宋懷波第11講：圖像變換

第1頁第3章圖像變換第3章圖像變換

3.1 背景 3.2 傅立（里）葉變換和頻率域

3.3 離散余弦變換 3.4沃爾什變換

3.5小波變換第2頁第3章圖像變換第3.5章小波與小波變換目錄3.5.1小波介紹3.5.1.1小波簡史3.5.1.2小波概念3.5.1.3小波分析3.5.1.4小波定義3.5.2哈爾函數(shù)3.5.2.1哈爾基函數(shù)3.5.2.2哈爾小波函數(shù)3.5.2.3函數(shù)的規(guī)范化3.5.2.4哈爾基的結(jié)構(gòu)3.5.3哈爾小波變換3.5.4規(guī)范化算法3.5.5二維哈爾小波變換3.5.5.1二維小波變換舉例3.5.5.2二維小波變換方法第3頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹小波(wavelet)是什么在有限時間范圍內(nèi)變化且其平均值為零的數(shù)學(xué)函數(shù)具有有限的持續(xù)時間和突變的頻率和振幅在有限的時間范圍內(nèi)，它的平均值等于零第4頁第3章圖像變換持續(xù)寬度相同振蕩波波與小波的差異：第5頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)1)部分小波許多數(shù)縮放函數(shù)和小波函數(shù)以開發(fā)者的名字命名，例如：Moret小波函數(shù)是Grossmann和Morlet在1984年開發(fā)的db6縮放函數(shù)和db6小波函數(shù)是Daubechies開發(fā)的圖3.5-1部分小波第6頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)2)1807:JosephFourier

傅立葉理論指出，一個信號可表示成一系列正弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開式小波簡史小波變換(wavelettransform)是什么老課題：函數(shù)的表示方法新方法：Fourier－Haar－wavelettransform第7頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)3)只有頻率分辨率而沒有時間分辨率；可確定信號中包含哪些頻率的信號，但不能確定具有這些頻率的信號出現(xiàn)在什么時候FFT的缺點第8頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)4)1909:AlfredHaar發(fā)現(xiàn)并使用了小波，后來被命名為哈爾小波第9頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)6)1980：Morlet20世紀(jì)70年代，法國地球物理學(xué)家Morlet提出小波變換的概念。

20世紀(jì)80年代,開發(fā)了連續(xù)小波變換1986：Y.Meyer法國科學(xué)家Y.Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，用于分析函數(shù)用縮放與平移均為2j(j≥0的整數(shù))的倍數(shù)構(gòu)造了L2(R)空間的規(guī)范正交基，使小波分析得到發(fā)展第10頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)7)1988：Mallat算法Mallat提出多分辨率概念，并提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，稱為Mallat算法其地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位第11頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)8)小波理論與工程應(yīng)用Daubechies最先揭示了小波變換和濾波器組間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實Coifman和Wickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻自從Mallat和Daubechies發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關(guān)系后，小波分析在信號處理中得到極其廣泛的應(yīng)用第12頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析小波分析/小波變換目的：獲得時間和頻率域之間的相互關(guān)系小波變換通過平移母小波獲得信號的時間信息通過縮放母小波的尺度獲得信號的頻率特性第13頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)1)連續(xù)小波變換傅立葉分析用一系列不同頻率的正弦波表示一個信號一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)小波分析用母小波通過移位和縮放后得到的一系列小波表示一個信號一系列小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)凡能用傅立葉分析的函數(shù)都可用小波分析小波變換可理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列函數(shù)代替傅立葉變換用的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號比用平滑的正弦波更有效，或者說對信號的基本特性描述得更好第14頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)2)CWT的變換過程示例，可分如下5步小波ψ(t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較計算系數(shù)C——該部分信號與小波的近似程度；C值越高表示信號與小波相似程度越高小波右移k得到的小波函數(shù)為ψ(t-k)

，然后重復(fù)步驟1和2，……直到信號結(jié)束擴展小波，如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為ψ(t/2)

重復(fù)步驟1~4圖3.5-3連續(xù)小波變換的過程第15頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)2)小波變換的粗略解釋第16頁第3章圖像變換尺度a較大距離遠視野寬概貌觀察尺度a較小距離近視野窄細節(jié)觀察分析頻率低分析頻率高由粗到精多分辨分析行方向列方向第18頁第3章圖像變換小波變換的多分辨分析特性：不同a值下小波分析區(qū)間的變化不同a值下分析小波頻率范圍的變化第19頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù))連續(xù)小波變換用下式表示該式含義：信號f(t)與被縮放和平移的小波函數(shù)Ψ之積在信號存在的整個期間里求和CWT變換的結(jié)果是許多小波系數(shù)C

，這些系數(shù)是縮放因子和位置的函數(shù)離散小波變換類似連續(xù)小波變換第20頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù))執(zhí)行DWT的有效方法用Mallat開發(fā)的濾波器，稱為Mallat算法DWT的概念見圖3.5-6。S表示輸入信號；通過兩個互補的濾波器產(chǎn)生A和D兩個信號圖3.5-6雙通道濾波過程A表示信號的近似值，大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的低頻分量D表示信號的細節(jié)值，小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的高頻分量第21頁第3章圖像變換圖像小波變換的正變換正變換依據(jù)二維小波變換按如下方式擴展，在變換的每一層次，圖像都被分解為4個四分之一大小的圖像。小波分解第23頁第3章圖像變換小波變換(a)原始圖像(b)1/4分辨率圖像(c)1/16分辨率圖像(d)1/64分辨率圖像圖3.5-26使用小波分解產(chǎn)生多種分辨率圖像第24頁第3章圖像變換小波變換(