統計學基礎課件(鄧紅版)第4章靜態分析方法

第四章靜態分析方法一、總量指標二、相對指標三、平均指標四、標志變異指標五、靜態分析指標的應用原則主要內容

總量指標由直接統計匯總得到，它的數值大小隨總體范圍的大小而增減。一、總量指標的概念

總量指標是用絕對數形式表現的反映社會經濟現象在一定時間、地點條件下總規模、總水平的統計指標。時期指標國內生產總值246619億元

工業增加值107367

億元其中：鋼產量48966萬噸年末人口總數132129萬人年末居民存款余額172534億元例如：我國在2007年：時點指標第一節總量指標二、總量指標的作用1.它是對社會經濟現象總體認識的起點，常用來反映國情國力的基本狀況；2.它是制定政策、編制計劃、實行經濟管理的重要依據；3.總量指標是計算其他統計指標的基礎。2004年我國人口出生率=

年出生人數/年平均人口總數某班學生《統計學》平均考分

=

學生總成績/學生總人數例如：=1593萬人/129607.5萬人=

12.29‰=4200分/50人=84分/人對總量指標從不同角度進行如下分類：三、總量指標的種類

總量指標的種類1、按其反映總體內容不同總體單位總量總體標志總量2、按其反映時間狀況不同

時期指標時點指標3、按其所采用的計量單位不同實物指標勞動指標價值指標總體各單位某一數量標志值的總和（2）總體標志總量（標志總量)1、總體單位總量和總體標志總量總體單位數之和（1）總體單位總量（單位總量）：人口總數工資總額對于某一總體而言，總體單位總量只有一個，而總體標志總量可以有多種。例如：研究目的：是全國工業企業的生產經營情況時，總體——全國所有的工業企業總體單位——每一個工業企業工業企業名稱：甲乙丙…

X工業增加值（萬元）

700

1500

800

…300數量標志全國工業增加值62815（億元）全國工業企業總數總體單位總量總體標志總量全國工業企業職工總數全國工業企業固定資產總額對于某一總體而言，總體單位總量只有一個，而總體標志總量可以有多種。

注意：總體單位總量和總體標志總量的地位隨著研究目的和研究對象的不同而變化。

如，研究目的：是全國工業企業的職工的工資水平時情況時，總體——全國工業企業的所有職工總體單位——每一個職工全國工業企業職工總數單位總量全國工業企業職工工資總額標志總量

即反映社會經濟現象在一段時間內發展變化的總量。2、時期指標與時點指標

（1）時期指標（時期總量）：

例如：國內生產總值、工業增加值、人口出生數等。如，2004年全國鋼產量為29723.1萬噸即時期為一年（1月1日～12月31日）（2）時點指標（時點總量）：

即反映社會經濟現象在某一時刻的狀態總量。如，2004年末全國人口總數為129988萬人即12月31日這一時刻（或瞬間）?

例如：年末人口總數、年末居民儲蓄存款余額等。時期指標和時點指標的特點比較：表4-1時期指標時點指標?

?

?

?

?

時期指標的特點：（1）數值是連續統計取得的；（2）各期的數值可直接相加，相加后表示現象在更長時間內發展變化總量；（3）數值大小與其所包括的時期長短直接有關。時點指標的特點：（1）數值是一次性調查取得的；（2）各個時點的數值一般不能直接相加，相加后無意義；（3）其數值大小與其所間隔時間長短無直接關系。

判斷下列指標，哪些是時期指標，哪些是時點指標？注意：時期指標所屬時間有時期長短（如年、季、月、日）；時點指標所屬時間沒有時期長短（如年末、季末、月末）

課堂練習：1.我國各年大學生畢業人數2.我國各年大學生在校生人數5.某銀行每天居民儲蓄存款余額3.某地區各年的人口出生數（或人口死亡數）4.某企業各年末的固定資產原值7.我國歷年旅客周轉量6.某企業各(末）月商品庫存額8.某班學生每天聽課人數時期時點時期時點時點時點時點時期（1）實物指標是根據事物的自然屬性和特點來計量的單位。包括自然單位、度量衡單位、雙重單位、復合單位及標準實物計量單位等。

