初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)上冊(cè)第4章　相似三角形4．4　兩個(gè)三角形相似的判定 精品

兩個(gè)三角形相似的判定(一)1．如圖，在△ABC中，DE∥BC.若eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，DE＝4，則BC＝(D)(第1題)A.9B.10C.11D.122．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形(C)A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.一定全等3．如圖，在?ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F.如果eq\f(EC,BE)＝eq\f(2,3)，那么eq\f(BF,FD)的值為(B)A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,3)(第3題)(第4題)4．如圖，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，則BC的長(zhǎng)為(C)A.eq\f(15,4)B.7C.eq\f(15,2)D.eq\f(24,5)5．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，直線DF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，作BP∥DF，與AD交于點(diǎn)P，請(qǐng)從圖中找出一組相似的三角形：△ABP∽△AED(答案不唯一)．(第5題)6．如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2eq\r(2)，AB＝3，則BD＝__eq\f(8,3)__．(第6題)7．如圖，在△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長(zhǎng)為4__eq\r(2)．(第7題)8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD與BE交于點(diǎn)F.求證：△AFE∽△BCE.(第8題)【解】∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAE＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠FAE＝∠CBE.又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，∴△AFE∽△BCE.9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，AD，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，顯然△EAB∽△ECD，在不添輔助線的情況下，請(qǐng)你再找出一對(duì)相似三角形，并加以證明．(第9題)【解】結(jié)論：△AEC∽△ACD.證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠ADC＋∠ACB＝180°.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ACE＝∠ADC.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△ACD.10．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，EF交AC于點(diǎn)G，則AG∶GC的值為(B)A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶3(第10題)【解】如解圖，連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O.(第10題解)∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥DB，且EF＝eq\f(1,2)DB，∴△AEF∽△ADB，△AEG∽△ADO，∴eq\f(AG,AO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(EF,DB)＝eq\f(1,2).∴G為AO的中點(diǎn)．∴AG＝GO.又∵OA＝OC，∴AG∶GC＝1∶3.11．已知在?ABCD中，點(diǎn)E在直線AD上，AE＝eq\f(1,3)AD，連結(jié)CE交BD于點(diǎn)F，則EF∶CF的值是eq\f(2,3)或eq\f(4,3)．【解】當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，如解圖①.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF∶CF＝DE∶BC.∵AE＝eq\f(1,3)AD，∴DE＝2AE＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)BC，∴DE∶BC＝2∶3，∴EF∶CF＝2∶3.(第11題解)當(dāng)點(diǎn)E在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖②.同上可得△EFD∽△CFB，∴EF∶CF＝DE∶BC.∵AE＝eq\f(1,3)AD，∴DE＝4AE＝eq\f(4,3)AD＝eq\f(4,3)BC，∴DE∶BC＝4∶3，∴EF∶CF＝4∶3.綜上所述，EF∶CF的值是eq\f(2,3)或eq\f(4,3).12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以eq\r(3)cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0≤t≤5)，連結(jié)MN.(1)若BM＝BN，求t的值．(2)若以M，B，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求t的值．(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值．(第12題)【解】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5eq\r(3).由題意，得BM＝2t，CN＝eq\r(3)t，∴BN＝5eq\r(3)－eq\r(3)t.當(dāng)BM＝BN時(shí)，2t＝5eq\r(3)－eq\r(3)t，解得t＝10eq\r(3)－15.(2)分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，eq\f(MB,AB)＝eq\f(BN,BC)，即eq\f(2t,10)＝eq\f(5\r(3)－\r(3)t,5\r(3))，解得t＝eq\f(5,2).②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，eq\f(NB,AB)＝eq\f(BM,BC)，即eq\f(5\r(3)－\r(3)t,10)＝eq\f(2t,5\r(3))，解得t＝eq\f(15,7).綜上所述，當(dāng)t＝eq\f(5,2)或t＝eq\f(15,7)時(shí)，△MBN與△ABC相似．(3)如解圖，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，(第12題解)∴eq\f(MD,AC)＝eq\f(BM,BA)，即eq\f(MD,5)＝eq\f(2t,10)，解得MD＝t.設(shè)四邊形ACNM的面積為y，則y＝eq\f(1,2)×5×5eq\r(3)－eq\f(1,2)(5eq\r(3)－eq\r(3)t)×t＝eq\f(\r(3),2)t2－eq\f(5\r(3),2)t＋eq\f(25\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(75\r(3),8).∴當(dāng)t＝eq\f(5,2)時(shí)，y取得最小值，為eq\f(75\r(3),8)，即當(dāng)t＝eq\f(5,2)時(shí)，四邊形ACNM的面積最小，為eq\f(75\r(3),8)cm2.13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.