第一章事件與概率

概率論基礎謹以此獻給我所有可愛的，才華橫溢的學生！關彥輝G_yanhui@163.com

在第二次世界大戰中，美國曾經宣布：一名優秀數學家的作用超過10個師的兵力。這句話有一個非同尋常的來歷。

1943年以前，在大西洋上英美運輸船隊常常受到德國潛艇的襲擊，當時，英美兩國限于實力，無力增派更多的護航艦。一時間，德軍的“潛艇戰”搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國海軍將領專門去請教了一位數學家，數學家們運用概率論分析后認為：艦隊與敵潛艇相遇是一個隨機事件，從數學角度來看這一問題，它具有一定的規律性。一定數量的船（為100艘）編隊規模越小，編次就越多（為每次20艘，就要有5個編次）。編次越多，與敵人相遇的概率就越大。美國海軍接受了數學家的建議，命令艦隊在指定海域集合，再集體通過危險海域，然后各自駛向預定港口。結果奇跡出現了：盟軍艦隊遭襲被擊沉的概率由原來的25％降為1％，大大減少了損失，保證了物資的及時供應．1名數學家＝10個師回顧引入概率論的歷史概率（Probability），亦稱為賭博法，機遇論，猜測藝術等，它的思想可追溯自公元前220年以前的中國的一些文獻.不過真正的歷史卻只有三百來年而已.如今，但凡要進行信息處理，決策制定，實驗設計等等，只要涉及數據，必用概率統計的模型和方法.例如，在經濟，管理，工程，技術，物理，化學，生物，環境，天文，地理，衛生，教育，語言，國防等領域有非常重要的應用.

這一天，法國一位貴族、職業賭徒梅累（DeMere）向法國數學家、物理學家帕斯卡（Pascal）提出了一個十分有趣的“分賭注”問題．問題是這樣的，一次梅累和賭友擲硬幣，各押賭注32個金幣．雙方約定先勝三局者為勝,取得全部64個金幣.

賭博進行了一段時間，梅累已經贏了兩局，賭友已經贏了一局．這時候梅累接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓，賭博只好中斷了．請問：兩個人應該怎樣分這64個金幣才算合理呢?概率論的生日：1654年7月29日帕斯卡是17世紀有名的“神童”數學家。可是，梅累提出的“分賭注”的問題，卻把他難住了．他苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點眉目，于是寫信給他的好友費馬，兩人討論結果，取得了一致的意見：梅累的分法是對的，他應得64個金幣的四分之三，賭友應得64金幣的四分之一。這時有位荷蘭的數學家惠更斯在巴黎聽到這件新聞，也參加了他們的討論．結果他們這樣回答了梅累的問題；“先做一個樹結構圖，根據樹結構圖A勝的概率是3／4時，就把賭錢的3／4分給A，把剩下的1／4分給B就可以了．”于是，概率的計算就這樣產生了．

在他們三人提出的解法中,首先都涉及了數學期望(mathematicalexpectation)這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎.

討論結果，惠更斯把它寫成一本書叫做《論賭博中的計算》(1657年)，這就是概率論最早的一部著作．

概率論現在已經成了數學的一個重要分支，在科學技術各領域里有著十分廣泛的應用．古典概率時期工具：排列組合主要工作：PascalFermatHuygensBernoulliJamesDeMoivreAbrahamBernoulliDaniel等等.《論賭博中的計算》，1657，（DeRatiociniisinLudoAleae)《猜測的藝術》,1713,ArsConjectandi,詳盡論述排列組合理論，提出了概率論在民間，道德，經濟上的應用.《論賭博法》,1711,《機遇說》,1722，

Laplace以前關于概率論的最大貢獻.《賭博法新論》,1730,

《關于猜測的新問題的分析研究》,1759，將概率論推廣于人壽保險，健康統計上.分析概率時期工具：微積分等現代數學主要工作：DeMoivreAbrahamLaplaceTheDoctrineofChances,1733,由二項式公式推出正態分布曲線《概率分析理論》,1812,ThéorieAnalytiquedesProbabilités

,標志進入分析概率時期的偉大著作.等等.Kolmogorov(1903–1987)《概率論的基本概念》,1933,給出了概率論的公理化定義，標志概率論進入現代數學范疇.一、隨機現象§1. 隨機現象與統計規律性第一章 事件與概率概率論研究的對象是什么？現象確定現象隨機現象概率論研究什么問題？RPWT它的原意是指刮風、 下雨、陰天、晴天 這些天氣狀況很難 預料，后來它被引 申為：世界上很多 事情具有偶然性， 人們不能事先判定這些事情是否會發生。

降水概率90%“天有不測風云”人們果真對這類偶然事件完全無法把握、束手無策嗎？隨著對事件發生的可能性的深入研究，人們發現許多偶然事件的發生也具有規律可循的。概率這個重要的數字概念，正是在研究這些規律中產生的。人們用它描敘事件發生的可能性的大小。例如，天氣預報說明天的降水概率為90%，就意味著明天有很大可能下雨（雪）。降水概率90%試分析:“從一堆牌中任意抽一張抽到紅牌”這一事件的發生情況?可能發生,也可能不發生必然發生必然不會發生

木柴燃燒,產生熱量明天，地球還會轉動問題情境在00C下，這些雪融化實心鐵塊丟入水中,鐵塊浮起煮熟的鴨子，跑了水從高處流向低處太陽從西邊升起

在一定條件下，事先就能斷定發生或不發生某種結果，這種現象就是決定性現象.“函數在間斷點處不存在導數”等.決定性現象的特征

條件完全決定結果.研究的數學工具：代數，微積分，微分方程等等.轉盤轉動后，指針指向黃色區域

在一定條件下，某種現象可能發生也可能不發生，事先不能斷定出現哪種結果，這種現象就是隨機現象.這兩人各買1張彩票，她們中獎了實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現的情況”.結果有可能出現正面也可能出現反面.結果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現的點數”.實例2

“在相同條件下生產同一種零件，觀察它們的尺寸”.結果:“它們的尺寸總會有一點差異

”.實例4

“從一批含有正品和次品的產品中任意抽取一個產品”.其結果可能為:

正品、次品實例5

“過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實例6

“一只燈泡的壽命”可長可短.