自然單位：

它是根據事物的自然屬性來計量的單位。

度量衡單位：

如:人口以“人”為單位，汽車以“輛”為單位，鞋以“雙”為單位。

它是按統一的度量衡制度而計量的單位。如:鋼產量以“噸”為單位，布以“米”為單位，距離以“公里”為單位，木材以“立方米”為單位等。自然單位也是離散型數據的計量單位。度量衡單位也是連續型數據的計量單位。3、實物指標、價值指標、勞動量指標

雙重單位：

如電動機以臺/千瓦計量，船舶以馬力/噸位/艘計量。

它是采用兩種或多種計量單位來表明事物的數量。

復合單位：

它是兩個單位以乘積形式構成的單位。

如發電量以千瓦*時計量，貨物周轉量以噸*公里計量等。

標準實物單位：

即按一定標準將用途相同，但規格或含量不同的物品折合成規格或含量相同的數量，

如將含熱量不同的煤產量統一折算為每千克發熱量為7000大卡的標準煤。

用實物單位計量的總量指標，稱為實物指標。

實物指標的特點：

該指標的綜合性比較差，不同的實物，內容性質不同，計量單位不同，無法進行匯總，因而無法反映國民經濟的總規模或總的發展速度。

它直接反映產品的使用價值或現象的具體內容，因而能夠具體地表明事物的規模和水平。實物指標的局限性：

在于它脫離了物質內容，比較抽象。只有和實物指標結合使用，才能充分發揮其作用。（2）價值單位

價值單位是以貨幣單位來計量的單位。如國內生產總值以“元”為單位。用價值單位計量的總量指標稱為價值指標。

它具有廣泛的綜合匯總性。它可以綜合反映不同國家或地區、部門、企業生產不同產品的總成果。價值指標的特點：價值指標的局限性：（3）勞動單位

勞動單位是反映勞動力資源及其利用狀況所采用的一種復合計量單位。如，工時（工日）等。

用勞動單位計量的總量指標，稱為勞動量指標。

故，總量指標按其所采用的計量單位不同可以分為實物指標、價值指標和勞動指標。第二節相對指標一、相對指標的概念

相對指標（相對數），它是兩個有聯系統計指標數值的比所得到的抽象比值。

其分子與分母可以是總量指標對比，也可以是相對指標或平均指標對比。如：我國在2004年，人口出生率

=

年出生人數/年（平均）人口數=

年鋼產量/年（平均）人口總數=1593萬人/129988萬人=12.29‰人均鋼產量=29723.1萬噸/129607.5萬人=229公斤/人相對指標特點：

1.將構成相對指標的分子分母的具體數值抽象化，是一種抽象化的數值2.數值不隨總體范圍的大小而增減這里還要對經濟分析中經常用到的“百分點”的概念作一點說明。一個百分點是指1％，百分點常用于兩個百分數相減的場合。如：

在股票交易市場上，確定某一時間的股票價格為基數，將兩個不同時間股票價格與之相比，分別為150％和120％，那么后一時間上的股票價格比前一時間下降了30個百分點（120％－150％）。相對指標的作用

1.反映社會經濟現象之間的相對水平和聯系程度；2.相對指標可以使不能直接對比的現象找到共同比較的基礎。在說明兩個性質不同、生產條件、規模不同的企業工作質量時，不能直接用產值、利潤等總量指標進行對比，而可用有關相對指標進行對比。3.是國家進行宏觀管理和考核評價企業經濟活動效果的重要工具。甲企業乙企業利潤總額資金占用資金利潤率500萬元

