第八章無窮級數習題課

第八章無窮級數習題課常數項級數

一、定義及性質

2．斂散性定義

3．性質

必要性:

線性運算性質:

則級數收斂，否則級數發散。

設級數為常數

則

設，如果存在，

級數收斂

1．常數項級數

4．常數項級數類型

正項級數交錯級數任意項級數常數項級數

二、判別常數項級數收斂的解題方法

若成立，則需作進一步的判別。

判別常數項級數

的斂散性，應先考察是否有

成立。若不成立，則可判定級數發散；此時可將常數項級數分為兩大類，即正項級數與任意項級數。

對于正項級數，可優先考慮應用比值法或根值法。若此二方法失效，則可利用比較法（或定義）作進一步判別；

若不收斂，但級數是交錯級數，可考慮應用萊布尼茲判別法，若能判別級數收斂，則原級數條件收斂；

對于一般的任意項級數，則可考慮利用利用級數收斂定義、性質等判別。

解題方法流程圖如下圖所示。對于任意項級數，一般應先考慮正項級數是否收斂。若收斂，則可判定原級數收斂，且為絕對收斂；

解題方法流程圖

Yes判斷的斂散性比值法根值法比較法

找正項收斂級數找正項發散級數用其它方法證明No

萊布尼茲判別法

YesNoNoNoYesNoYesNoYes為正項級數為任意項級數發散收斂收斂發散條件收斂絕對收斂為交錯級數收斂且

三、典型例題

，由定義

所以原級數收斂，且和為1。【例1】判別級數的收斂性，并求級數的和。分析：此級數為正項級數，由于因此可利用定義求。解：由于由級數收斂的必要條件，原級數發散。【例2】判別級數的收斂性。分析：此級數為正項級數，因為分別求分子、分母的極限不為0，由級數收斂的必要條件，原級數發散。解：因為而故由比較審斂法的極限形式，原級數收斂。

【例3】判別級數的收斂性。分析：此級數為正項級數，根據的形式，可用比較審斂法，也可采用比值審斂法。解法1：此級數為正項級數，而級數為等比級數收斂，

解法2：由比值審斂法故由比值審斂法知原級數收斂。,由于

故轉到應用比較判別法。由于

【例4】判別級數的收斂性。而不存在，所以不存在。

分析：此級數為正項級數，設

而級數收斂，從而級數收斂；或將拆成兩個級數，分別判定級數的收斂性。同理極限也不存在，即不能應用比值和根值判別法，,由于

解法1：設而由比值法

易知級數收斂,故由級數的比較判別法知，級數收斂。解法2：因為所以，分別考慮和的斂散性。對于由比值法

知收斂，所以，絕對收斂；同理得收斂，可知原級數收斂。

收斂，故由比較審斂法，原級數收斂。【例5】判別級數的收斂性。分析：此級數為正項級數,由的形式，利用比值法和根值法均不合適，由于,可采用比較法。

解：此級數為正項級數，令注：應用比較法判斷一個正項級數的斂散性，最關鍵問題是熟練掌握一批已知正項級數的斂散性（如幾何級數，

級數等），然后根據的特點，進行有針對性的放縮。【例6】判別級數的收斂性。分析：此級數為正項級數，，由于中含有，可用比值審斂法。

解：令

所以，原級數發散。

由比值審斂法，當時，原級數收斂；

當時，原級數發散。

當時，比值審斂法失效，注意到注：在級數一般項中，若含有形如的因子時，

適于使用比值審斂法。

故由根值審斂法，原級數收斂。【例7】判斷級數的斂散性.

分析：此級數為正項級數

,由于中解：此級數為正項級數，

注：在級數一般項

中,若含有次方時,適于使用根值審斂法。含有次方，可用根值審斂法。【例8】判斷級數收斂？如果收斂，是條件收斂還是絕對收斂？

分析：本題中，為交錯級數，可采用萊布尼茲定理判別法。解：此級數為交錯級數，因為

,而發散,原級數非絕對收斂.