個別隨機現象：原則上不能在相同條件下重復出現（例6）.隨機現象的特征條件不能完全決定結果.隨機現象的分類

大量性隨機現象：在相同條件下可以重復出現（例1-5）.某些物理學家，說不定認為對投擲銅板，由給定投擲的速度、角度、地面的彈性、銅板的形狀及重量等條件，可算出銅板落地后，會那一面朝上，因此這不是隨機。至于六合彩的開獎，只要起始條件都能測出，則會開出那一號球，也能算出，因此這也不是隨機。但你大約也知道所謂蝴蝶效應(butterflyeffect)。測量極可能有誤差，而有時一些微小的改變，影響卻可能很大。因此我們寧可相信這些都是隨機現象。某些神學家，可能認為一切其實都是按照神的旨意在進行，只是我們不知而已。說不定真是如此。但若無從了解神的旨意，對于未來，也只好視為隨機。隨著科技進步，人們逐漸弄明白很多現象的來龍去脈。例如，我們知道女性一旦懷孕，嬰兒性別便已確定。但對一大腹便便的婦女，好事者由于不知，仍可猜測其生男生女之機率。考試前夕，學生們雖認真準備，但還是絞盡腦汁猜題，各有其認為考出機率很大的題目。老師獲知后，覺得好笑。實則試題早已印妥，而學生不知考題，且未體會老師的暗示及明示，所以仍可以大猜一通。另外，諸如門外有人敲門，你好奇是男是女？老師要你猜拿在背后的水果，是橘子或蘋果？同學蓋住落地的銅板，要你猜正面或反面朝上？這類明明已確定的事，本身其實并不隨機，只是對你而言，卻有如“子非魚”，當然可猜魚快樂的機率。2°隨機現象從表面上看，似乎雜亂無章,沒有規律.但實踐證明,如果同類的隨機現象大量重復出現,它的總體就呈現出一定的規律性.1°隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定性聯系

,其數量關系無法用函數加以描述.

這種規律性隨著我們觀察的次數的增多而愈加明顯.這種由大量同類隨機現象所呈現出來的集體規律性叫做統計規律性.概率論和數理統計就是研究這種統計規律性的數學學科.隨機現象的統計規律性拉普拉斯有一個信念：偶然現象有穩定的統計規律性一般人或許認為:生男生女的可能性是相等的,因而推測出男嬰和女嬰的出生數的比應當是1:1,可事實并非如此.1814年,法國數學家拉普拉斯(Laplace1794——1827)在他的新作《概率的哲學探討》一書中,記載了一下有趣的統計.他根據倫敦,彼得堡,柏林和全法國的統計資料,得出了幾乎完全一致的男嬰和女嬰出生數的比值是22:21,即在全體出生嬰兒中,男嬰占51.2%,女嬰占48.8%.可奇怪的是,當他統計1745——1784整整四十年間巴黎男嬰出生率時,卻得到了另一個比是25:24,男嬰占51.02%,與前者相差0.14%.

對于這千分之一點四的微小差異!拉普拉斯對此感到困惑不解,他深信自然規律,他覺得這千分之一點四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入進行調查研究,終于發現:當時巴黎人“重男輕女”,有拋棄女嬰的陋俗,育嬰堂嬤嬤撿去后又上報一次，以至于歪曲了出生率的真相,經過修正,巴黎的男女嬰的出生比率依然是22:21.必然性使人們愿意事先好好準備。隨機性使人們對未來，充滿著盼望與戒慎恐懼。光有必然性，亳無變異，對未來缺乏盼望，人們將少了努力的動機。光有隨機性，只靠運氣，將令人失去積極認真的企圖心。機遇在愛情與工作上扮演著極其重要的角色。我們在人生中其實不是按明確路線前進的汽車司機，而更像是彈珠游戲里到處碰運氣的珠子。以開放的心態面對生活中的岔道口，能看到別人錯過的機會。即使事與愿違，也能很快擺脫失望，走向下一個幸運之地。如是更加快樂，更容易達成心愿。

“有時候，人生會拿磚塊砸你的頭，但不要因此喪失你的信心。我相信，唯一支撐我不斷走下去的是， 我熱愛我所做的事。”三分天注定，五分靠打拼，兩分靠運氣。由于變異無可避免的存在，要了解變異，設法減少變異。雖世事多變，但萬物有常，存在隨機法則。看似沒有規律，其實被大數法則規范。二、頻率的穩定性頻率的定義描述一個隨機事件發生的頻繁程度在相同的條件下進行了

n次重復試驗，記

nA

是

A發生的次數(又稱頻數)；則定義隨機事件

A發生的頻率為實例

將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做7遍,觀察正面出現的次數及頻率.試驗序號1234567231512422252125241827251249256247251262251.00.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動最小隨n的增大,頻率

f呈現出穩定性實驗設計。仿真產生數據。林覺民，在“與妻訣別書”中，寫不盡對愛妻的不舍。最后說“紙短情長，所未盡者尚有幾萬千，汝可以模擬得之。”紙上談兵試驗者拋擲次數n“正面向上”次數m“正面向上”頻率m/n棣莫弗204810610.518布豐404020480.5069費勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005關老師100000隨著拋擲次數的增加,“正面向上”的頻率的變化趨勢有何規律?仔細看一看從上述數據可得拋硬幣次數n較小時,頻率f