5000萬元

3000萬元40000萬元16.7%12.5%比較兩企業經濟效益不可比不可比可比

二、相對指標的計量形式

相對指標的數值表現形式（計量單位）有以下兩種表現計量單位，即：

有名數：將相對指標的分子和分母指標的計量單位結合起來表示相對指標。

無名數：一種抽象化的數值。

它在強度相對指標的計算中采用。1、有名數

有名數是在計算相對指標時，保持兩個對比指標原來的計量單位。如：2004年我國人均鋼產量=

135人/平方公里2004年我國人口密度=

229.3公斤/人

包括系數或倍數、番數、成數、百分數和千分數。2、無名數

無名數是一種抽象化的的數，（對比基數）計算結果：分子與分母計量單位相同，數量相除后，計量單位被去掉。分母為12n倍時n為番數分母為10分母為100分母為1000倍數、系數、番數、成數、百分數、千分數分母為1

即將對比基數抽象為10而計算的相對數。

如：某地區糧食產量2004年比2003年增長2成，即增長2/10

成數：

系數或倍數：

即將對比基數抽象為1而計算出來的相對數。如：2004年產量/1990年產量=500噸/50噸當分子數值＞分母數值很多時當分子數值與分母標數值相差不大時倍數系數=10倍兩個相比較的數值中，一個數值是另一個數值的2n倍時，則n是番數。

如：某地區2007年的工業增加值翻一番，即增長1倍。

番數：

千分數：

即將對比基數抽象為1000而計算出來的相對數。2004年我國人口出生率=12.29‰當分子數值＜分母數值很多時千分數即將對比基數抽象為100而計算的相對數。

百分數：如：今年產量/去年產量=

500噸/400噸=

125％三、相對指標的種類和計算相對指標種類

靜態相對指標（一）結構相對指標（二）比例相對指標（三）比較相對指標（四）強度相對指標（五）計劃完成相對指標（六）動態相對指標

1.計劃完成程度相對指標的概念和計算公式

計劃完成程度相對指標，又稱計劃完成相對數。它是現象在某一段時間內的實際完成數值與計劃任務數值對比的結果，用以檢查計劃完成程度。計劃完成程度相對指標

例，某企業2009年計劃產值應為800萬元，2009年實際產值為1000萬元，求2009年產值計劃完成程度。解：2009年產值計劃完成程度=

125％即：該企業超額25％完成產值計劃任務。1、計劃完成相對指標［例］某商業企業某年商品銷售額計劃為1000萬元，實際完成1200萬元。解：計劃完成數=計算表明，該企業超額20%完成了商品銷售額計劃。2.計算計劃完成程度相對指標時應注意的問題

第一，計劃數是比較的基礎，該指標的分子與分母不能互換。而且要求分子、分母指標的含義、計算口徑、計算方法、計量單位、空間范圍等方面完全一致。計劃指標規定為增長率時（產值、勞動生產率）

計算結果=100％，計算結果＜100％，完成計劃未完成計劃計劃指標規定為降低率時（單位成本、單耗）計算結果＞100％，未完成計劃計算結果＞100％，

計算結果=100％，計算結果＜100％，超額完成計劃超額完成計劃完成計劃第二，計劃執行結果的評價：（2）計劃指標為相對指標，其計算公式為計劃完成程度（%）=該指標是用于考核社會經濟現象的降低率、增長率的計劃完成程度。[例2]某公司勞動生產率計劃規定2010年比2009年提高8%實際提高10%，則該公司計劃完成程度為：

