經濟4學分高等數學同濟版-第五章定積分反常

一、無窮限的反常積分二、無界函數的反常積分第四節反常積分上頁下頁鈴結束返回首頁常義積分積分區間有限被積函數有界推廣反常積分(廣義積分)積分區間無限被積函數無界

第五章

積分區間無限積分區間有限轉化逼近方法：引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為:一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分無窮限的反常積分的定義

在反常積分的定義式中,如果極限是存在的,

則稱此反常積分收斂,否則稱此反常積分發散.

連續函數f(x)在區間[a,

)上的反常積分定義為下頁

類似地,連續函數f(x)在區間(,

b]上和在區間(,

)的反常積分定義為下頁一、無窮限的反常積分無窮限的反常積分的定義

連續函數f(x)在區間[a,

)上的反常積分定義為反常積分的計算

如果F(x)是f(x)的原函數則有可采用如下簡記形式：一、無窮限的反常積分無窮限的反常積分的定義

連續函數f(x)在區間[a,

)上的反常積分定義為反常積分的計算

如果F(x)是f(x)的原函數則有

類似地有下頁

解

例1

下頁提示：

例2

下頁

解

解:

例3

當p1時此反常積分發散

首頁有從而有從而

二、無界函數的反常積分注：

如果函數f(x)在點x0的任一鄰域內都無界那么點x0稱為函數f(x)的瑕點(也稱為無界間斷點)

無界函數的反常積分又稱為瑕積分

無界函數反常積分的定義

設函數f(x)在區間(a,

b]上連續,

點a為f(x)的瑕點.

函數f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為下頁

在反常積分的定義式中,如果極限是存在的,

則稱此反常積分收斂;

否則稱此反常積分發散.

函數f(x)在[a

c)(c

b]上(c為瑕點)的反常積分定義為

二、無界函數的反常積分

類似地,函數f(x)在[a,

b)上(b為瑕點)的反常積分定義為下頁無界函數反常積分的定義

設函數f(x)在區間(a,

b]上連續,

點a為f(x)的瑕點.

函數f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為

二、無界函數的反常積分無界函數反常積分的定義

設函數f(x)在區間(a,

b]上連續,

點a為f(x)的瑕點.

函數f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為反常積分的計算

如果F(x)為f(x)的原函數可采用簡記形式

則f(x)在(a,

b]上的反常積分為下頁

二、無界函數的反常積分無界函數反常積分的定義

設函數f(x)在區間(a,

b]上連續,

點a為f(x)的瑕點.

函數f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為反常積分的計算

如果F(x)為f(x)的原函數則f(x)在(a,

b]上的反常積分為提問：

f(x)在[a,

b)上和在[a

c)(c

b]上的反常積分如何計算？如何判斷反常積分的斂散性？下頁所以點a為被積函數的瑕點

解

例4

下頁

解

例5

下頁當c(acb)為瑕點時

解

例6

當q1時此反常積分發散

結束三、Γ函數（GammaFunction）

可以證明它是收斂的。這里我們探討Γ函數的幾個重要性質：

性質1

性質4

性質5

（在概率論中常用的一個積分）

定義：含參變量的廣義積分稱為函數性質3為正整數時,有當性質2遞推公式（或Gamma函數）．例7計算下列積分：解:（2）令

則從而1.反常積分積分區間無限被積函數無界等于常義積分的極限2.兩個重要的反常積分內容小結:

例如：

是否收斂？思考1:分析:原積分發散!注意