任意角和弧度制

1.角的定義角是由平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形.AOBα始邊終邊頂點角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量其大小的.在平面幾何中，角的取值范圍如何？

但在實際問題中還會遇到其他角．探究一：角的形成結果；在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的.一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉.你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉60度所形成的角，與按順時針方向旋轉60度所形成的角是否相等？如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到“轉體10800”、“轉體12600”這樣的解說．因此，僅有0°～360°范圍內的角是不夠的．角的形成過程規定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個零角.１.角的方向任意角度量一個角的大小，既要考慮旋轉方向，又要考慮旋轉量，通過上述規定，角的范圍就擴展到：任意大小.βB2γAB1αO

對于你能用圖形表示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？

畫圖表示一個大小一定的角:(1)先畫一條射線作為角的始邊，(2)再由角的正負確定角的旋轉方向，(3)再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，(4)畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注.問題1：鐘表經過4小時，時針與分針各轉

(填度).

問題２：如果你的手表慢了20分鐘，或快了1.25小時，你應該將分鐘分別旋轉多少度才能將時間校準？

－120°，450°.

－120°，-1440°.探究二：象限角

思考1：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

xoy象限角：角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？－50°xyoxyo210°xyo405°xyo－200°xyo問題３：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限(位置)，不能反映角的大小.問題2：銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？

思考４：在直角坐標系中，135°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是135°嗎？xyo探究三：終邊相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內在聯系？－32°－392°xyo328°與－32°角終邊相同的角有多少個？這些角與－32°角在數量上相差多少？

思考2：所有與－32°角終邊相同的角，連同－32°角在內，可構成一個集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.思考3：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內所構成的集合S可以怎樣表示？

129°48′，第二象限角.

300°，-60°.例題分析例1．在0°～360°范圍內，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

例2．求與3900°終邊相同的最小正角和最大負角.例2:

寫出終邊在Y軸上的角的集合

分析:首先寫出在Y軸的正半軸上的角的集合,然后寫出在Y軸的負半軸上的角的集合解答:終邊在Y軸的正半軸上的角的集合為終邊在Y軸的負半軸上的角的集合為xyoxyo所以,終邊在Y軸上的角的集合為xyo鞏固與提高寫出終邊在X軸上的角的集合寫出終邊在坐標軸上的角的集合xyoxyoxyoxyo小結1:終邊在軸線上的角的集合

xyoxyo例4．用集合的形式表示象限角第一象限的角表示為第二象限的角表示為第三象限的角表示為第四象限的角表示為{|k360<<k360+90，（kZ）}

{|k360+90<<k360+180，（kZ）}{|k360+180<<k360+270，（kZ）}{|k360+270<<k360+360，（kZ）}

或{|k36090<<k360，（kZ）}小結2：第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？

第一象限：S={α|k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；第二象限：S={α|900＋k·3600<α<1800+k·3600,k∈Z}；第三象限：S={α|1800＋k·3600<α<2700+k·3600,k∈Z}；第四象限：S={α|－900＋k·3600<α<k·3600，k∈Z}.例3:寫出終邊在直線上的角的集合S,并把S中適合不等式的元素寫出來Ｓ中適合的元素

45°—2x180°=--315°45°—1x180°=--135°45°+0x180°=45°45°+1x180°=225°45°+2x180°=405°45°+3x180°=585°S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.(確定整數k)例4：已知與240°角的終邊相同，判斷是第幾象限的角。110°，230°，350°.例5．已知角θ的終邊與30°角的終邊關于x軸對稱試在0°～360°范圍內，找出與終邊相同的角.

弧度制一）問題的提出

1、度量角的方法——度分秒制——把圓周角分為360等份——1度的角——60等份——1分的角——60等份——1秒的角.2、在同一個圓中，圓心角的大小與它所對的弧長一一對應.

當半徑不同時，同樣大的圓心角所對的弧長不相等.半徑rr1=1r2=2r3=3r4=4弧長L弧長與半徑的比值當n=300時練習:當n=600時呢?可以計算弧長L=3、實驗結果表明：當半徑不同時，同樣的圓心角所對的弧長與半徑的比是常數.稱這個常數為該角的弧度數.能否用弧長來定義角的大小呢?二、1弧度角的定義我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角。1弧度單位符號是rad,讀作弧度弧度把角度單位與長度單位統一起來.三）弧度數1、在單位圓中，當圓心角為周角時，它所對的弧長為2π，所以周角的弧度數為2π，周角是2πrad的角.2、任意一個00~3600的角的弧度數必然適合不等式0≤x<2π.3、任一正角的弧度數都是一個正實數；任一負角的弧度數都是一個負實數；零角的弧度數是0.

弧度制下的角與實數之間的關系是怎樣的呢?4、用弧度來度量角，實際上角的集合與實數集R之間建立一一對應的關系：實數集R角的集合正角零角負角正實數零負實數對應角的弧度數角度制與弧度制的換算

用“弧度”與“度”去度量每一個角時，除了零角以外，所得到的量數都是不同的，但它們既然是度量同一個角的結果，二者就可以相互換算．

若弧是一個整圓，它的圓心角是周角，其弧度數是，而在角度制里它是，

因此．

因為．

1度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？度把化成弧度．例1解：∵∴

角度制與弧度制互化時要抓住弧度這個關鍵．把化成度．例2解：角度

弧度

寫出一些特殊角的弧度數

例3計算：（1）；（2）．解：（1）∵

∴

（2）∵∴２.試推出弧長公式和扇形面積公式(角用弧度).xyoxyo用弧度表示終邊在軸線上的角的集合

xyoxyo（1）；（2）；（3）．1．把下列各角化成的形式：２．下列角的終邊相同的是（）．A．與與與與B．C．

D．

B問題３：