高中數學北師大版第一章立體幾何初步 全國一等獎

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．若m、n表示直線，α表示平面，則下列推理中，正確的個數為()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,m⊥α))?n⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n⊥α))?m∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n∥α))?m⊥n;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α,m⊥n))?n⊥α.A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③正確，④中n與面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．答案：C2．已知直線a、b與平面α、β、γ，能使α⊥β的條件是()A．a⊥β，β⊥γ，a?γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?βC．a∥β，α∥a D．a∥α，a⊥β解析：因為a∥α，所以過a作一平面γ∩α＝c，則a∥c，因為a⊥β，所以c⊥β，又c?α，所以α⊥β.答案：D3．PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任一點，則下列關系不正確的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正確；又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正確．答案：C4．四棱錐P－ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四邊形ABCD是正方形，E是PD的中點，則AE與PC的關系是()A．垂直 B．相交C．平行 D．相交或平行解析：∵PA＝AD，E為PD的中點，∴AE⊥PD又PA⊥面ABCD.∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD.∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AE.又∵CD∩PD＝D，∴AE⊥面PCD.∴AE⊥PC.故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．直線a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個不同平面內，使a∥b成立的條件是________________．(只填序號即可)①a和b垂直于正方體的同一個面②a和b在正方體兩個相對的面內，且共面③a和b平行于同一條棱④a和b在正方體的兩個面內，且與正方體的同一條棱垂直解析：①為直線與平面垂直的性質定理的應用，②為面面平行的性質，③為公理4的應用．答案：①②③6．已知直線PG⊥平面α于G，直線EFα，且PF⊥EF于F，那么線段PE，PF，PG的大小關系是________．解析：由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PF＜PE，∴有PG＜PF＜PE.答案：PG＜PF＜PE三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E、F分別在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求證：EF∥BD1.證明：如圖所示，連接AB1、B1C、BD、B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理可證BD1⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.8．斜邊為AB的直角三角形ABC，過點A作PA⊥平面⊥PB，AF⊥PC，E、F分別為垂足，如圖．(1)求證：EF⊥PB；(2)若直線l⊥平面AEF，求證：PB∥l.證明：(1)∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵△ABC為直角三角形，∴BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又PB平面PBC，∴AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，∴PB∥l.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值．解析：取AA1的中點M，連接EM，BM，因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD.又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角．設正方體的棱長為2，則EM＝AD＝