的隨機波動幅(1)頻率有隨機波動性,即對于同樣的n,所得的f不一定相同;度較大,但隨n

的增大,頻率f

呈現出穩定性.即當n

逐漸增大時頻率f

總是在0.5

附近擺動,且逐漸穩定于0.5.擲骰子實驗:把一個骰子拋擲多次，觀察其出現的結果，并記錄各結果出現的頻數，然后計算各頻率.高爾頓板

Galton_Boxsimulator概率的頻率定義

自然地，可以采用一個隨機事件的頻率的穩定值去描述它在一次試驗中發生的可能性大小，即用頻率的極限來作為概率的定義.隨機事件

A發生的可能性大小的度量（數值），稱為事件

A發生的概率，記為

P(A).概率（Probability）的直觀定義概率的統計定義在相同條件下重復進行的n

次試驗中,事件A

發生的頻率穩定地在某一常數p附近擺動,

且隨n越大擺動幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).統計概率的特性優點：易于理解，生活中比比皆是缺點：大量重復試驗的局限性只能得到近似值頻率的性質(1)(非負性)(2)(規范性)Fn(A)≥

0

;Fn()=1;(3)(可加性)如果

A，B

是兩個不會同時發生的隨機事件，以

A＋B表示

A或

B至少出現其一這個事件，則

Fn(A+B)=Fn(A)+Fn(B).三、頻率與概率1

概率的統計定義直觀地描述了事件發生的可能性大小，反映了概率的本質內容。Remark2

與P(A)的區別而P(A)是一個確定的數!隨機試驗有關;是一個隨機數,是變數,它與3

當試驗次數n很大時，有4

概率統計定義的缺陷(1)不便于理論研究.需要作大量的試驗,才能觀察出的穩定值,即無法根據此定義計算某事件的概率.(2)在數學上不夠嚴謹.毛澤東，《滿江紅·和郭沫若同志

》：一萬年太久，只爭朝夕。對于機率：不爭一時而爭千秋。觀測次數夠多后，機率的威力就顯現。機率是千秋的事馬克吐溫(1907)：Therearethreekindsoflies:lies,damnedlies,and

statistics.(有三種謊言:謊言,可惡的謊言,及統計)統計為何被當做謊言？關老師說：有數據說明，擲硬幣時正面向上的概率為80%。關老師這么老實，肯定沒有說謊。那么，誰說謊了哩？ExampleinPractice

（統計數字會撒謊，『美』達萊爾·哈夫）

使用多克斯牌牙膏將使蛀牙減少23%，結論出自一家信譽良好的“獨立”實驗室，并且還經過了注冊會計師的證實。然而，如果你不是特別容易輕信他人或者盲目樂觀，經驗將告訴你：一種牙膏難以比其他牙膏好。那么多克斯公司是怎樣制造了上述結論？這里的主要把戲是不充分的樣本——統計角度的不充分，但對于多克斯公司來說已經足夠了。只有當你讀小字體的文字時才會發現：被測試的用戶僅由12人組成。單憑這點，你便不得不佩服多克斯公司，而且它留給你一個可能知道全部情況的機會。有的廣告商索性將類似的文字都略去，留給讀者——即便他是一個老練的統計專家——一個猜想：這里面到底玩了什么把戲？

讓規模不大的一組人連續記錄六個月的蛀牙數，接著使用多克斯牙膏。之后一定會發生以下的其中一種結果：蛀牙明顯增多，蛀牙明顯減少或者蛀牙數量無顯著變化。如果是第一或者第三種結果，多克斯公司編檔保存好這些數字，當然最好是藏在別人找不到的地方，然后重新實驗。由于機遇的作用，遲早有一組被測試者將證明有很好的效果，并且這個結果足以好到作為標題甚至引發一場廣告戰。不過，不管實驗者使用的是多克斯牙膏還是發酵粉，或者還是繼續使用原來的品牌，上述結果都會發生。任何由于機遇產生的差異，在大樣本的使用中都是微不足道的，不足以作為廣告標題。

多克斯公司是怎樣輕易地獲得一個不存在漏洞并經得起檢驗的結論？Heraclitus：

"Ever-newerwatersflow onthosewhostepintothe samerivers."

赫拉克利特：

人不能兩次踏進同一條河流有的事件無法重復試驗，稱為一次性事件。如：關老師肯定沒有說謊，明天是否下雨，這個病人是否能治愈，新產品銷路如何，火星上是否有生命，核彈爆炸的威力，核能電廠的意外，彗星撞地球

…主觀概率主觀概率定義：合理的信念的測度，是認識主體根據其所掌握的知識、信息和證據，而對某種情況出現可能性大小所做的數量判斷。如：降水率，治愈率，洲際導彈命中率，明年國民經濟增長率，…

某君看上一女孩，驚為天人，覺得這是他今生的新娘。評估后信心滿滿，自認追上的機會有8成。旁人卻都不看好，問他8成這一數字，是如何冒出來的？該君舉證歷歷，一個又一個的跡象，顯示那女孩對他很有好感。這個0.8的概率，就是所謂主觀概率。大約少有女孩，會讓你做實驗，反復地追，然后數一數其中成功幾次，來定下她會被你追上的機率。對這類無法重復觀測的現象，在談概率時，主觀概率就常派上用場。雖說“主觀”，但仍要合理。例如，考試有及格與不及格。若認為會及格的機率為0.9，這沒問題，人總要有點自信，但若又同時擔心有0.8的機率會不及格，那就不行了。各種可能性發生機率相加要為1。即使是主觀，可以獨排眾議，仍須自圓其說。不能說，既然是主觀，便可以任意自定各事件之概率。因此不論是那一種對概率的解釋，都自然地，或必須要滿足一些共同的規則。有個與曾子同名的人殺人，好心者告訴曾母“曾參殺人”。曾母說“吾子不殺人”，繼續織布。過一會兒，又有人來說“曾參殺人”。曾母仍繼續織她的布，這么好的兒子怎可能殺人？但當第三人跑來說“曾參殺人”，曾母就害怕了，丟掉織布器具翻墻而逃。所謂“其母懼，投杼踰墻而走”。主觀概率 對于不可重復進行的實驗，在符合概率的公理化定義的三個基本條件下所定義的概率。

