隨機過程(31)第3章第1節西電宋月

第三章跳躍隨機過程本章主要內容泊松過程的定義及基本性質泊松過程的0-1律復合泊松過程過程泊松過程擴展實例1.電話交換臺的呼叫次數2.放射性裂變的質點數3.發生故障而不能工作的機器數4.通過交通路口的車輛數5.來到某服務窗口的顧客數………..以上實例中的呼叫,質點,機器,車輛,顧客等也統一叫做隨機點若用N(t)表示[0,t]內到達的隨機點數，顯然這種隨機過程稱為計數過程即實隨機過程{N(t),t≥0}是計數過程，如果N(t)表示直到t時刻為止發生的某隨機事件數．特點①②N(t)是非負整數③④表示時間間隔t-s內發生的隨機事件數．計數過程的另一種表示計數過程的軌道性質(a)零初值性，狀態空間是0及自然數(b)樣本軌道是單調不減，右連續(c)軌道間斷點跳躍的高度永遠是1相互獨立的隨機變量序列

N(t)表示[0，t]時間內到達的隨機點數,

則N(t)

(Nt)是一個隨機變量．分析這些隨機過程的公同特點一.Poisson過程定義若計數過程{N(t),t≥0}

滿足是平穩的獨立增量過程服從參數是λt

的Poisson分布,即則稱計數過程{N(t),t≥0}是參數(強度,比率)為λ

的Poisson過程.定理設{N(t),t≥0}

是參數為λ

的Poisson

過程，則證明1)由定義,顯然有又對s≥0,t≥0,不妨設s≤t,則有是獨立增量平穩性由定義計數過程的到達時間與到達時間間隔分布設{Nc(t),t≥0}是計數過程，即Nc(t)表示時間區間[0,t)內到達的隨機點數.到達時間(序列)表示第i個隨機點的到達時刻,則稱為計數過程的到達時間序列.到達時間間隔(序列)它表示第n-1個隨機點與第n個隨機點的到達時間間隔,則稱為Poisson過程的到達時間間隔(序列)顯然有給出上述定義以后，我們自然需要回答下列問題(1):計數過程與泊松過程的關系，(2):關于Poisson過程中的這兩個序列的概率分布引理(到達時間序列分布)設{Nc(t),t≥0}是計數過程,其到達時間間隔相互獨立且同服從參數為λ的指數分布，則到達時間分布服從Γ分布,密度為證明的分布函數的特征函數為則的特征函數為的密度函數為故定理4.1.1

如果計數過程Nc(t)的到達時間間隔是獨立同分布于參數為的指數分布，則計數過程Nc(t)一定是一個參數為的泊松過程.分析：要證明該定理只需要證明泊松定義中的第二第三條滿足即可.證明：由引例知故其概率密度函數為于是其中以上證明了Nc(t)服從參數為λ的泊松分布，下證平穩的獨立增量性.即對于任意的0≤s<t,增量

Nc(t)-Nc(s)與Nc(u)(u≤s)獨立且

Nc(t)-Nc(s)～π(λ(t-s))

注意到定義則是一個從s開始的計數過程因此在的條件下，的到達時間間隔獨立同分布于參數為λ的指數分布，于是獨立性得證，進而平穩性得證.定理

(到達時間間隔分布)設{N(t),t≥0}

是參數為λ

的Poisson過程，是其到達時間間隔序列，則是相互獨立同服從參數為λ的指數分布．證明獨立性由于poisson過程是平穩的獨立增量過程所以相互獨立.下證同分布到達時間間隔的獨立性平穩性

的獨立性平穩性得證獨立性也可以證明如下以下證明相互獨立因此二維隨機變量（T1，T2）的聯合密度函數為由于的概率比密度函數為于是的概率比密度函數為定理(到達時間序列分布)設{N(t),t≥0}是參數為λ的Poisson過程,則其到達時間服從Γ分布,密度為證明的分布函數第n個隨機點的到達時刻再求導數所以到達時間序列的密度函數為本題目還可以用特征函數證明.例1：假定某天文臺觀察到的流星流是一泊松過程，據以往的資料統計為每小時平均觀察到3顆流星.試求(1)在上午8點到12點期間，該天文臺沒有觀察到流星的概率；(2)下午(下午12點以后)該天文臺觀察到第一顆流星的時間的分布函數.例2：設某電話總機在t分鐘接到的電話呼叫數N(t)是具有速率為λ的泊松過程，試求(1)3分鐘接到5次呼叫的概率；(2)已知3分鐘內接受到5次呼叫，且第5次呼叫在第3分鐘內到來的概率.例3.同一概率空間下的獨立泊松過程的疊加也是泊松過程分析：要證明隨機過程是泊松過程，只能用定義證明，零初值性和獨立增量性比較容易，只需要證明平穩增量性即可.例4

某學生要去A教室上數學課，現有兩個入口B和C可以進入A教室，設在時刻t>0,從B口進入A教室的學生數為NB(t),從C口進入A教室的學生數為NC(t)，假設NB(t)和NC(t)是兩個分別服從參數為和的獨立的泊松過程。試討論下面三個實際問題：問題1在一個固定的3分鐘內沒有學生進入A教室的概率有多大？問題2學生到達A教室的時間間隔的均值是多大？問題3已知一個學生進入了A教室，那么他（她）是從C口進入的概率有多大？例5：有紅綠藍三種顏色的汽車，分別以強度為λR,λG,λB,的泊松流到達某個路口，設它們相互獨立.把汽車合并成單個輸出過程（假設汽車沒有長度，沒有延時）.(1)求兩輛綠色汽車到達的時間間隔的概率密度函數.(2)求兩輛汽車之間的時間間隔的概率密度函數.(3)求在t0觀察到一輛紅色汽車，下一輛將是紅色、藍色、非紅的概率.(4)求在t0觀察到一輛紅色汽車，下三輛汽車是紅色，然后又是一輛非紅色汽車將到達的概率.解(1)兩輛紅色汽車到達的時間間隔TG的概率密度函數為(2)由于獨立的泊松過程之和仍是泊松過程，且其強度為λC=λR+λG+λB,設TC為兩輛汽車到達的時間間