泊松與拉普拉斯方程

2.3.1電位函數

一、電位函數與電位差

電位函數1)電位函數為電場的輔助函數，是一個標量函數；2)“－”表示電場指向電位減小最快的方向；3)在直角坐標系中引入電位函數：可由一標量函數表示。關于電位函數的討論

電位差反映了電場空間中不同位置處電位的變化量。

電位差的計算：

電位差（電壓）意義：A、B兩點間的電位差等于將單位點電荷從B點移動到A點過程中電場力所作的功。兩點間電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關關于電位差的說明電場空間中兩點間電位差為：空間中任意點間的電位為：

電位參考點顯然，電位函數不是唯一確定的，可以加上任意一個常數仍表示同一個電場，即為使空間各點電位具有確定值，必須選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即選參考點令參考點電位為零電位確定值(電位差)兩點間電位差有定值1)應使電位表達式有意義2)應使電位表達式最簡單3)同一個問題只能有一個參考點4)電位參考點電位一般為0；選擇電位參考點的原則:二、電位函數的求解

點電荷的電位選取Q點為電位參考點，則若電位參考點Q在無窮遠處，即則：點電荷在空間中產生的電位

說明：若電荷分布在有限區(qū)域，一般選擇無窮遠點為電位參考點體電荷：面電荷：線電荷：式中：說明：若參考點在無窮遠處，則c=0。引入電位函數的意義：簡化電場的求解！在某些情況下，直接求解電場強度很困難，但求解電位函數則相對簡單，因此可以通過先求電位函數，再關系得到電場解。

分布電荷體系在空間中產生的電位電勢(電位）的計算方法:1)利用點電荷的電勢公式和疊加原理2)根據已知的場強分布,按定義來計算電勢的計算例題例1.均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢例2.均勻帶電球面的電勢例3.均勻帶電球體的電勢例4.電偶極子的電勢ydlRxorxP例1.半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢分布。帶電量為q,p點離圓心距離為x.而電荷元則電荷線密度其在p點產生的電勢為則例2.半徑為R的均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢分布。解：以O為圓心，取半徑為LL+dL的薄圓環(huán)，到P點距離P點電勢：OLdLpxR帶電dq=ds=?2L?dL由高斯定理知，電場分布為R解：例3.求一均勻帶電球面內外的電勢分布。P.

1.當r<R時

3.電勢分布

2.當r>R時r.Pr電勢分布曲線場強分布曲線EVRRrrOO結論：均勻帶電球面，球內的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點電荷的電勢。由高斯定理知，電場分布為R解：例4.求一均勻帶電球體內外的電勢分布。P.

1.當r<R時

3.電勢分布

2.當r>R時r.Pr例5.求一均勻帶電同心球面的電勢分布。半徑為R1和R2,所帶電荷為q1和q2。oR2R1q1q2ⅠⅡⅢ解：均勻帶電球面的電勢分布

無限長線電荷的電位電位參考點不能位于無窮遠點，否則表達式無意義。選擇有限遠點Q作為參考點。根據表達式最簡單原則，選取r=1柱面為電位參考面，即得：無限長線電流在空間中產生的電位

2.3.2泊松方程拉普拉斯方程

柱面坐標系和球面坐標系下的拉普拉斯運算見附錄。

標量場的拉普拉斯運算在直角坐標系中：

矢量場的拉普拉斯運算在直角坐標系中：對標量場的梯度求散度的運算稱為拉普拉斯運算。記作：式中：稱為拉普拉斯算符。在圓柱坐標系中：在球坐標系中：一、靜電場電位方程的建立即：電位的泊松方程在無源區(qū)域，電位的拉普拉斯方程二、電位方程的應用可用于求解靜電場的邊值問題。

例.同軸傳輸線的內導體半徑外導體半徑已知內導體的電位為U0，外導體接地。試求同軸傳輸線內的電位和電場分布。解：線內電位滿足拉普拉斯方程且邊界條件：根據方程有：積分后有：加入邊界條件：于是：1、場源積分法積分困難，對大多數問題不能得出解析解。2、應用高斯定理求解只能應用于電荷成對稱分布的問題。3、間接求解法先求解空間電位分布，再求解空間電場。在實際工程應用中，間接求解法應用最為廣泛，適用于邊值問題的求解。小結：求空間電場分布的方法電偶極子是一種非常重要的物理模型電偶極矩（電矩）(方向由負電荷指向正電荷)偶極子電介質(中性分子)就可以作一個電偶極子等效。此即電介質的電偶極子模型。1、電偶極子中垂線上任一點的電場強度。二、電偶極子激發(fā)的靜電場2、電偶極子延長線上任一點的電場強度。解（1）r電偶極矩（電矩）++用矢量形式