解：

計劃完成程度（%）=計算結果表明該公司的勞動生產率實際比計劃超額1.85%完成[例3]某產品上年度實際成本為400元，本年度計劃降低5%，實際降低6%，則單位成本的計劃完成程度為：解：單位成本的計劃完成程度（%）=計算結果表明該產品已超額完成了單位成本計劃，實際比計劃降低了1.05%⒈短期計劃完成情況的檢查⑴計劃數與實際數同期時，直接應用公式:⑵考察計劃執行進度情況:例：某企業2004年計劃產量為10萬件，而實際至第三季度末已生產了8萬件，全年實際共生產11萬件。則⒉長期計劃完成情況的檢查⑴累計法計劃指標按計劃期內各年的總和規定任務例：某市計劃“十五”期間要完成社會固定資產投資總額60億元，計劃任務的實際完成情況為：其中，2005年各月份實際完成情況為（單位：億元）：要求計算：⒈該市“九五”期間固定資產投資計劃的完成程度;⒉提前完成計劃的時間。已累計完成固定資產投資額60億元解：提前完成計劃時間：因為到2005年10月底已完成固定資產累計投資額60億元（61.7–0.8–0.9=60），即已完成計劃任務，提前完成計劃兩個月。⑵水平法計劃指標以計劃末期應達到的水平規定任務⒉長期計劃完成情況的檢查例：某自行車廠計劃“十五”末期達到年產自行車120萬輛的產量，實際完成情況為：其中，最后兩年各月份實際產量為（單位：萬輛）：：要求計算：⒈該廠“九五”期間產量計劃的完成程度；⒉提前完成計劃的時間。+0.5+0.5=120解：提前完成計劃時間：因為自2004年3月起至2005年2月底連續12個月的時間內該廠自行車的實際產量已達到120萬輛〔119+﹙10.1–9.6﹚+（10.1–9.6）=120〕，即已完成計劃任務，提前完成計劃10個月。練習：P90第3題2、結構相對指標1.結構相對指標的概念和計算公式

結構相對指標就是通常所說的“比重”，它是總體部分數值與總體全部數值對比的結果。即：表4-2

比重（％）

比重（％）平均工資（元/人）65.234.8100.06040100500400—

結構相對指標包括單位數結構和標志值結構。結構相對指標2.計算結構相對指標應注意的問題

第一，其計算條件是統計分組；第二，其分子與分母均為總量指標對比；第三，其分子與分母不能互換；第四，各組比重之和正好為100%。3、比例相對指標1.比例相對指標的概念和計算公式

比例相對指標是總體中不同部分數量對比的相對指標，用以分析總體范圍內各個局部、各個分組之間的比例關系和協調平衡狀況。例如前表4-2：男職工人數/女職工人數

=30/20=

150％男職工平均工資/女職工平均工資=

500/400=

125％比例相對指標

比例相對指標的計算結果一般是用百分數表示，或“多少比1”或“多少比100形式表示。2.計算比例相對指標應注意的問題

第一，其計算條件是統計分組；

第二，其分子與分母一般是總量指標對比，但有時也可以用總體各部分的相對數或平均數對比；

第三，其分子與分母可以互換。

注意結構相對指標與比例相對指標的區別和聯系。例如前表4-2：4、比較相對指標1.比較相對指標的概念和計算公式

比較相對指標是將不同空間條件下同類指標對比的結果，用以說明在同一時期內某一現象在不同單位（指總體）之間發展的不平衡程度。

（這里的總體可以是國家或地區或部門或企業等）

如，2004年甲市大米價格2元/公斤，乙市大米價格2.5元/公斤。則：乙市大米價格/甲市大米價格

=

2.5/2

=

125％即：比較相對指標比較相對數計算結果通常用百分數或倍數表示。2.計算比較相對指標應注意的問題

第一，其分子與分母更多的是采用相對數或平均數對比；第二，其分子與分母可以互換。例如：要對比中國與美國教育發展水平時，=

1500美元/30美元美國人均教育經費=

50（倍）

（因為總量指標的數值易受總體范圍不同，生產條件不同等影響，它一般不具有可比性）中國人均教育經費（2003年）5、強度相對指標1.強度相對指標的概念和計算公式

強度相對指標是兩個性質不同，但有一定聯系的總量指標對比的結果，用以表明現象的強度、密度和普及程度。即：強度相對指標2004年我國人均鋼產量2004年我國人口密度=135人/平方公里=229.3公斤/人

（2）反映現象的密度

如：

（3）反映現象的經濟效益(普遍程度)

