力矩的功 剛體繞定軸轉動的動能定理

第一節ssss4.4力矩作功剛體繞定軸轉動的動能定理力的空間累積效應：

力的功、動能、動能定理．力矩的空間累積效應：

力矩的功、轉動動能、動能定理．

OqdjPrrdtF力

的元功FdWFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqddWMqd力對轉動剛體所作的功用力矩的功來計算若在某變力矩的作用下，剛體由轉到，q12qMM作的總功為dWWq12qMqd二、力矩的功率PWddtwMqddtM一力矩作功

wOviviririrmirmi剛體中任一質元的速率rmirmiviviririw該質元的動能Erik21rmivi221rmiririw22∑對所有質元的動能求和EkErik21rmiriri2w2()∑轉動慣量

JEk21Jw2得剛體轉動動能公式三、轉動動能

回憶質點的動能定理mW21v21mv202剛體轉動的動能定理？由

力矩的元功dWqdM轉動定律aJM0則WdWqdMqqw0wJwwd2121202JwJw合外力矩的功轉動動能的增量剛體轉動的動能定理稱為四、剛體繞定軸轉動的動能定理dWJqdJwdtdqdJqdtdwdJwwda含平動的轉動問題五、含的功能原理質點平動剛體定軸轉動+rE機械W外力W非保守內力力矩力矩(E動+)E勢(E動+)E勢00()E平動+E轉動()E+E00平動轉動系統（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦W外力力矩0,W非保守內力矩力0E平動E轉動E勢,,,E0平動E0轉動E勢0,,J++m1v212ghm121w200gm1h0可求a,v,a,w或()hh0此外RmJ212,av22()hh0,vwRaaR,00勢ghhv00vawaOm1m1mR2/4/20236例1

留聲機的轉盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率

作勻速轉動．放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉盤一起轉動．設唱片的半徑為R，質量為m，它與轉盤間的摩擦系數為

，求：(1)唱片與轉盤間的摩擦力矩；(2)唱片達到角速度

時需要多長時間；(3)在這段時間內，轉盤的驅動力矩做了多少功？Ro解(1)

如圖取面積元ds

=

drdl，該面元所受的摩擦力為此力對點o的力矩為rdrdl于是，在寬為dr的圓環上，唱片所受的摩擦力矩為Rrdrdlo

(3)

由

可得在0

到t的時間內，轉過的角度為

(2)

由轉動定律求

，(唱片J=mR2/2)（作勻加速轉動）驅動力矩做的功為由

可求得例2

一長為l

,質量為m

的竿可繞支點O自由轉動．一質量為m’、速率為v

的子彈射入竿內距支點為a

處，使竿的偏轉角為30o

.問子彈的初速率為多少?解子彈、竿組成一系統，應用角動量守恒射入竿后，以子彈、細桿和地球為系統，E=常量．END

作業第144頁4-304-314-36第四章剛體的轉動2/4/202314一、剛體定軸轉動的運動學二、力矩的瞬時作用規律----轉動定律角位移

角坐標角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.

1、力矩M的概念.上式中,是力的作用點相對于轉軸的位矢角加速度2/4/202315

3、轉動定理.

2、轉動慣量.轉動慣量是表征剛體轉動慣性大小的物理量,它定義為剛體的轉動慣量與以下三個因素有關：iii）與轉軸的位置有關．i）與剛體的體密度

有關．ii）與剛體的幾何形狀及體密度

的分布有關．平行軸定理:CO2/4/202316三、力矩的時間累積作用

2、角動量定理.

1、角動量.質點的角動量剛體定軸轉動的角動量微分形式沖量矩積分形式沖量矩、角動量、角動量定理．2/4/202317

3、角動量守恒定律.若作用于物體的合外力矩,則角動量守恒:對質點有:對剛體有:三、力矩的空間累積作用

1、力矩作功.在定軸轉動的情況下,若剛體受到的力矩為M,角位移為dq,則M作的元功為若剛體轉過q角,M作功為力矩的功、轉動動能、動能定理．2/4/202318

3、轉動動能定理.

2、轉動動能.轉動動能是剛體作定軸轉動時的動能J和w分別是剛體的轉動慣量和角速度合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量2/4/202319

4、剛體系統的功能原理.對于包含有剛體轉動的系統,機械能守恒定律仍然成立+rE機械W外力W非保守內力力矩力矩(E動+)E勢(E動+)E勢00()E平動+E轉動()E+E00平動轉動

5、剛體系統的機械能定恒.+0W外力W非保守內力力矩力矩2/4/202320復習提要

（1）考試重點：質點在平面內運動及剛體繞定軸轉動時的角動量守恒定律。剛體定軸轉動時動能定理和機械能守恒定律的應用（2）課后P-143:1-5選擇題；

（3）課后布置的習題2/4/202321

1

一飛輪半徑為0.2m、轉速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經30s

停止轉動．試求：(1)角加速度和在此時間內飛輪所轉的圈數；(2)制動開始后t=6s

時飛輪的角速度；(3)t

=6s

時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度．22飛輪30s

內轉過的角度解（1）

t=30s

時，設，飛輪作勻減速運動時，

t=0s

轉過的圈數23（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該點的切向加速度和法向加速度24

2一質量為m、長為L的均勻細棒，可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉動，已知細棒與桌面的摩擦因素為,求棒轉動時受到的摩擦力矩的大小．xodxx25解xodxx26

3

如圖：一定滑輪兩端分別懸掛質量都是m的物塊A和B，圖中R和r，已知滑輪的轉動慣量為J，求A、B兩物體的加速度及滑輪的角加速度．解rRβFT1FT2mgmgAB27解得28

5

一輕繩繞在有水平軸的定滑輪上，滑輪質量為m，繩下端掛一物體，物體所受重力為G,滑輪的角加速度為β1，若將物體去掉而以與G相等的力直接向下拉繩子，滑輪的角加速度β2

將(A)

不變(B)

變小(C)

變大(D)

無法判斷Gβ1β2RR29解選（C）Gβ1β2FT’GFTRR30

6

輕繩一端系著質量為m的質點，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔O用力拉著，質點原來以等速率作半徑為r的圓周運動，問當拉動繩子向正下方移動到半徑為r/2