主觀概率的確定或是依賴于經驗所形成的個人信念，或是依賴于對歷史信息的提煉，概括和應用。主觀概率的確定雖然帶有很大的個人成分，但并不是完全的臆測，并且主觀概率在一定的條件下，還可使用貝葉斯公式加以修正。主觀概率至少是頻率方法及古典方法的一種補充．有了主觀概率，至少可以使人們在頻率觀點不適用時也能談論概率，且能使用概率統計方法解決相應的實際問題。

主觀概率的應用主要在于決策問題。在數據分析方面，貝葉斯概率起著重要的作用。它在20世紀得到發揚光大，被稱為數理統計學中的貝葉斯學派。與頻率學派（基于頻率的概率，不允許有主觀概率的作用）間曾發生令人矚目的爭論(部分是主觀概率合法性之爭)。主觀概率適用于對只出現一次而不能重復的事件進行概率描述，而頻率的解釋則適用于能大量重復的隨機事件。批評：如果概率是人的主觀信念的數量度量，那么概率論就很象心理學的一個分支，而對概率進行純主觀的解釋最終將導致唯心論。辯解：客觀上有很多只出現一次而又需要作出決策的事件，決策人通過主觀概率把自己的以數據、分析和經驗為依據的判斷表示為數量形式，就可以利用概率的整套數學理論和工具得到結論，這些結論對決策往住非常有用。ExampleinPractice1999年1月14日的《科學時報》對“神農架是否存在野人”問題的討論做了報道。這當然是一個一次性事件，因為普天下并無第二個神農架。從報道上看，學者們的意見基本一致，即可能性很小。但仍有不同：有的學者認為完全不可能，即把“神農架存在野人”這個事件的概率判為0，另一位學者將其判為0.05，還有的學者只判斷“很小”但未給出數值。這就是各學者對這事件發生所判的主觀概率。

《俄狄浦斯王》中，王后伊俄卡斯忒安慰俄狄浦斯：“偶然控制著我們，未來的事又看不清楚，我們為什么懼怕呢？”§2. 樣本空間與事件一、樣本空間隨機現象是通過隨機試驗來研究的.Question

什么是隨機試驗?隨機試驗現在，就讓我們一起，步入這充滿隨機性的世界，開始第一步的探索和研究.1.可以在相同的條件下重復地進行;2.每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果;3.每次測試的結果事前不可預言.定義：在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.隨機試驗簡稱為試驗，記為

E.特點：可重復性，可觀察性，隨機性.實例“拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現的情況”.分析:(1)試驗可以在相同的條件下重復地進行;(2)試驗的所有可能結果:字面、花面;(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現.

故為隨機試驗.1.“拋擲一枚骰子,觀察出現的點數”.2.“從一批產品中,依次任選三件,記錄出現正品與次品的件數”.同理可知下列試驗都為隨機試驗3.記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數.4.考察某地區10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.

樣本點：隨機試驗結果的出現是不確定的，但所有可能結果是明確的.隨機試驗的每一個可能結果稱為一個樣本點，記為樣本空間：樣本點的全體，記為

如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個樣本點組成：S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中

樣本空間在如下意義上提供了一個理想試驗的模型：

在每次試驗中必有一個樣本點出現且僅有一個樣本點出現.例1 寫出下列隨機試驗的樣本空間.1)觀將一枚硬幣連拋N次,觀察正面出現的次數.2)拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.從一批產品中,依次任選三件,記錄出現正品與次品的情況.4)記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數.5)

考察某地區12月份的平均氣溫.6)從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.

2°

同一試驗,若試驗目的不同,則對應的樣本空間也不同.如：

對于同一試驗:“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H（Heads）、反面T(Tails)出現的情況,則樣本空間為若觀察出現正面的次數,則樣本空間為注

1°

試驗不同,對應的樣本空間也不同.3°建立樣本空間,事實上就是建立隨機現象的數學模型.因此,一個樣本空間可以概括許多內容大不相同的實際問題.如：只包含兩個樣本點的樣本空間,它既可以作為拋擲硬幣出現正面

或出現反面的模型,也可以作為產品檢驗中合格與不合格的模型,又能用于排隊現象中有人排隊與無人排隊的模型等.

所以在具體問題的研究中

,描述隨機現象的第一步就是建立樣本空間.二、事件（Event）事件：隨機試驗中某些結果所構成的集合，這些結果具有某一可觀察的特征.隨機事件：在試驗中，可能發生，亦可能不發生的事件.必然事件：必然發生的事件，記為不可能事件：一定不會發生的事件，記為基本事件：恰含一個樣本點的事件.Remark一般可將必然事件，不可能事件視為隨機事件的極端情形，并統一簡稱為事件.2.事件A與B等價（相等）：記作A=B，表示A

ìB并且A

é

B.AB三、事件間的關系及運算

1.事件A包含B（B包含于A）：表示事件B發生事件A必然發生，記作A

B

é（或B

Aì）。例如:A（擲出奇數點）B(

擲出一點)

解：1)顯然，B發生必然導致A發生，所以BA;.

