的日平均工資為()A.140元B.160元C.176元D.182元10.如圖，已知?ABCD的面積為4，點P在AB邊上從左向右運動(不含端點),設△APD的面積為x，△BPC的面積為y，則y關于x的函數圖象大致是()二、填空題(本題共8個小題，每小題4分，共32分．請將答案填在答題卡中對應題號的橫線上)11.若實數a的立方等于27,則a＝________．12.一元二次方程x2－3x＝0的解是________．13.已知x滿足不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－1,x－2≤0))，寫出一個符合條件的x的值________．14.小李在雙體日到田間參加除草勞動，他隨機從鋤頭、鐵鍬、鐮刀中選用一種勞動工具，則他選到鋤頭的概率是________．15.已知y是x的二次函數，下表給出了y與x的幾對對應值：x…－2－101234…y…11a323611…由此判斷，表中a＝________．16.如圖，AB與CD相交于點O，OE是∠AOC的平分線，且OC恰好平分∠EOB，則∠AOD＝________度．INCLUDEPICTURE"21益陽SX正6.TIF"第16題圖第17題圖17.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，從①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中選擇一個作為條件，補充后使四邊形ABCD成為菱形，則其選擇是________(限填序號)．18.如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝eq\f(3,2)，將△ABC繞A點順時針方向旋轉角α(0°<α<90°)得到△AB′C′，連接BB′，CC′，則△CAC′與△BAB′的面積之比等于________．第18題圖三、解答題(本題共8個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)19.(本小題滿分8分)先化簡，再求值：(1＋eq\f(3,a))·eq\f(2a,a2－9)，其中a＝2.20.(本小題滿分8分)如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的長．第20題圖21.(本小題滿分8分)如圖，已知點A是一次函數y＝2x－4的圖象與x軸的交點，將點A向上平移2個單位后所得點B在某反比例函數圖象上．(1)求點A的坐標；(2)確定該反比例函數的表達式．第21題圖22.(本小題滿分10分)為了促進全民健身活動的開展，某鎮準備興建一座休閑公園，為了解群眾的運動需求，對周邊愛好運動的居民的運動偏好進行了隨機調查(每人限填一項)，繪制成如下待完善的統計圖表(綜合類含舞蹈、太極拳等其他項目)：第22題圖(1)本次被調查的居民人數是多少？(2)補全條形統計圖；(3)若該休閑公園輻射周邊居民約1萬人，愛好運動者占80%,請由此估計周邊愛好運動的居民中偏好器械鍛煉的人數．23.(本小題滿分10分)“2021湖南紅色文化旅游節——重走青年毛澤東游學社會調查之路”啟動儀式于4月29日在安化縣梅城鎮舉行，該鎮南面山坡上有一座寶塔，一群愛好數學的學生在研學之余對該寶塔的高度進行了測量，如圖所示，在山坡上的A點測得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔項D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求寶塔BD的高(精確到1米)．(參考數據：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)第23題圖24.(本小題滿分10分)為了改善湘西北地區的交通，我省正在修建長(沙)－益(陽)－常(德)高鐵，其中長益段將于2021年底建成．開通后的長益高鐵比現在運行的長益城際鐵路全長縮短了40千米，運行時間為16分鐘；現乘坐某次長益城際列車全程需要60分鐘，平均速度是開通后的高鐵的eq\f(13,30).(1)求長益段高鐵與長益城際鐵路全長各為多少千米？(2)甲、乙兩個工程隊同時對長益段高鐵全線某個配套項目進行施工，每天對其施工的長度比為7∶9，計劃40天完成；施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確保整個工程提早3天以上(含3天)完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？