如：（1）反映現象的強弱程度如：2.計算強度相對指標應注意的問題

第一，其分子與分母為兩個性質不同而有聯系的總量指標對比；

注意：鋼產量/豬的存欄頭數這兩個性質不同的總量指標在經濟上沒有聯系，對比沒有意義。

人口密度以“人/平方公里”為單位例如，人均鋼產量以“公斤/人”為單位（有名數形式）商業網密度以“個/千人”為單位

第二，其數值表現形式大多數為有名數，少數為無名數形式；2004年人口自然增長率=

5.87‰某企業商品流通費用率=

15％（無名數）

第三，某些強度相對指標，分子與分母可互換，形成其正、逆指標。每百元固定資產提供的產值=

150％每百元產值占用的固定資產=

66.7％

注意：有些強度相對指標使用人均的詞，如人均鋼產量、人均糧食產量、人均教育經費等，但它們不是平均指標。（正指標）（逆指標）課堂練習：某地區某年末現有總人口為100萬人，醫院床位總數為24700張。則該地區（正指標）（逆指標）注意:如何區別正指標和逆指標？

正指標的數值愈大，表示現象的密度愈大，它是從正方向說明現象的密度；逆指標的數值愈大，表示現象的密度愈小，它是從相反方向說明現象的密度。

6、動態相對指標

動態相對指標（發展速度）是某一事物報告期數值與基期數值對比的結果，用以說明事物在時間上發展變化的快慢程度。動態相對指標計算：例2007年溫州市出口鞋類5.35億雙，2006年4.83億雙,

同比增長10.8%特點：1.不同時間的對比2.分子分母不能互換3.同一總體

在掌握了幾種常用相對指標的概念、作用及計算后，要注意區分下面幾種不同的相對指標。

結構相對指標與比例相對指標的區別：

結構相對指標是以總體總量為比較標準，計算各組總量占總體總量的比重，來反映總體內部組成情況的綜合指標。如：各工種的工人占全部工人的比重。比例相對指標是總體不同部分數量對比的相對數，用以分析總體范圍內各個局部之間比例關系和協調平衡狀況。如：輕重工業比例。

比例相對指標和比較相對指標的區別：

（1）子項與母項的內容不同，比例相對指標是同一總體內，不同組成部分的指標數值的對比；比較相對指標是同一時間同類指標在不同空間上的對比。

（2）說明問題不同，比例相對指標說明總體內部的比例關系；比較相對指標說明現象發展的不均衡程度。比較相對指標是不同單位的同類指標對比，用以說明同類現象在同一時期內各單位發展的不平衡程度。如：甲地職工平均收入是乙地職工平均收入的1.3倍。

強度相對指標與其它各種相對指標主要區別：

（1）其它各種相對指標都屬于同一總體內的數量進行對比，而強度相對指標除此之外，也可以是兩種性質不同的但又有聯系的屬于不同總體的總量指標之間的對比；

（2）計算結果表現形式不同。其它相對指標用無名數表示，而強度相對指標主要是用有名數表示。

（3）當計算強度相對指標時，分子、分母的位置互換后，會產生正指標和逆指標，而其它相對指標不存在正、逆指標之分。五、應用相對指標的原則1.正確選擇作為對比標準的基數2.保持兩個對比指標（分子與分母）的可比性3.相對數要與總量指標結合運用4.多種相對指標結合運用1.正確選擇作為對比標準的基數

如果基數的選擇不準確，就無法使相對數正確地反映事物之間的數量對比關系。至于選擇什么樣的基數，必須從現象的性質特點出發，并根據研究目的來確定。如：要反映我國文化教育的普及程度：教育普及程度全國識字人口數全國人口數（扣除6歲以下的人口數）=全國人口數識字人口數不識字人口數6歲以下的人口數6歲及以上的人口數2.保持兩個對比指標（分子與分母）的可比性