2)又因為A發生必然導致B發生，所以AB，由此得A=B.Example

口袋中有a個白球、b個黑球，從中一個一個不返回地取球。A=“取到最后一個是白球”，B=“取到最后是白球段”。問A

與B

的關系？BAPropertyA+BAB7.事件A與B的差事件：表示A發生而B不發生，記作A-B。A-BABBA8.有限個或可列個事件的并與交隨機事件的運算律和的交換律：和的結合律：交的交換律：交的結合律：第一分配律：第二分配律：自反律：第一對偶律：第二對偶律：符號 測度論含義 概率論含義Ω

全集 樣本空間，必然事件空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 樣本點{ω} 單點集 基本事件A

Ω

一個集合 一個事件AB

A的元素在B中 A發生必然導致B發生A=B

集合A與B相等 事件A與B相等A∪B

A與B的所有元素 A與B至少有一個發生A∩B

A與B的共同元素 A與B同時發生

A的補集 A的對立事件A

-

B

在A中而不在B中的元素 A發生而B不發生A∩B= A與B無公共元素 A與B互不相容Example試用A、B、C表示下列事件：①A出現；②僅A出現；③恰有一個出現；④至少有一個出現；⑤至多有一個出現；⑥都不出現；⑦不都出現；⑧至少有兩個出現.四、有限樣本空間樣本空間

?只包含有限個樣本點，對每個樣本點賦予一個非負實數：

ωk

?pk

，這些

pk稱為樣本點ωk的概率，

只要全部這些

pk

的和為1.Definition1.2.1

對任何隨機事件，A發生的概率就是它包含的樣本點概率之和.關老師患了重感冒，奄奄一息地來到醫生面前。聽到醫生的話，你猜關老師有什么反應?“你的病很重,在十個得這種病的人中只有一個能救活.”當關老師被這個消息嚇得夠嗆時,醫生繼續說：“但你是幸運的。因為你找到了我,我已經看過九個病人了,他們都死于此病.”

OR洗具醫生在檢查完的時候搖搖頭：嚇出一身冷汗，感冒好了～～～治療10個病人，相當于做10次試驗，每次試驗的結果都是隨機的，所以第10次治療的結果也是隨機的，關老師掛掉的概率依然是90%.

恭喜關老師死里逃生！繼續上課！若隨機試驗E具有下列兩個特征：1)有限性

樣本空間中，只有有限個樣本點：2)等可能性

則稱E所描述的概率模型為古典概型.古典概型隨機試驗一、模型與計算公式§3. 古典概型古典概型中事件概率的計算公式A為E的任意一個事件,且包含m個樣本點,則事件A出現的概率為:

設試驗E的樣本空間由n個樣本點構成,

例1將骰子先后拋擲2次，計算：（1）一共有多少種不同的結果？（2）其中向上的數之和是5的結果有多少種？（3）向上的數之和是5的概率是多少？二、基本的組合分析公式1.加法原理與乘法原理加法原理

假設做一件事情可采用

A或

B兩類不同方式，A方式有

n種不同的方法可以完成這件事，B方式有

m種不同的方法可以完成這件事.則完成這件事情一共有

n+m種不同的方法.

如果有若干類方式，就把 所有方式的各種方法全部相加城市甲：2城市乙

：4

：3

則從甲城市到乙城市一共有2+4+3=9條線路

乘法原理（Productrule）

做一件事必須經過

A與

B兩個不同步驟，步驟

A包含了

n種不同的方法，步驟

B包含m種不同的方法.

則完成這件事情一共有

n×m種不同方法.

如果有若干個步驟，就把 所有步驟的各種方法全部相乘：2城市甲：4：3

城市乙32

從甲城市到丙鄉村的線路一共有9×(3+2)條。 鄉村丙2.排列（Permutation）(1)可以重復的排列從

n個不同元素中允許放回任意取

r個出來排成有順序的一列(即取出的這些元素可以相同).所有不同的排列方式一共有

n×n×…×n=nr

r

例如廣州的電話號碼是

8位數字，那么理論上廣州可以容納108

，即一億門電話.足球彩票有313

種可能等等.(2)不可重復的排列

從

n個不同的物體中無放回任意取出

r個(1≤r≤n)

排成有順序的一列，稱為

n取

r的不可重復排列(又稱為選排列).

不同的排列方法一共有：Example從

26個英文字母中任取

2個排列，所有不同方式的數目為（3）全排列n

個不同元素的全排列數為(1)二項式組合

從

n個不同元素中不允許放回任意取

r個(r

≤n)構成一個集合，稱為n取

r的組合.構成這個集合的不同的組合方法一共有幾個基本組合公式：

3.組合（Combination）稱為二項系數，是下列二項展開式的系數：n!52!(2)多項式組合

把

n個不同元素分成

k個部分，各個部分包含的元素個數分別是：r1，r2，…，rk

；則全部不同的分配方式一共有：

nr1

r2

…rk=

r1!×r2!×…×rk!Example 把52張撲克牌平均分給4個人，每人13張，則所有不同的分配方案有：()13!×13!×13!×13!稱為多項系數，是

(x1+x2+…+xk)n展開式中 的系數.

nr1

r2

…rk()若

n個元素中有

n1個帶足標“1”，n2個帶足標“2”，……，nk個帶足標“k”，且

n1+n2+…+nk=n，從這

n個元素中取出

r個，使得帶有足標“i”的元素有

ri個（1≤i≤k），而

r1+r2+…+rk=r，這時不同取法的總數為(3)不重復組合(4)可重復組合

從

n個不同元素中允許放回任意取

r個構成一個集合，稱為

n

取

r的可重復組合.不同的組合方法一共有：實際上等價于不定方程的非負解：

x1+x2+…+xn

=r每個

xi

表示第

i號元素出現的次數.n=4,r=3,考慮4只有序的匣子共裝有3個不可分辨的球.一個可重復組合對應于3個球在4個匣中的一種分配情況，例如：裝球模型Remark排列與組合的區別在于： 排列必須考慮順序，而組合不考慮順序.以上除可重復組合方式外都具有等可能性.如果取的人加以區別并考慮順序的話，可重復組合方式具等可能性.排列與組合都可以用來構造樣本空間.古典概率的計算一般是先計算樣本空間里的樣本點總數，再從中挑選出隨機事件包含的樣本點個數.將排列公式推廣，定義4.關于二項系數的一些公式若，則(2)由泰勒公式得：因此Property因為特別地或(3)利用冪級數的乘法，計算的冪級數展開式中冪前面的系數知：Example 有一個黑壺，一個白壺.黑壺中有5個紅球，6個綠球；白壺中有3個紅球，4個綠球.你可以先選擇一個壺，然后從這個壺中隨機抽取一球.假如你抽到紅球的話，你將會獲得獎勵.你愿意選擇哪個壺進行抽球哩？選擇黑壺的話，抽中紅球的概率是5/11=0.455；選擇白壺的話，抽中紅球的概率是3/7=0.429.應選擇黑壺.古典概型的問題一般可轉化為摸球模型