25.(本小題滿分12分)如圖，在等腰銳角三角形ABC中，AB＝AC，過點B作BD⊥AC于D，延長BD交△ABC的外接圓于點E，過點A作AF⊥CE于F，AE，BC的延長線交于點G.(1)判斷EA是否平分∠DEF，并說明理由；(2)求證：①BD＝CF；②BD2＝DE2＋AE·EG.第25題圖26.(本小題滿分12分)已知函數y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x（x≤0），,x2（x>0）))的圖象如圖所示，點A(x1，y1)在第一象限內的函數圖象上．(1)若點B(x2，y2)也在上述函數圖象上，滿足x2<x1.①當y2＝y1＝4時，求x1，x2的值；②若|x2|＝|x1|，設w＝y1－y2，求w的最小值；(2)過A點作y軸的垂線AP，垂足為P，點P關于x軸的對稱點為P′，過A點作x軸的垂線AQ，垂足為Q，Q關于直線AP′的對稱點為Q′，直線AQ′是否與y軸交于某定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．2021年益陽市中考真題解析一、選擇題1.A【解析】－2021的相反數是2021.2.C【解析】A.3a－2a＝a，此項錯誤，不符合題意；B.3a·2a＝6a2，此項錯誤，不符合題意；C.a3÷a2＝a，此項正確，符合題意；D.(2a)3＝8a3，此項錯誤，不符合題意．3.D【解析】原式＝eq\r(\f(9×5×2,2×2))＝eq\f(3\r(10),2).4.D【解析】①－②得2x＋y－(2x－3y)＝3－4，即4y＝－1.5.B【解析】A.正比例函數y＝2x，函數值y隨x的增大而增大；反比例函數y＝eq\f(2,x)，在每一象限內，函數值y隨x的增大而減小，則此項不符合題意；B.正比例函數y＝2x的圖象在第一、三象限都有分布；反比例函數y＝eq\f(2,x)的圖象在第一、三象限都有分布，則此項符合題意；C.正比例函數y＝2x的圖象與坐標軸的交點為原點；反比例函數y＝eq\f(2,x)的圖象與坐標軸沒有交點，則此項不符題意；D.正比例函數y＝2x，當x＝2時，y＝4，即其圖象經過點(2，4)，不經過點(2，1)，則此項不符題意．6.A【解析】A.不是中心對稱圖形，此項符合題意；B.是中心對稱圖形，此項不符合題意；C.是中心對稱圖形，此項不符合題意；D.是中心對稱圖形，此項不符合題意．7.C【解析】∵△ACE為等邊三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠DCA＋∠BAC＝180°，∴∠DCE＋∠ECA＋∠EAC＋∠EAB＝180°，∵∠DCE＝40°，∴40°＋60°＋60°＋∠EAB＝180°，∴∠EAB＝20°.8.B【解析】由題意可得，DE是線段AB的垂直平分線，則AN＝BN.9.C【解析】由題意得，當月正常上班的天數為30×80%＝24(天)，不能正常上班的天數為30－24＝6(天)，則當月小劉的日平均工資為eq\f(24×200＋6×80,30)＝176(元)．10.B【解析】如解圖，過點P作PE⊥CD于點E，∵?ABCD的面積為4，∴CD·PE＝4，∴△CPD的面積為eq\f(1,2)CD·PE＝2，∴x＋y＝4－2，即y＝－x＋2，∵點P在AB邊上從左向右運動(不含端點)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,y>0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,－x＋2>0))，解得0<x<2，則y關于x的函數圖象大致是在0<x<2內的一條線段，且y隨x的增大而減小．第10題解圖二、填空題11.3【解析】由題意得，a＝eq\r(3,27)＝3.12.x1＝0，x2＝3【解析】由題意知，x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，解得x1＝0，x2＝3.13.1(答案不唯一)【解析】令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－1①,x－2≤0②))，解不等式②得x≤2，則不等式組的解集為－1<x≤2，因此，一個符合條件的x的值是1(答案不唯一)．