所謂相對指標的可比性是指兩個對比指標在所表明的經濟內容、總體范圍、計算方法、計量單位、時間長短等方面的一致性。2009年某企業產值計劃完成程度

=

2004年實際產值/2003年計劃產值

=300萬元/200萬元

=150％，

而強度相對指標其分子與分母的可比性是指其在經濟上的聯系性。例如：3.必須把相對指標和總量指標結合起來運用

利用相對指標進行分析時，要考慮相對數背后所代表的絕對水平，即要將兩者結合起來應用，特別是在動態分析時，要注意到每增長1％的絕對值。甲廠每增長1％的絕對值200

：25％=

x

：1％乙廠每增長1％的絕對值：

故高速度背后可能隱藏低水平，而低速度背后可能隱藏高水平，分析問題既要看速度，又要看水平。鋼產量（噸）08年09年增長量（噸）增長速度％甲廠800

1000

200

25

乙廠200

300

100

50

結構相對數:反映部分與總體關系比例相對數:反映部分與部分關系比較相對數:反映橫向對比關系動態相對數:反映縱向對比關系計劃完成相對數:反映實際與計劃關系強度相對數:反映關聯指標間關系4.多種相對指標要結合運用人口性別比為1.03：11999年末我國共有總人口12.6億人，其中男性人口為6.4億，女性人口為6.2億。男性人口的比重為50.8﹪比1980年末的9.9億人增加了28﹪人口數是美國的4.5倍人口密度為130人/平方公里人口出生率為15.23‰女性人口的比重為49.2﹪某公司所屬三個廠近兩年產量完成資料如下：表4—3某公司所屬三個廠2004、2005年完成產量情況要求：填出空格中的數字。作業：答案：100131.3451.3305010015122.130.347.610094.899.6122.2103表4—3某公司所屬三個廠2004、2005年完成產量情況

第三節平均指標的概念和特點一、概念

——各總體單位某一標志值在一定時間、地點、條件下所達到的一般水平。（平均指標反映同類現象的一般水平，是總體內各單位參差不齊的標志值的代表值，也是對變量分布集中趨勢的測定。）數據集中區變量x二、平均指標的特點第一，它把數量標志在總體各單位之間的數值差異抽象化了;第二，它反映了總體分布的集中趨勢。

三、平均數的作用1、可以比較不同空間同一事物一般水平的差異

——消除了總體數量差異使其具有可比性

2、分析研究現象之間的依存關系

3、可以推算和預測

時間狀況---靜態平均數和動態平均數計算方法---數值平均數和位置平均數數值平均數算術平均數調和平均數幾何平均數眾數中位數四、平均數的種類五、算術平均數例如，

注意：強度相對指標與平均指標的區別（１）指標的含義不同。強度相對指標說明的是某一現象在另一現象中發展的強度、密度或普遍程度；而平均指標說明的是現象發展的一般水平。（２）計算方法不同。兩者雖然都是兩個有聯系的總量指標之比，但是，強度相對指標分子與分母的聯系，只表現為一種經濟關系，它的分子、分母可以互換。而平均指標是在一個同質總體內標志總量和單位總量的比例關系，分子與分母的聯系是一種內在的聯系，即分子是分母（總體單位）所具有的標志，有一一對應的關系，對比結果是對總體各單位某一標志值的平均。1.簡單算術平均數舉例：5名學生的學習成績分別為：75、91、64、

53、82，則平均成績為：

計算公式:應用條件：資料未分組，各組出現的次數都是1。——資料已經分組

1、根據單項變量分布數列計算應用條件：單項式分組，各組次數不同。2.加權算術平均數計算公式：標志值權數舉例：某車間20名工人加工某種零件資料：

平均日產量

2、根據組距數列計算應用條件：組距式分組，各組次數不同。用各組的組中值代替各組平均數。注意：計算出來的加權算術平均數是一個近似值。舉例：某車間200名工人日產量資料：某廠某食物日產量資料：25354555【例】某季度某工業公司18個工業企業產值計劃完成情況如下：計算該公司該季度的平均計劃完成程度。【例】某季度某工業公司18個工業企業產值計劃完成情況如下：計算該公司該季度的平均計劃完成程度。分析：某班統計學成績表計算該班統計學平均成績隨堂練習5565758595110715135011055703850六、調和平均數【例】