三、概率直接計算的例子

再考慮另外的一個黑壺和一個白壺.這個黑壺中有6個紅球，3個綠球；白壺中有9個紅球，5個綠球.現在打算選擇哪個壺來抽球哩？選擇黑壺的話，抽中紅球的概率是6/9=0.667；選擇白壺的話，抽中紅球的概率是9/14=0.643.還是應該選擇黑壺.最后，我們把第二次試驗中黑壺的球倒入第一次試驗中的黑壺，把第二次試驗中白壺的球倒入第一次試驗中的白壺.同樣地你可以先選擇一個壺來抽取紅球，你愿意選擇哪個壺？直觀告訴我們，選擇黑壺.我們算一算驗證.黑壺中有11個紅球，9個綠球，抽到紅球的概率是11/20=0.55.白壺中有12個紅球，9個綠球，抽到紅球的概率是12/21=0.571.應當選擇白壺，與我們的直覺完全相反.辛普森悖論（Simpson’sparadox）.量與質是不等價的，無奈的是量比質來得容易量測，所以人們總是習慣用量來評定好壞.念天地之悠悠，獨愴然而涕下。如果我們在人生的抉擇上選擇了一條比較難走的路，就更有可能不被賞識。迎合普世價值，讓我們成為全才，同時也陷入“懷才不遇”困境。獨特的人生更精彩！陳子昂，《登幽州臺歌》：Remark

生日問題，分房問題可以歸結為這類問題。，于是有所含基本結果數（2），于是有（1）所含基本結果數，且各結果機會均等。顯然，所有可能基本結果數為小球各占一個紙盒”。表示“個盒內各有一個小球”；解：設表示“指定的小球各占一個紙盒的概率。（2）（1）指定的個紙盒各有一個小球的概率；中，試求解下列問題：小球隨意放入紙盒盒子，個小球（），欲將這個可容納任意個小球的紙例4（投球入格）設現有例(生日問題)設每個人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么隨機選取n(≤365)人。(1)他們的生日各不相同的概率為多少？(2)n個人中至少有兩個人生日相同的概率為多少？解(1)設A=“n個人的生日各不相同”(2)設B=“n個人中至少有兩個人生日相同”n20233040506480100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9990.9999997

世界杯正在舉行,5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.后抽比先抽的確實吃虧嗎？

“先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大.”

到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機會都一樣大.”“先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大。”

四、抽簽與順序無關

例5

袋中有a只黑球和b只白球，k個人把球隨機的一只只『解法二』

把小球編號，將k個人取球構造樣本空間『解法一』

把小球編號，將(a+b)個人取球構造樣本空間，則樣本點總數為(a+b)!；第k個人取到黑球，有a種，其余的順序可以任意排列，因此摸出來，求第k個人摸出的是黑球的概率.『解法三』

把

a只黑球看作是無區別的，把

b只白球也看作沒有區別的.第一、二種解法考慮到了順序，因此用排列來解決；第二種解法不注重順序而用組合.對于同一個隨機現象可以用不同的樣本空間來描述，因此同一個概率也有不同的求法.例6如果某批產品中有a件次品b件合格品，我們采用放回和不放回取樣方式從中抽n件產品，問正好有k件是次品的概率各是多少？

五、二項分布與超幾何分布

把a+b件產品進行編號，有放回的抽n次，把可能的重復排列全體作為樣本空間，樣本點總數為（a＋b）n.（1）有放回抽樣場合n次取出的產品中

a件次品中

b件合格品究竟哪

k次是次品

取

k個次品取出

n-k件ak

bn-kCnk這即為二項分布中隨機變量取值為k的概率.

17世紀,法國的ChevaliesDeMere注意到在賭博中一對骰子拋25次,把賭注押到“至少出現一次雙六”比把賭注押到“完全不出現雙六”有利.但他本人找不出原因.后來請當時著名的法國數學家帕斯卡(Pascal)才解決了這一問題.

這問題是如何解決的呢?Question

從a+b件產品中取出n件產品的可能組合全體作為樣本點.這即為超幾何分布中隨機變量取值為k的概率.Remark

當產品總數很大而抽樣數不大時，采用有放回抽樣與采用不放回抽樣，差別不大.（2）不放回抽樣場合池中有多少魚？統計里，常在做預測、做估計。做以偏概全的事。最大似然法依發生機率之最大者來決定估計值。日常生活常以此法來做決策：教室的玻璃窗破了，小明平常最喜歡亂丟東西，最可能是他。警方辦案，從有前科者開始調查。例7 從某魚塘捕得1200條魚，做了標記之后放回魚塘經過一段時間后，在從中捕得1000條魚，發現其中有標記的魚100條，試以此數據估計魚塘中魚的數量.

