第十二章數項級數

級

數

與

多

元

微

積

分

SeriesandCalculousinSeveralVariables授課教師：胡鵬彥授課對象：05本科第十二章數項級數§1級數的收斂性§2正項級數§3一般項級數§1級數的收斂性定義給定一個數列{un},對它的各項依次用“”號連接起來的表達式(1)稱為數項級數或無窮級數(也簡稱級數),其中un稱為數項級數(1)的通項.數項級數(1)常記作:或簡單寫作§1級數的收斂性數項級數(1)的前n項之和記為(2)稱它為數項級數(1)的第n個部分和,也簡稱為部分和.§1級數的收斂性定義若數項級數(1)的部分和數列{Sn}收斂于S,即則稱數項級數(1)收斂,稱S為數項級數(1)的和,記作或若{Sn}是發散數列,則稱數項級數(1)發散.§1級數的收斂性例1討論等比級數(也稱為幾何級數)的斂散性(a0).例2討論數項級數的斂散性.§1級數的收斂性級數與數列斂散性的聯系:級數斂散性與其部分和數列的斂散性是相同的,一個級數對應一個部分和數列,同時一個數列可以作為某個級數的部分和數列.§1級數的收斂性數列收斂的柯西(Cauchy)準則要條件是:任給正數

,總存在正整數N,使得當mN以及任意的正整數

p,都有數列{an}收斂的充§1級數的收斂性定理12.1(級數收斂的柯西準則)要條件是:任給正數

,總存在正整數N,使得當mN以及任意的正整數

p,都有推論若級數(1)收斂,則級數(1)收斂的充§1級數的收斂性正整數N,存在m0

N以及正整數

p0,有級數(1)發散的充要條件是:存在正數0

,對任何§1級數的收斂性例3討論調和級數的斂散性.例4應用級數收斂的柯西準則證明級數收斂.§1級數的收斂性定理12.2若級數un與vn都收斂,則對任意常數c,d,級數cundun也收斂,且定理12.3去掉、增加或改變級數的有限個項并不改變級數的斂散性.定理12.4在收斂級數的項中任意加括號,既不改變級數的收斂性,也不改變它的和.§1級數的收斂性若級數un收斂,其和為S,則級數第n個余項(或簡稱余項),它表示以部分和Sn代(8)也收斂,且其和Rn

S

Sn.(8)式稱為級數un的替S時所產生的誤差.§2正項級數定理12.5正項級數un收斂的充要條件是:部分和數列{Sn}有界,即存在某正數M,對一切正整數n有SnM.一正項級數收斂性的一般判別原則若數項級數各項的符號都相同,則稱它為同號級數.由正數項組成的級數稱為正項級數.§2正項級數例1考察的收斂性.定理12.6(比較原則)設un和vn是兩個正項級數,若存在某正數N,對一切nN都有則(i)若級數vn收斂,則級數un也收斂;(ii)若級數un發散,則級數vn也發散.(1)§2正項級數推論則設(i)當0

l

時,級數(3)與(4)斂散性相同;(ii)當l

0且級數(4)收斂時,級數(3)也收斂;(iii)當l且級數(4)發散時,級數(3)也發散.(3)(4)是兩個正項級數,若(5)§2正項級數例2例3考察的收斂性.考察的收斂性.§2正項級數定理12.7(達朗貝爾(D’Alembert)判別法或比式判別法)設un為正項級數,且存在某正數N0及常數q

0

q

1(i)若對一切n

N0,成立不等式則級數un收斂.(ii)若對一切n

N0,成立不等式二比式判別法和根式判別法則級數un發散.(7)(8)§2正項級數推論1(比式判別法的極限形式)則若un為正項級數,且(i)當q

1時,級數un收斂;(ii)當q

1或

q

時,級數un發散.(9)比式判別法的極限形式在

q

1時是失效的.§2正項級數例4討論級數

例5的斂散性.討論級數nxn1x0的斂散性.§2正項級數定理12.8(柯西(Cauchy)判別法或根式判別法)設un為正項級數,且存在某正數

N0及正常數

l,(i)若對一切n

N0,成立不等式則級數un收斂.(ii)若對一切n

N0,成立不等式則級數un發散.(11)(12)§2正項級數推論1(根式判別法的極限形式)若un為正項級數,且則(i)當l

1時,級數un收斂;(ii)當l

1時,級數un發散.例7研究級數的斂散性.根式判別法的極限形式在

l

1時是失效的.(13)§2正項級數根式判別法與比式判別法的關系凡能用比式判別法鑒別斂散性的級數,也能用根式判別法來判斷,而且根式判別法較之比式判別法更有效.§2正項級數定理12.9設f為[1,)上非負減函數,那么正項級數三積分判別法同時收斂或同時發散.f(n)與反常積分例9討論p級數的斂散性.例10討論下列級數的斂散性.§2正項級數定理12.10(拉貝(Baabe)判別法存在某正數

N0及常數

r,(i)若對一切n

N0,成立不等式則級數un收斂.(ii)若對一切n

N0,成立不等式則級數un發散.四拉貝判別法設un為正項級數,且§2正項級數推論(拉貝判別法的極限形式)若un為正項級數,且存在,則(i)當r

1時,級數un收斂;(ii)當r

1時,級數un發散.拉貝判別法的極限形式在

r

1時是失效的.§3一般項級數若級數的各項符號正負相間,即則稱(1)為交錯級數.一交錯級數定理12.11(萊布尼茨判別法)若交錯級數(1)滿足:則級數(1)收斂.(i)數列{un}單調遞減;(1)(ii)§3一般項級數推論若級數(1)滿足萊布尼茨判別法的條件,則收斂級數(1)的余項估計式為§3一般項級數若級數各項絕對值所組成的級數二絕對收斂級數及其性質(5)(6)收斂,則稱原級數(5)為絕對收斂.定理12.12絕對收斂的級數一定收斂.考察絕對收斂級數可用正項級數斂散性判別法.§3一般項級數的斂散性.若級數(5)收斂,但級數(6)不收斂,則稱例1考察級數級數(5)為條件收斂.§3一般項級數1.級數的重排稱為正整數列的重排,數列{un}按映射把正整數列到它自身的一一映射所得的數列{ukn}稱為數列的重排.即把級數寫成(7)為級數(5)的重排.記而稱級數絕對收斂級數的性質:§3一般項級數定理12.13設級數(5)絕對收斂,且其和等于S,則任意重排后所得的級數(7)也絕對收斂,且有相同的和數.注:由條件收斂級數重排得到的級數不一定收斂,即使收斂,也不一定收斂于原來的級數的和.§3一般項級數設有收斂級數2.級數的乘積(11)(12)(13)§3一般項級數可用正方形順序或對角線順序依次相加得到級數.(14)§3一般項級數(15)§3一般項級數定理12.14(柯西定理)若級數(11)和(12)都絕對收斂,則對(13)中所有乘積uivj按任意順序排列所得的級數wn也絕對收斂,且其和等于AB.§3一般項級數引理(分部求和公式,也稱阿貝耳變換)設i,vi(i1,三阿貝耳判別法和狄利克雷判別法2,,n)為兩組實數,若令則有如下分部求和公式成立(18)§3一般項級數推論(阿貝耳引理)若(i)1,2,,n是單調數組;(ii)對任一正整數k

1

k

n有|k

|

A這里(19)則記時,有k

v1vn,§3一般項級數定理12.15(阿貝耳判別法)若{an}為單調有界數列,級數bn