概率論與數理統計第七章習題

第七章習題2.設X1,X2,…,Xn為總體的一個樣本,x1,x2,…,xn為一相應的樣本值;求下述各總體的密度函數或分布律中的未知參數的矩估計量和估計值.(1)解因為只有一個未知參數,故只計算總體一階矩1即可.解出將總體一階矩1換成樣本一階矩A1=X,得到參數的矩估計量矩估計值其中c>0為已知,>1,為未知參數.2.(2)其中>0,為未知參數.解因為只有一個未知參數,故只計算總體一階矩1即可.解出將總體一階矩1換成樣本一階矩A1=X,得到參數的矩估計量矩估計值3.求1題中各未知參數的最大似然估計值和估計量.(1)其中c>0為已知,>1,為未知參數.解似然函數

xi>c(i=1,2,…,n)時,取對數得令得到的最大似然估計值的最大似然估計量3.(2)其中>0,為未知參數.解似然函數

0xi1(i=1,2,…,n)時,取對數得令得到的最大似然估計值的最大似然估計量4.(2)設X1,X2,…,Xn是來自參數為的泊松分布總體的一個樣本,試求的最大似然估計量及矩估計量.解泊松分布的分布律為總體一階矩1=E(X)=,將總體一階矩1換成樣本一階矩A1=X,得到參數的矩估計量似然函數取對數得令得到的最大似然估計值的最大似然估計量設x1,x2,…,xn為相應的樣本值,8(1)驗證第六章§2定理四中的統計量是兩總體公共方差2的無偏估計量(SW2稱為2的合并估計).證兩正態總體N(1,12),N(2,22)中,12=22=2而不管總體X服從什么分布,都有E(S2)=D(X),

因此E(S12)=E(S22)=2,(2)設總體X的數學期望為.X1,X2,…,Xn是來自X的樣本.a1,a2,…,an是任意常數,驗證是的無偏估計量.證E(X1)=E(X2)=…=E(Xn)=E(X)=10.設X1,X2,X3,X4是來自均值為的指數分布總體的樣本,其中未知.設有估計量T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5,T3=(X1+X2+X3+X4)/4.(1)指出T1,T2,T3中哪幾個是的無偏估計量;(2)在上述的無偏估計量中指出哪一個較為有效.解Xi(i=1,2,3,4)服從均值為的指數分布,故E(Xi)=,D(Xi)=2,(1)因此T1,T3是的無偏估計量.(2)X1,X2,X3,X4相互獨立由于D(T1)>D(T3),所以T3比T1較為有效.12.設從均值為,方差為2>0的總體中,分別抽取容量為n1,n2的兩獨立樣本.X1和X2分別是兩樣本的均值.試證,對于任意常數,a,b(a+b=1),Y=aX1+bX2都是的無偏估計,并確定常數a,b使D(Y)達到最小.解由p168(2.19)得E(X1)=E(X2)=,D(X1)=2/n1,D(X2)=2/n2.故E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b)=,(a+b=1)所以,對于任意常數,a,b(a+b=1),Y=aX1+bX2都是的無偏估計.由于兩樣本獨立,故兩樣本均值X1和X2獨立,所以由極值必要條件解得而由于故D(Y)必有唯一極小值即最小值.14.設某種清漆的9個樣品,其干燥時間(以小時計)分別為6.05.75.86.57.06.35.66.15.0設干燥時間總體服從正態分布N(,2),求的置信水平為0.95的置信區間.(1)若由以往經驗知=0.6,(2)若為未知.解(1)2已知,的置信水平為1-的置信區間為n=9,1-=0.95,=0.05,

(z0.025)=1-0.025=0.975,z0.025=1.96,=0.6,x=6,的一個置信水平為0.95的置信區間為(5.608,6.392).(2)2未知,的置信水平為1-的置信區間為n=9,1-=0.95,=0.05,t/2(n-1)=t0.025(8)=2.3060s=0.5745,的一個置信水平為0.95的置信區間為(5.558,6.442).16.隨機地取某種炮彈9發做試驗,得炮口速度的樣本標準差s=11(m/s).設炮口速度服從正態分布.求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信水平為0.95的置信區間.解未知,的置信水平為1-的置信區間為n=9,1-=0.95,=0.05,2/2(n-1)=20.025(8)=21-/2(n-1)=20.975(8)=17.5352.18,又s=11,標準差的置信水平為0.95的置信區間為(7.4,21.1).18.隨機地從A批導線中抽取4根,又從B批導線中抽取5根,測得電阻(歐)為A批導線:0.1430.1420.1430.137B批導線:0.1400.1420.1360.1380.140設測定數據分別來自分布N(1,2),N(2,2),且兩樣本相互獨立.又1,2,2均為未知.試求1-2的置信水平為0.95的置信區間.解兩正態總體相互獨立,方差相等,但方差未知,其均值差1-2的一個置信水平為1-的置信區間為n1=4,n2=5,1-=0.95,=0.05,t/2(n1+n2-2)=t0.025(7)=2.3646x1=0.14125,x2=0.1392,s12=8.2510-6,s22=5.210-6,1-2的一個置信水平為0.95的置信區間為(-0.002,0.006).20.設兩位化驗員A,B獨立地對某種聚合物含氯量用相同的方法各作10次測定,其測定值的樣本方差依次為sA2=0.5419,sB2=0.6065,設A2,B2分別為A,B所測定的測定值總體的方差,設總體均為正態的,設兩樣本獨立,求方差比A2/B2的置信水平為0.95的置信區間.解兩正態總體均值未知,方差比A2/B2的一個置信水平為1-的置信區間為nA=10,nB=10,1-=0.95,=0.05,F/2(nA-1,nB-1)=F0.025(9,9)=4.03sA2=0.5419,sB2=0.6065,A2/B2的一個置信水平為0.95的置信區間為(0.222,3.601).22(2)求18題中1-2的置信水平為0.95的單側置信下限.解按照t分布的上分位點的定義即1-=0.95,=0.05,t(n1+n2-2)=t0.05(7)=1.8946,1-2的置信水平為0.95的單側置信下限為18題中已得到x1=0.14125,x2=0.1392,sw=2.5510-3,n1=4,n2=5,22(3)求20題中方差比A2/B2的置信水平為0.95的單側置信上限.解由p169定理四得按照F分布的