第二次捕出的有記號的魚數為k的概率是：用最大似然法估計湖中的魚數為了估計湖中的魚數n，第一次捕上m條魚，做上記號后放回.隔一段時間后,再捕出r條魚,

結果發現這r條魚中有k條標有記號.根據這個信息,如何估計湖中的魚數呢?應取使Pk(n)達到最大的n,作為n的最大似然估計.這個比值大于或小于1，或而定

.由但用對n求導的方法相當困難,我們考慮比值：這就是說，當n增大時，序列Pk(n)先是上升而后下降;當n為小于的最大整數時,達到最大值.故n的最大似然估計為我們看人看事喜歡以偏概全，看到少數特點就開始想當然，容易形成偏見，此所謂代表性偏差。例如，有人告訴你某人性格安靜、害羞、保守、謙遜，那么他的職業是什么——是推銷員，還是腦外科醫生？大多數人會選擇腦外科醫生，因為在他們的印象中，推銷員是外向、愛交際的。然而，社會上推銷員遠遠多于腦外科醫生，一個人當一名推銷員的可能性遠遠高于當腦外科醫生的可能性，因此要猜的話，某人更有可能是推銷員。統計學一般常用在預測事情最可能之結果，例如選舉時的民意調查、收視率調查等。ExampleinPractice2011年4月25日，民進黨以全民調方式進行臺灣地區領導人黨內初選，在15000選民中，蔡英文以1.35%的微弱優勢擊敗蘇貞昌，獲黨內提名角逐臺灣2012“大選”。若樣本實在太偏差，便是以管窺天，見不到全貌。關于美國選舉的兩個例子誰會在1936選舉中獲勝?AlfLondon（蘭登）還是

F.D.R.(羅斯福)?LiteraryDigest(文摘)送出一千萬份問卷(返回二百四十萬份)后,預測London將以57%對43%的比例獲勝，并大力進行宣傳。結果，羅斯福以62%對38%的巨大優勢獲勝，連任總統．《文學摘要》雜志社威信掃地，不久只得關門停刊．在調查史上，樣本容量這么大是少見的，幾乎已經沒有犯錯的可能，何以結果卻偏差如此之大？誰會在1948選舉中獲勝?ThomasDewey（杜威）還是HarryTruman(杜魯門)?Crossley,Gallop(蓋洛普),Roper所有都預測Dewey會贏(每個機構用了5000個問卷).最后一次蓋洛普民意測驗顯示，杜魯門仍然落后杜威5個百分點。共和黨人彈冠相慶認為大局已定，杜威已經開始準備總統就職演說。在大選日當晚，《芝加哥論壇報》搶先印刷了印有“杜威擊敗杜魯門”大標題的號外，向全國發行。

最后，他們都輸了,杜魯門以49.5%比45.1%勝出.杜魯門高興地對新聞界舉起報紙，哈哈大笑，并被拍攝成照片。這張照片至今懸掛在《芝加哥論壇報》的主編辦公室里，每一任《芝加哥論壇報》主編都要看著這張恥辱的記錄而工作。1936年，《文學摘要》雜志社以電話簿上的地址和俱樂部成員名單上的地址發出調查信，而當時美國有私人電話和參加俱樂部的家庭，都是比較富裕的家庭。結果只能看出有錢人的投票傾向較支持共和黨候選人。1948年使用電話訪問來做民意調查，同樣是在富人中抽取的樣本，嚴重偏離了總體（全體美國公民），導致樣本不具有代表性．預測結果為何出錯？調查若與人有關，不容易做：人會改變想法，不見得會與調查者合作，不同群體的人想法差異很大。六、古典概率的基本性質(1)非負性:對任一事件A,有P(A)≥0；(2)規范性:對必然事件,有

P()=1；(3)有限可加性:若事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則推論:對立事件的概率例8（德·梅爾問題）

一顆骰子投4次至少得到一個六點與兩顆骰子投24次至少得到一個雙六，這兩個事件中哪一件有更多的機會遇到？因而解：以A表示一顆骰子投4次至少得到一個六點這一事件，則表示投一顆骰子4次沒有出現六點，故

這個問題在概率論發展史上頗有名氣，因為它是德梅爾向巴斯卡提出的問題之一.正是這些問題導致了巴斯卡的研究和他與費馬的著名通信.他們的研究標志著概率論的誕生.

同理，若以B表示兩顆骰子投24次至少得到一個雙六，則

因而，這兩件事情中，前面一件事情更容易遇到.例9

盒子中有N-1

個黑球與1個白球，每次 隨機取出一個并換進一個黑球，一直持續；

計算第k

次取球時取到黑球(Ak)的概率. 【解】

Ak的對立事件表示“第

k次取時取到的是白球”，它要發生只可能是前

k-1

次都取到黑球而最后一次是白球，因此§4. 幾何概型定義若試驗E具有下列特征：1)無限性：E的樣本空間是某幾何空間中的2)等可能性：每個樣本點的出現是等可能的，則稱E所描述的概率模型為幾何概型，并稱E為幾何概型隨機試驗.一個區域，其包含無窮多個樣本點，每個樣本點由區域內的點的隨機位置所確定.即樣本點落在內幾何度量相同的子區域是等可能的，例如，考慮平面區域其面積記為 在中等可能任意投點.“等可能”的確切含義是：點落于中任意子區域的概率與區域的面積成正比.即：若仍以表示“點落于中”，則存在常數使再利用有注1幾何空間一維二維三維…幾何度量長度面積體積…

對于隨機試驗E，以m(A)表示事件A的幾何度量，為樣本空間.若0<m()<+,則對于任一事件A，其概率為2

那末

兩人會面的充要條件為連.求甲、乙兩人能會面的概率.解甲、乙兩人相約在0到T

這段時間內,在預定地點會面.先到的人等候另一個人,經過時間t(t<T)后離去.設每人在0到T這段時間內各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽例4（會面問題）故所求的概率為若以x,y

表示平面上點的坐標,則有浦豐問題相交的概率.alMx解

設M表示針落下后，針的中心，x表示M與最近一平行線的距離，表示針與這平行線的夾角，則樣本空間：l/21777年,法國科學家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗問題.平面上畫有等距離a(a>0)的一些平行線，向平面任意投一長為l(l<a)的針，試求針與平行線針與一平行線相交設A=“針與一平行線相交”，則0xa/2A蒲豐投針試驗的應用及意義根據頻率的穩定性，當投針試驗次數n很大時，算出針與平行直線相交的次數m,則頻率值即可作為P(A)的近似值代入上式，那么上述方法被稱為MonteCarlo方法.由于現今可通過計算機模擬大量重復試驗，此法如今應用廣泛.歷史上一些學者的計算結果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數投擲次數針長時間試驗者