14.eq\f(1,3)【解析】由題意得，小李隨機從鋤頭、鐵鍬、鐮刀中選用一種勞動工具共有3種等可能的結果，其中，他選到鋤頭的結果只有1種，則他選到鋤頭的概率是eq\f(1,3).15.6【解析】由表格可知，x＝0和x＝2時的函數值相等，則二次函數的對稱軸為直線x＝eq\f(0＋2,2)＝1，∴x＝－1和x＝3的函數值相等，即a＝6.16.60【解析】設∠AOC＝2x，∵OE是∠AOC的平分線，∴∠AOE＝∠EOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝x，∵OC平分∠EOB，∴∠COB＝∠EOC＝x，又∵∠AOE＋∠EOC＋∠COB＝180°，∴x＋x＋x＝180°，解得x＝60°，即∠COB＝60°，由對頂角相等得∠AOD＝∠COB＝60°.17.①【解析】①AB＝AD時，平行四邊形ABCD是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)；②AC＝BD時，平行四邊形ABCD是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)；③由平行四邊形的性質可知，∠ABC＝∠ADC，則不能作為構成菱形的條件．18.9∶4【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝eq\f(3,2)，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,2)，由旋轉的性質得AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′＝α，∴eq\f(AC,AC′)＝eq\f(AB,AB′)＝1，在△CAC′和△BAB′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(AC,AC′)＝\f(AB,AB′),∠CAC′＝∠BAB′))，∴△CAC′～△BAB′，∴eq\f(S△CAC′,S△BAB′)＝(eq\f(AC,AB))2＝eq\f(9,4)，即△CAC′與△BAB′的面積之比等于9∶4.三、解答題19.解：原式＝(eq\f(a,a)＋eq\f(3,a))·eq\f(2a,（a＋3）（a－3）)＝eq\f(a＋3,a)·eq\f(2a,（a＋3）（a－3）)＝eq\f(2,a－3)，將a＝2代入得，原式＝eq\f(2,a－3)＝eq\f(2,2－3)＝－2.20.解：∵四邊形ABCD是矩形且AB＝6，∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°，∵在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝12，∴AC＝BD＝12.21.解：(1)對于一次函數y＝2x－4，當y＝0時，2x－4＝0，解得x＝2，∴點A的坐標為(2，0)；(2)∵將點A向上平移2個單位后所得點B在某反比例函數圖象上，∴點B的坐標為B(2，2)，設該反比例函數的表達式為y＝eq\f(k,x)(k≠0)，將點B(2，2)代入，得k＝2×2＝4，則該反比例函數的表達式為y＝eq\f(4,x).22.解：(1)本次被調查的居民人數為120÷30%＝400(人)，答：本次被調查的居民人數是400人；(2)偏好球類運動的人數為400×25%＝100(人)，則補全條形統計圖如解圖；第22題解圖(3)10000×80%×eq\f(40,400)×100%＝800(人)，答：周邊愛好運動的居民中偏好器械鍛煉的人數約為800人．23.解：在Rt△ABC中，AC＝AB·cos∠BAC＝50×cos13°，BC＝AB·sin∠BAC＝50×sin13°，在Rt△ACD中，CD＝AC·tan∠DAC＝50×cos13°×tan38°，則BD＝CD－BC＝50×cos13°×tan38°－50×sin13°≈50×0.97×0.78－50×0.22≈27(米)，答：寶塔BD的高約為27米．24.解：(1)設開通后的長益高鐵的平均速度為x千米/分鐘，則某次長益城際列車的平均速度為eq\f(13,30)x千米/分鐘，由題意得，60×eq\f(13,30)x－16x＝40，解得x＝4，則16×4＝64(千米)，60×eq\f(13,30)x＝60×eq\f(13,30)×4＝104(千米)，答：長益段高鐵全長為64千米，長益城際鐵路全長為104千米；(2)由題意得，甲工程隊每天對其施工的長度為eq\f(7,7＋9)×eq\f(64,40)＝eq\f(7,10)(千米)，乙工程隊每天對其施工的長度eq\f(9,7＋9)×eq\f(64,40)＝eq\f(9,10)(千米)，設甲工程隊后期每天施工y千米，則(40－5－3)(y＋eq\f(9,10))≥64－(eq\f(7,10)＋eq\f(9,10))×5，解得y≥eq\f(17,20)，即y≥0.85，答：甲工程隊后期每天至少施工0.85千米．