因為

為交錯級數,由萊布尼玆定理由比較審斂法知發散所以此交錯級數收斂，故原級數是條件收斂。所以在上單增，即單減，故當時，單減，令即原級數非絕對收斂。

【例9】*判別級數的斂散性。分析：本題中，為交錯級數，可采用萊布尼茲定理判別法。

解：先考慮級數的斂散性。

由于當時，

而級數發散，故級數發散，

即原級數為交錯級數，故應用萊布尼茲判別法判別。

從而原級數條件收斂。

注：在運用萊布尼玆定理判別時，可引入函數，利用函數的導數，判別單調性。因為,其中所以在內單調遞減，得于是由萊布尼茲判別法可得級數收斂，

令證明：設級數

和的部分和分別為和則【例10】若

,級數收斂,證明級數收斂.沒有具體表達式，只能將

看成任意項級數,所以，考慮級數收斂定義。分析：因為題設給出了級數收斂,但即

由于級數收斂,

所以存在,所以要根據級數收斂的定義知收斂.證明存在，只需要證明

存在即可.根據題中的條件，所以，因此第八章無窮級數習題課函數項級數一、冪級數

1．冪級數的基本概念(1)

冪級數的定義：(2)收斂半徑：

(3)冪級數的和函數：

或收斂區間：

存在正數

當冪級數收斂，當冪級數發散，稱為冪級數的收斂半徑。

收斂域：收斂點的全體

2．冪級數和函數的性質

（1）連續性：

（2）可導性：

（3）可積性：

3．冪級數的收斂半徑、收斂區間（收斂域）的求法求冪級數的收斂域，通常有三種基本類型，即型、

型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數型。

對于型，通過求，得半徑，

然后討論處的斂散性，從而得收斂域；對于缺冪型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論處的斂散性，從而得收斂域。解題方法流程圖如下。對于型，令,化為型,可得收斂域；解題方法流程圖

求冪級數收斂域

判別冪級數類型收斂域收斂域

令

討論處的斂散性，，其它討論處的斂散性

當時收斂當時發散

用比值法令

1234．冪級數和函數的求法求冪級數的和函數，最常用的方法是首先對給定的冪級數進行恒等變形，然后采用“先求導后積分”或“先積分后求導”等技巧，并利用與形如（或等）冪級數的和函數，求出其和函數。解題方法流程圖如下圖所示。

求的和函數令NoYesYesNo能直接求出和函數恒等變換直接求和逐項積分逐項求導逐項求導逐項積分Yes能直接求出和函數NoYesNo能直接求出和函數解題方法流程圖5．典型例題【例1】求冪級數的收斂半徑及收斂域。解：

當時，級數為，該級數收斂。當時，級數為，該級數收斂。故此冪級數的收斂域為。

【例2】求冪級數的收斂域。解：令，原級數變為

所以，即時，冪級數收斂。當時，級數為，為交錯級數收斂，

當時，級數為，為P-級數發散，故此冪級數的收斂域為。【例3】求冪級數的收斂域。解：缺少偶次冪的項，由比值審斂法當，即時，級數收斂。當，即時，級數發散。當時，級數為，為交錯級數收斂。當時，級數為，為交錯級數收斂。故此冪級數的收斂域為。

【例4】求冪級數的和函數，并求的和。

解：記

求導得

積分得

令，則

【例5】*求冪級數在收斂區間內的和函數。分析：由于冪級數，通過比較級數和

的一般項，不難發現，，而

，所以應用給定的冪級數先積分，后求導，

就可以利用進行計算。

解：令

對冪級數在區間內逐項積分，得：其中，。

再應用逐項積分的方法得：對求導得

所以

對求導得

即

注：本題利用“先導后積”的方法求和函數，數項級數求和可通過冪級數和函數求得。二、函數的泰勒級數1．泰勒級數定義：稱為在點的泰勒級數。

2．麥克勞林級數定義：稱為的麥克勞林級數。3．將函數展開成泰勒級數(冪級數)直接展開法：直接展開法是通過函數求在給定點的各階導數，寫出泰勒展開式。

間接展開法：間接展開法通常要先對函數進行恒等變形，然后利用已知展式（如函數，的展開式等）或利用和函數的性質（求導數或積分），將函數展開成冪級數。解題方法流程圖如下圖所示。

求的冪級數展開式關于的冪級數對求導對積分令將展成的冪級數求直接展開法間接展開式對進行恒等變形能利用已知展開式令令寫出的展開式Yes關于的冪級數NoNo解題方法流程圖4．典型例題【例6】將函數