山西省忻州市原平南坡中學分校中學2021-2022學年高三數學文模擬試卷含解析

山西省忻州市原平南坡中學分校中學2021-2022學年高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.《九章算術》中將底面為長方形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”現有一陽馬，其正視圖和側視圖是如圖所示的直角三角形.若該陽馬的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（

）A. B.6π C.9π D.24π參考答案：B【分析】由題意，為球的直徑，求出，可得球的半徑，即可求出球的表面積．【詳解】如圖所示，該幾何體為四棱錐．底面為矩形，其中底面．，，．則該陽馬的外接球的直徑為．該陽馬的外接球的表面積為：．故選：．【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖、長方體的性質、球的表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.已知滿足不等式組,則目標函數的最大值為A.4

B.6

C.8

D.10參考答案：B3.函數y=的定義域是（

）A．（3，+∞）

B．3,+∞)

C．(4,+∞)

D．4,+∞)參考答案：D4.函數，對任意，總有，則（

）

A．0

B．2

C．

D．28參考答案：C略5.在實數集中定義一種運算“”，對任意，為唯一確定的實數，且具有性質：（1）對任意，；（2）對任意，.則函數的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分（十分制）如圖所示，假設得分的中位數為me，眾數為m0，平均值為，則（）A．me=m0= B．me=m0＜ C．me＜m0＜ D．m0＜me＜參考答案：D【考點】眾數、中位數、平均數．【分析】根據題意，由統計圖依次計算數據的中位數、眾數、平均數，比較即可得答案．【解答】解：根據題意，由題目所給的統計圖可知：30個得分中，按大小排序，中間的兩個得分為5、6，故中位數me=5.5，得分為5的最多，故眾數m0=5，其平均數=≈5.97；則有m0＜me＜，故選：D．7.函數的最小正周期為 A． B．

C．

D．【解析】，所以周期為，選C.參考答案：，所以周期為，選C.【答案】C8.已知全集，那么集合（）A．

B．

C．D．參考答案：B略9.已知函數在R上單調遞增，設，若有＞，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.下列函數與相等的是A．

B．

C． D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，a=3，b=，∠A=，則∠B=

．參考答案：

12.若函數，（a＞0且a≠1）的值域為R，則實數a的取值范圍是

．參考答案：（0，1）∪（1，4]考點：對數函數的值域與最值．專題：計算題．分析：函數，（a＞0且a≠1）的值域為R，則其真數在實數集上恒為正，將這一關系轉化為不等式求解參數的范圍即可．解答： 解：函數，（a＞0且a≠1）的值域為R，其真數在實數集上恒為正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故實數a的取值范圍是（0，1）∪（1，4]故應填（0，1）∪（1，4]點評：考查存在性問題的轉化，請讀者與恒成立問題作比較，找出二者邏輯關系上的不同．13.已知平面向量,若,則x=________.參考答案：【分析】由向量垂直的充分必要條件可得：，據此確定x的值即可.【詳解】由向量垂直的充分必要條件可得：，解得：.故答案：．【點睛】本題主要考查向量平行的充分必要條件及其應用，屬于基礎題.14.調查某高中1000名學生的視力情況，得下表：ks5u

近視度數小于300度近視度數300度-500度近視度數500度及以上女生（人）243男生（人）150167已知從這批學生中隨機抽取1名學生，抽到女生近視度數小于300度的概率為0.2?，F用分層抽樣的方法，從這批學生中隨機抽取50名，則應在近視度數500度及以上學生中抽

名參考答案：12略15.若行列式中，元素4的代數余子式大于0，則x滿足的條件是________________________.

參考答案：解析：依題意，得：(-1)2×(9x-24)＞0，解得：16.若（i是虛數單位）是實數，則實數a的值是_________參考答案：略17.若實數x、y滿足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），則2x+y的最小值為．參考答案：9【考點】基本不等式在最值問題中的應用；對數的運算性質．【專題】計算題；函數思想；轉化思想；函數的性質及應用；不等式的解法及應用．【分析】求出x，y的關系式，然后利用基本不等式求解函數的最值即可．【解答】解：實數x、y滿足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），可得xy=x+2y，可得，2x+y=（2x+y）=1+4+≥=9，當且僅當x=y=3時，取得最小值．故答案為：9．【點評】本題考查對數運算法則以及基本不等式的應用，考查計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分分）已知曲線的參數方程為（為參數），在同一平面直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線．（1）求曲線的普通方程；（2）若點在曲線上，點，當點在曲線上運動時，求中點的軌跡方程．參考答案：（1）將代入，得的參數方程為∴曲線的普通方程為．

………5分（2）設，，又，且中點為所以有：又點在曲線上，∴代入的普通方程得∴動點的軌跡方程為．

………10分19.已知拋物線，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于坐標軸的直線，它們分別交拋物線于點、和點、，線段、的中點分別為、.（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；（Ⅱ）求面積的最小值；（Ⅲ）過、的直線是否過定點?若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直線恒過定點.

試題解析：（Ⅰ）由題設條件得焦點坐標為，設直線的方程為,.聯立，得..設，，則，，∴.（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知直線的斜率為：，所以直線的方程為:,即，（*）當，時方程（*）對任意的均成立，即直線過點.當時，直線的方程為：，也過點.所以直線恒過定點.……12分考點：求軌跡方程，直線與拋物線相交的綜合問題．20.(本小題滿分12分)已知數列的前項和．(1)求數列｛｝的通項公式；(2)求數列的前項和．參考答案：解（1）依題意得…+①當時得…+②由①、②兩式得當時，………5分

而當時，也成立，故………6分

（2）由（1）得………9分

則…+．………12分

略21.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）當時，與相交于兩點，求的最小值.參考答案：（1）∵，∴.∴.∴，∴曲線的直角坐標方程為.（2）由（1）可知圓心坐標為，半徑為2，直線過點，∴，∴時，的最小值為.22.對于數列{an}，若an+2﹣an=d（d是與n無關的常數，n∈N*），則稱數列{an}叫做“弱等差數列”，已知數列{an}滿足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b對于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常數）．（1）求證：數列{an}是“弱等差數列”，并求出數列{an}的通項公式；（2）當t=1，s=3時，若數列{an}是等差數列，求出a、b的值，并求出{an}的前n項和Sn；（3）若s＞t，且數列{an}是單調遞增數列，求a的取值范圍．參考答案：【考點】數列的求和．【專題】證明題；新定義；轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；點列、遞歸數列與數學歸納法．【分析】（1）由已知得an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，由此能證明數列{an}是“弱等差數列”．由a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，得到{an}中奇數項是以t為首項，以a為公差的等差數列，偶數列是以s為首項，以a為公差的等差數列，由此能求出數列{an}的通項公式．（2）由遞推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差數列性質能求出a=4，b=0，從而得到數列{an}是首項為2，公差為2的等差數列，由此能求了Sn．（3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由經能求出a的取值范圍．【解答】證明：（1）∵數列{an}滿足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b對于n∈N*恒成立，∴an+1=an+b﹣an，an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，∴an+2﹣an=a，∴數列{an}是“弱等差數列”．∵a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，∴{an}中奇數項是以t為首項，以a為公差的等差數列，偶數列是以s為首項，以a為公差的等差數列，∴an=．解：（2）∵當t=1，s=3時，數列{an}是等差數列，∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3