25.(1)解：EA平分∠DEF，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由圓周角定理得∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABC，由圓內接四邊形的性質得∠ABC＋∠AEC＝180°，∵∠AEF＋∠AEC＝180°，∴∠AEF＝∠ABC，∴∠AED＝∠AEF，∴EA平分∠DEF；(2)證明：①∵EA平分∠DEF，BD⊥AC，AF⊥CE，∴AD＝AF，在Rt△ABD和Rt△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AF,AB＝AC))，∴Rt△ABD≌Rt△ACF(HL)，∴BD＝CF；②在Rt△AED和Rt△AEF，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AF,AE＝AE))，∴Rt△AED≌Rt△AEF(HL)，∴DE＝EF，由圓內接四邊形的性質得∠ECB＋∠EAB＝180°，∵∠ECB＋∠ECG＝180°，∴∠ECG＝∠EAB，∵∠AED＝∠AEF，∠CEG＝∠AEF，∴∠CEG＝∠AEB，在△CEG和△AEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ECG＝∠EAB,∠CEG＝∠AEB))，∴△CEG∽△AEB，∴eq\f(CE,AE)＝eq\f(EG,EB)，∵BE＝BD＋DE，CE＝CF－EF＝BD－DE，∴eq\f(BD－DE,AE)＝eq\f(EG,BD＋DE)，∴BD2－DE2＝AE·EG，即BD2＝DE2＋AE·EG.26.解：(1)①對于二次函數y＝x2，在x>0內，y隨x的增大而增大，∵x2<x1，x1>0，y2＝y1＝4，∴x2≤0，則當y1＝4時，xeq\o\al(2,1)＝4，解得x1＝2或x1＝－2<0(舍去)，當y2＝4時，－x2＝4，解得x2＝－4；②∵x2<x1，x1>0，|x2|＝|x1|，∴x2<0，－x2＝x1，∴y1＝xeq\o\al(2,1)，y2＝－x2，則w＝y1－y2＝xeq\o\al(2,1)－(－x2)＝xeq\o\al(2,1)－x1，化成頂點式為w＝(x1－eq\f(1,2))2－eq\f(1,4)，由二次函數的性質可知，在x1>0內，當x1＝eq\f(1,2)時，w取最小值，最小值為－eq\f(1,4)；(2)直線AQ′是與y軸交于某定點，設AP′與QQ′交于點B，根據題意畫解圖如下，第26題解圖∵A(x1，y1)在已知函數的第一象限內的圖象上，∴y1＝xeq\o\al(2,1)，即A(x1，xeq\o\al(2,1))，∵AP⊥y軸，AQ⊥x軸，點P關于x軸的對稱點為P′，∴P(0，xeq\o\al(2,1))，P′(0，－xeq\o\al(2,1))，Q(x1，0)，設直線AP′的解析式為y＝k1x＋b1，將點A(x1，xeq\o\al(2,1))，P′(0，－xeq\o\al(2,1))代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1x1＋b1＝xeq\o\al(2,1),b1＝－xeq\o\al(2,1)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝2x1,b1＝－xeq\o\al(2,1)))，則直線AP′的解析式為y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)，∵Q關于直線AP′的對稱點為Q′，∴QQ′⊥AP′，∴設直線QQ′的解析式為y＝－eq\f(1,2x1)x＋b2，將點Q(x1，0)代入，得－eq\f(1,2x1)x1＋b2＝0，解得b2＝eq\f(1,2)，則直線QQ′的解析式為y＝－eq\f(1,2x1)x＋eq\f(1,2)，聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x1x－xeq\o\al(2,1),y＝－\f(1,2x1)x＋\f(1,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1（1＋