上海市實驗學校2022-2023學年高二上學期開學考數學試卷

上海實驗學校高二開學考數學試卷????????.????一.填空題1.已知向量

=(,??),??=(,??,且?,則實數??= .2.若??+??是關于??的實系數方程????+????+??=的一個復數根,則??= .3.已知向量

=(??,??),=(???,??),則在上的投影向量的坐標為 .4.記????為數列{????}的前??項和,若????=??????+??,則????= .5.已知等差數列{????}的公差??≠??,且????+????+??????=????+????,則{????}的前15項和??????= .

?? ??

?? ????6.||=,?|=,????|=??,則向量與??的夾角為 .7.復數???????????????????的輻角主值是 .8.△中,?

?+?=??,??

? =??,則??= .?????????????????9.在矩形中,??=??⊥,垂足為??,則

??

?)的最大值是10.設??(??)是定義在??上的函數,且對于任意的整數??,滿足??(??+??)???(??)≤??(??+??),??(??+????)???(??)≥??(??+??),??(???)=???????,則??(????????)的值為 .??????二.選擇題11??的共軛復數對應的點位于第（）象限?????A.一B.二 C.三 D.四12.設??為正整數,則“數列{????}為等比數列”是“數列{????}滿足?????????+??=????+???????+??”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要13.已知{????}為等比數列,下面結論中正確的是（）A.????+????≥??????B.????+

≥???????? ?? ??C.若????=????,則????=????D.若????>????,則????>????14.2021(如圖(1)曾借助三角函數得到了蝴蝶曲線的圖像,探究如下:如圖(2),平面上有兩定點??、??,兩動點??、??,且

?|=?|=,

?繞點逆時針旋轉到?所形成的角記為,設函數??()=?????(????(??≤??≤??,其中??(??)=?? ??>???? ??=??,令??=??(,作=?,隨著的變化,就得到了點的軌跡,其形似“蝴蝶”,則??? ??<??以下4幅圖中,點??的軌跡(考慮蝴蝶的朝向)最有可能為()三.解答題15.已知向量(????????????????)=(??√??)??∈[????].(1)?,求??的值;(2)記??(??)=

??=??(??)的最大值和最小值及對應的??的值.16.設復數??=????(其中、??∈),????=??+????=?(其中??∈).??(1)設??=??=??

??,若|????|=|????|,求出實數??的值;(2)若復數??滿足條件:存在實數??,使得????與????是某個實系數一元二次方程的兩個虛數根,求符合條件的復數??的模的取值范圍.17.????為等差數列{????}的前??項和,且????=??????=????,記????=[????????],其中[??]表示不超過??的最大整數,如[????]=??[????????]=??.(1)求????、??????、????????;(2)求數列{????}的前2022項和.18.已知{????}是公差為2的等差數列,其前8項和為????,{????}是公比大于0的等比數列,????=??, ?????????=????(1)求{????}和{????}的通項公式;(2)記????=??????

??????

,??∈???.??(1)證明??

?

}是等比數列;∑(2)證明??∑??=??

√????????+?????????????????

<??√??.四.附加題19.設數列{????}的前??項和為????,若對任意正整數??,總存在正整數??,使得????=????,則稱{????}是“??數列”.(1)若數列{????}的前??項和為????=????(??∈???),證明:{????}是“??數列”;(2)設{????}是等差數列,其首項????=??,公差??<??.若{????}是“??數列”,求??的值;(3)證明:對任意的等差數列{????},總存在兩個“??數列”{????}和{????},使得????=????+????(??∈???)成立.??+??20.稱一個復數數列{????}為“有趣的”,若|????|=??,且對任意正整數??,均有?????? +??+??????????????+??+???????+????|≥

=??.求最大的常數??,使得對一切有趣的數列

及任意正整數??,均有

+????+參考答案一.填空題1.???

2.2 3.(???,??) 4.??????? ????5.15 6.?????????????? 7.??+???? 8.??9.??????

??????.

?? ??【第10題】夾逼得??(??+????)???(??)=??(??+??),??(??+??)???(??)=??(??+??),∴[??(????????)???(????????)]+[??(????????)???(????????)]+?+[??(??)???(???)]=????????+????????+?+??即?=????????×???????=??????????????∴=?????????? ??????二.選擇題11.D????.?? ????.B ????.B三.解答題15.(1)????==??,=??(????)=???√???? ?????? ?????? ??16.(1)??=???;(2)(??,??)17.(1)????=??, ??????=??, ????????