《24.1.2垂直于弦的直徑》課件

什么是軸對稱圖形？我們學過哪些軸對稱圖形？如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形．回顧線段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圓任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸．圓有哪些對稱軸？O探究：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發現圖中有那些相等的線段和弧?為什么?·OABCDE線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，

CD⊥AB，垂足為E．求證：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒證明：連結OA、OB，則OA＝OB．∵垂直于弦AB的直徑CD所在的直線既是等腰三角形OAB的對稱軸又是⊙O的對稱軸．∴當把圓沿著直徑CD折疊時，

CD兩側的兩個半圓重合，

A點和B點重合，

AE和BE重合，

AC、AD分別和BC、BD重合．∴AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒疊合法DOABEC垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．知識要點DOABEC垂徑定理AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①直線過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧題設結論DOABEC垂徑定理下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是不是是不是OEDCAB深化：垂徑定理的幾個基本圖形：CD過圓心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BDAE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①直線過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧題設結論DOABEC垂徑定理將題設與結論調換過來，還成立嗎？這五條進行排列組合，會出現多少個命題？①直線過圓心③平分弦②垂直于弦④平分弦所對優弧⑤平分弦所對的劣弧（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．垂徑定理的推論1DOABEC已知：CD是直徑，AB是弦，CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒一個圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直．因此這里的弦如果是直徑，結論不一定成立．OABMNCD注意為什么強調這里的弦不是直徑？②垂直于弦③平分弦①直線過圓心④平分弦所對優弧⑤平分弦所對的劣弧（2）弦的垂直平分線

經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．垂徑定理的推論1已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求證：CD是直徑，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC垂徑定理的本質是滿足其中任兩條，必定同時滿足另三條（1）一條直線過圓心（2）這條直線垂直于弦（3）這條直線平分弦（4）這條直線平分弦所對的優弧（5）這條直線平分弦所對的劣弧判斷：（1）垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對的兩弧．（）．（2）經過弦的中點的直徑一定垂直于弦．（）

（3）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧．（）√√隨堂練習課堂小結1．圓是軸對稱圖形任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸．O

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．2．垂徑定理DOABEC（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．垂徑定理的推論1DOABEC24.1.2垂直于弦的直徑（1）人教版九年級上冊你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.2m．

趙州橋主橋拱的半徑是多少？

實際問題垂徑定理的應用用表示主橋拱，設所在圓的圓心為O，半徑為R．經過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點D，根據垂徑定理，D是AB的中點，C是的中點，CD就是拱高．解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2BODACR解得R≈27.9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m．OA2=AD2+OD2垂徑定理三角形d+h=rdhar有哪些等量關系？在a，d，r，h中，已知其中任意兩個量，可以求出其它兩個量．2、如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm。·OABE解：連接OA，∵OE⊥AB∴∴AB=2AE=16cm3、如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。·OABE解：過點O作OE⊥AB于E，連接OA∴∴答：⊙O的半徑為5cm.4、如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直徑CD的長。·OABECD解：連接OA，∵CD是直徑，OE⊥AB∴AE=1/2AB=5設OA=x，則OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13∴OA=13∴CD=2OA=26答：直徑CD的長為26.鞏固：2、如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結論中不成立的是（）A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECD例1．在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證：四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形．例2．在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．求證：AC＝BD．證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO例3．已知：⊙O中弦AB∥CD．求證：AC＝BD⌒⌒證明：作過點O作OM⊥AB．∵AB∥CD，∴OM⊥CD．則AM＝BM，CM＝DM

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒．MCDABON

經常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創造條件．解決有關弦的問題1．弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為________．cm練習2．已知P為⊙O內一點，且OP＝2cm，如果⊙O的半徑是3cm，，那么過P點的最短的弦等于____________．cmCDABE已知：AB．求作：AB的中點．⌒⌒點E就是所求AB的中點．⌒作法：1．連結AB．2．作AB的垂直平分線CD，交AB于點E．⌒小練習ABCDE已知：AB．求作：AB的四等分點．⌒⌒作法：1．連結AB．3．連結AC．2．作AB的垂直平分線，交AB于點C．⌒4．作AC的垂直平分線，交AC于點D．⌒5．點E同理．點D、C、E就是AB的四等分點．⌒ABC作AC的垂直平分線作BC的垂直平分線這種方法對嗎？等分弧時一定要作弧所夾弦的垂直平分線．×CABO你能確定AB的圓心嗎？⌒作法