幾何概型在現代概率概念的發展中曾經起過重大作用。19世紀時，不少人相信，只要找到適當的等可能性描述，就可以給概率問題以唯一的解答，然而有人卻構造出這樣的例子，它包含著幾種似乎都同樣有理卻相互矛盾的答案。下面就是一個著名的例子。貝特朗（Bertrand）奇論

在半徑為1的圓內隨機地取一弦，求其長超過該圓內接等邊三角形的邊長的概率。?1【解法一】

任何弦交圓周兩點，不失一般性，先固定其中一點于圓周上，以此點為頂點作等邊三角形，顯然只有落入此三角形內的弦才滿足要求，這種弦的弧長為整個圓周的，故所求的概率為。?2【解法二】

弦長只跟它與圓心的距離有關，而與方向無關，因此可以假定它垂直于某一直徑，當且僅當它與圓心的距離小于時，其長才大于，因此所求的概率為。?3【解法三】

弦被其中點唯一確定，當且僅當其中點屬于半徑為的同心圓時，弦長才大于

，此小圓面積為大圓面積的，故所求的概率為。

同一問題有三種不同的答案，細究其原因，發現是在取弦時采用了不同的等可能性假定。在第一種解法中，假定端點在圓周上均勻分布，在第二種解法中，假定弦的中點在直徑上均勻分布，而在第三種解法中，又假定弦的中點在圓內均勻分布。這三種答案針對三種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的。

因此在使用術語“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等時，應明確指明其含義，這又因試驗而異。幾何概率的性質(1)非負性:對任一事件A,有P(A)≥0；(2)規范性:對必然事件,有

P()=1；(3)可列可加性:若事件A1,A2,…,兩兩互斥,則古典概型和幾何概型的局限性采用等可能性來定義概率有困難循環定義，自圓其說并沒有對事件的集合進行限制。對于事件，一個很明顯的要求就是所有事件組成的集合對于并、交、余這三種運算封閉。概率論缺乏嚴格的理論基礎§5.概率空間一、走向概率論公理化結構測度論的發展，概率抽象化為測度。19世紀末，數學各分支的公理化潮流定義概率這一基本概念時只指明概率應具有的基本性質，而把具體概率的給定放在一邊，這樣做的好處是能針對不同的隨機試驗給定適當的概率。

即通過規定概率應具備的基本性質來定義概率.1933年，前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義.

柯爾莫哥洛夫提出的公理為數很少且極為簡單，

但在此基礎上建立起了概率論的宏偉大廈.二、事件域

隨機試驗：一個試驗（或觀察），若它的結果預先無法確定，則稱之為隨機試驗，簡稱試驗；

樣本空間：所有試驗的可能結果組成的集合，稱為樣本空間，記作；

樣本點：中的元素稱為樣本點，用表示；

事件：事件A定義為的一個子集，它包含若干樣本點，事件A發生當且僅當A所包含的樣本點中有一個發生。常用大寫字母A、B、C等表示；

集類：由中的若干子集構成的集合稱為集類，用花寫字母?、F等表示；Question

針對哪些事件給出概率？記F為研究的所有事件的全體。F一般不包括所有的事件，即樣本空間的一切子集，因為這將對給定概率帶來困難。F必須把感興趣的事件包含進來。因為事件的交、余、并等也應該為事件，也應該有相應的概率，需要把它們亦包括進來。當然，和必不可少。Definition（σ域）（包含全集）（對逆運算封閉）（對可列并運算封閉）我們把事件的全體記為

F，它是由Ω的某些子集構成的集類，并且還應滿足下面的條件：稱滿足上述條件的集類為σ域，也稱σ代數。Definition1.5.1

若F是由樣本空間

?的一些子集構成的一個σ域,則稱它為事件域（eventfield），F

中的元素稱為事件，?

稱為必然事件，稱為不可能事件。

很顯然，根據定義，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的有限及可列交、并也都在事件域中。例1為一域。例2為一域。例3是由的一切子集構成。這時，是一個有限的集合。共有元素2n

個。為一域。例4為一域。可以驗證對于一般的，若由的一切子集構成。

Remark

事件域可以選得很簡單，也可以選得十分復雜，需要我們根據不同要求選擇適當的事件.命題

給定的一個非空集類，必然存在唯一的一個中的域，滿足：（1）包含，（2）若有其它域包含，則必包含。稱為包含的最小域，或由產生的域。

包含的某些子集，從它的這些最基本子集出發反復進行“最多可列次并、交、補運算(Borel運算)”，不斷添加子集從而得到所需要的σ

代數。或者把包含這些基本子集的全部

σ

代數做交運算。

由一切形為[a,b)的有界左閉右開區間構成的集類所產生的域稱為一維博雷爾域，記為，中的集合稱為一維博雷爾點集。一維博雷爾(Borel)點集

以后，用記數直線或實數全體，用

記

n維歐幾里得（Euclid）空間。博雷爾(Borel)集類若x,y表示任意實數，由于

因此，中包含一切開區間，閉區間，單個實數，可列個實數，以及由它們經可列次并、交運算而得出的集合。這是一個相當大的集合，足夠把實際問題中感興趣的點集都包括在內。

同樣，也是一個相當大的集合，足夠把實際問題中感興趣的點集都包括在內。

n維博雷爾點集由一切

n維矩形產生的

n維博雷爾σ域。三、概率（i）非負性：

概率P

為定義在事件域上的函數，即它是一個從

到的映射：，且它滿足（ii）規范性：（iii）可列可加性