設X=（2，4，6，8），則其調和平均數可由定義計算如下：⒉再求算術平均數：⒈求各標志值的倒數：，，，⒊再求倒數：是總體各單位標志值倒數的算術平均數的倒數，又叫倒數平均數。適用于不掌握各組單位數及總體單位數量的情況。一、簡單調和平均數——適用于總體資料未經分組整理、尚為原始資料的情況式中：H為調和平均數;為變量值的個數；為第個變量值。[例]某集貿市場西紅柿的價格，早市每千克1元，午市每千克0.50元，晚市每千克0.25元，若早、中、晚各買1元錢，計算平均價格。用算術平均數計算：①早、中、晚各買1元錢，合計花3元。②早上用1元錢可買1／1＝1千克，中午用1元錢可買2千克,晚上用1元錢可買4千克,合計共買西紅柿7千克。③平均價格數：用簡單調和平均數計算：二、加權調和平均數——適用于總體資料經過分組整理形成變量數列的情況式中：為第組的變量值；為第組的標志總量。【例】某企業某日工人的日產量資料如下：

用調和平均數計算該企業該日全部工人的平均日產量。即該企業該日全部工人的平均日產量為12.1375件。解：◆變量不同：算術平均數是x，調和平均數是1/x。◆權數不同：算術平均數是f,代表次數（單位數），調和平均數是xf或m，代表標志總量。◆聯系：調和平均數作為算術平均數的變形使用：

調和平均數與算術平均數的比較某期商品價格及銷售額資料試計算三個商場該種商品的平均價格隨堂練習某期商品價格及銷售額資料試計算三個商場該種商品的平均價格隨堂練習七、中位數（）

——把總體各單位標志值按大小順序排列起來，居于中間位置的那個數就是中位數。（一）、由未分組資料確定中位數方法：①把資料按大小順序排列②求中間項次Om=③確定中位數：

n為奇數時，第Om項對應的標志值

n為偶數時，第Om項兩邊標志值的平均數1、標志值的個數是奇數例：7名工人生產某種產品，日產量（件）分別為4、6、6、8、9、12、14。中間位置為（7+1）/2＝4即位于第四名工人的日產量8件為中位數。2、標志值的個數是偶數上例增加為8名工人，日產量為4、6、6、8、9、12、13、14。由于（8+1)/2=4.5，即中間位置在第四和第五名中間，中位數為(8+9)/2=8.5(二）由分組資料確定中位數

②確定中位數所在組

——按累計次數的方向找出第一個能夠容納的累計次數所對應的組；

方法：①確定中間位置Om=③確定中位數若為單項式數列，中位數組所對應的標志值；若為組距式數列，用公式計算。1、由單項數列確定中位數例：中間位置為80/2＝40，中位數組為第三組，則中位數為24。

2、由組距數列確定中位數

（1）計算公式L：中位數所在組下限U：中位數所在組上限fm：中位數所在組的次數d：中位數所在組的組距Sm-1：中位數所在組上一組的向上累計次數Sm+1：中位數所在組后一組的向下累計次數舉例(1)確定中間位次(2)確定中位數組為

6—7(3)確定中位數【例題】根據表中的數據，計算50名工人日加工零件數的中位數八、眾數（）——總體中出現次數最多的標志值是眾數。1、由未分組資料確定眾數例：7名工人日產量（件）為4、5、6、6、6、7、

8。則眾數是6。

無眾數

原始數據:10591268一個眾數

原始數據:659855多于一個眾數

原始數據:252828364242——次數最多的組對應的變量值例：

2、由單項數列確定眾數：3、由組距數列確定眾數（1）計算公式：【例題】根據表中的數據，計算50名工人日加工零件數的眾數眾數、中位數、平均數的特點和應用◆眾數⊙不受極端值影響⊙具有不惟一性⊙數據分布偏斜程度較大時應用◆中位數⊙不受極端值影響⊙數據分布偏斜程度較大時應用◆平均數⊙易受極端值影響⊙數學性質優良⊙數據對稱分布或接近對稱分布時應用

（一）對稱分布情況下

算術平均數、眾數、中位數數值關系對稱分布

均值=中位數=

眾數fX（二）偏態分布情況下

左偏分布均值

中位數

眾數右偏分布眾數

中位數均值fXfX所以：如果，則說明分布右偏（或上偏）如果，則說明分布左偏（或下偏）如果，則說明分布對稱一組工人的月收入眾數為700元，月收入的算術平均數為1000元，則月收入的中位數近似值是：例根據卡爾·皮爾遜經驗公式，還可以推算出：

第四節標志變異指標一、變異度指標的概念——反映總體各單位某種標志值之間離散程度的統計指二、變異度指標的作用1、衡量平均數代表性——變異度指標值越大，平均數的代表性越小。2、反映現象的穩定性和均衡性——標志變異指標越小，說明現象的均衡性和穩定性愈好數據的分散程度是數據分布的另一個重要特征，它所反映的是各變量值遠離中心值的程度，因此稱為離中趨勢。標志變異指標的種類1、極差（全距）2、平均差3、標準差和方差4、離散系數一、極差（R）公式：R=Xmax-Xmin=最大值—最小值優點：計算簡便缺點：易受極端值的影響舉例：5名學生的成績為50、69、76、88、97

則R=97-50=47組距數列的全距R＝最高組的上限－最低組的下限全距反映總體標志值的變動范圍，其數值越大，平均數代表性越小。二、平均差（A.D)應用條件：資料未分組，各變量值出現的次數為1。——總體各單位標志值對其算術平均數的離差絕對值的算術平均數。1、簡單平均差公式：計算步驟：（1）計算算術平均數（2）計算離差的絕對值（3）根據公式計算平均差例：甲乙兩個班組工人日產量資料如下：

甲班組（件）：2528303542

乙班組（件）：1824323848要求：計算平均差，比較兩個班組工人平均日產量的代表性。結論：平均差越大，其平均數代表性越小。

解：計算平均日產量甲組：x=n∑x=5160=乙組：x=n∑x=5160=32（件）32（件）甲班組：=26÷5＝5.2(件)乙班組：=44÷5＝8.8(件)

甲班組工人日產量的平均差小于乙班組的∴甲班組工人平均日產量的代表性大于乙班組計算平均差

2、加權平均差應用條件：資料經過分組，各組次數不同。計算公式：計算步驟：（1）計算算術平均數（2）計算離差的絕對值（3）計算絕對值乘以次數（4）根據公式計算平均差舉例：某車間200名工人日產量資料如下，計算其平均差。

平均日產量：計算過程：平均差：3、平均差的優缺點優點：平均差是根據全部數值計算的，受極端值影響較全距小。缺點：由于采取絕對值的方法消除離差的正負號，應用較少。

練習：根據資料計算工人的平均日產量和平均差工人平均日產量:x=∑xf∑f=74.4(件)工人日產量平均差:日產量(x)工人數(f)5510652475368522958

合計100550156027001870760-19.4-9.40.610.620.6194225.621.6233.2164.8839.2

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三、標準差（）和方差標準差：總體各單位標志值與其算術平均數的離差平方的算術平均數的平方根。方差：標準差的平方，用表示。注：方差（σ2）和標準差（σ）是應用最廣的變異度指標。結論：標準差越大，其平均數代表性越小。應用條件：資料未分組，各組次數都是1。1、簡單標準差公式：簡單方差計算步驟：①求算術平均數②求離差③求離差平方④求離差平方總和⑤求方差⑥求標準差舉例：五名工人的日產量分別是：2、加權標準差

應用條件：資料經過分組，各組次數不同。舉例：前例，公式：加權方差

解：已知標準差的簡捷計算：