工程力學12應力應變分析強度理論

工程力學第12章應力應變分析強度理論中國石油大學（北京）應力應變分析強度理論平面應力狀態(tài)分析——圖解法應力狀態(tài)的概念平面應力狀態(tài)分析——解析法三向應力狀態(tài)位移與應變分量之間的--幾何方程

廣義虎克定律復雜應力狀態(tài)下的變形比能2應力應變分析強度理論莫爾強度理論及其相當應力強度理論的概念四個強度理論及其相當應力強度理論的應用3一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現象是怎樣產生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP4應力狀態(tài)的概念4四、普遍狀態(tài)下的應力表示

三、單元體：單元體——構件內的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質——a、平行面上，應力均布；

b、平行面上，應力相等。二、一點的應力狀態(tài)

過一點有無數的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

ytxy5應力狀態(tài)的概念5四、普遍狀態(tài)下的應力表示

xyzs

xsz

s

ytxy6材料力學剪應力正負號定義彈性力學剪應力正負號定義應力狀態(tài)的概念6xyzs

xsz

s

ytxy五、剪應力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):

過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應力分量,則兩個面上的這兩個剪應力分量一定等值、方向相對或相離。7應力狀態(tài)的概念7tzx六、原始單元體（已知單元體）：例1

畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。

PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx8應力狀態(tài)的概念8七、主單元體、主面、主應力：主單元體(Principalbidy)：各側面上剪應力均為零的單元體。主面(PrincipalPlane)：剪應力為零的截面。主應力(PrincipalStress

）：主面上的正應力。主應力排列規(guī)定：按代數值大小，s1s2s3xyzsxsysz9應力狀態(tài)的概念9單向應力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：一個主應力不為零的應力狀態(tài)。

二向應力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：一個主應力為零的應力狀態(tài)。三向應力狀態(tài)（Three—DimensionalStateofStress）：三個主應力都不為零的應力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz10應力狀態(tài)的概念1011應力狀態(tài)的概念當鍋爐或其他圓筒形容器的壁厚t遠小于它的內直徑D時（譬如D大于20t），稱之為薄壁圓筒。薄壁容器承受內壓力的壓強為p

圓筒部分橫截面上的正應力:由圓筒及其受力的對稱性可知，作用在圓筒底上壓力的合力F的作用線與圓筒的軸線重合。因此圓筒部分的橫截面上各點處的正應力可按軸向拉伸時的公式計算1112應力狀態(tài)的概念圓筒部分縱截面上的正應力:用相距為l的兩個橫截面和包含直徑的縱向平面，從圓筒中截取一部分1213應力狀態(tài)的概念圓筒內壁的微分面積壓力為該部分內壓力在y方向的投影的代數和為1314應力狀態(tài)的概念在橫截面和縱向截面上都沒有切應力作用于內壁的內壓力p和作用于外壁的大氣壓力1415應力狀態(tài)的概念壓力容器內壁應力？用過球心的平面的球分成兩個半球作用在半球上壓力的合力容器截面的內力15sxtxysyxyzxysxtxysyO16平面應力狀態(tài)分析——解析法16規(guī)定：截面外法線同向為正；

ta繞研究對象順時針轉為正；

a逆時針為正。圖1設：斜截面面積為S，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應力xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖217平面應力狀態(tài)分析——解析法17圖1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2同理：18平面應力狀態(tài)分析——解析法18二、極值應力19平面應力狀態(tài)分析——解析法19′′xysxtxysyO20平面應力狀態(tài)分析——解析法20xysxtxysyO21平面應力狀態(tài)分析——解析法21xysxtxysyO在剪應力相對的項限內，且偏向于x

及y大的一側。222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

￠

￠）（22平面應力狀態(tài)分析——解析法22例2分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應力txyCtyxMCxyOtxytyx23平面應力狀態(tài)分析——解析法23破壞分析低碳鋼鑄鐵24平面應力狀態(tài)分析——解析法24對上述方程消去參數（2），得：一、應力圓（StressCircle）xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）25平面應力狀態(tài)分析——圖解法25建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法在坐標系內畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2626sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)

應力圓上一點(，)面的法線應力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2；且轉向一致。2727四、在應力圓上標出極值應力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s328平面應力狀態(tài)分析——圖解法2829平面應力狀態(tài)分析——圖解法2930平面應力狀態(tài)分析——圖解法3031平面應力狀態(tài)分析——圖解法3132平面應力狀態(tài)分析——圖解法323333343435三向應力狀態(tài)3536三向應力狀態(tài)3637三向應力狀態(tài)3738三向應力狀態(tài)3839三向應力狀態(tài)39s3例3求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓0s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內畫出點4040s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應力及主平面如圖

102AB41三向應力狀態(tài)41解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO42三向應力狀態(tài)42解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO43三向應力狀態(tài)43解法2—解析法：60°xyO44主應力力方向三向應力狀態(tài)44解法2—解析法：60°xyO45主應力力方向三向應力狀態(tài)4546幾何方程位移與應變分量之間的關系—幾何方程46一、單拉下的應力--應變關系二、純剪的應力--應變關系xyzsxxyz

x

y47廣義虎克定律47三、復雜狀態(tài)下的應力---應變關系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx48廣義虎克定律48主應力---主應變關系四、平面狀態(tài)下的應力---應變關系:s1s3s249廣義虎克定律49主應力與主應變方向一致?50廣義虎克定律50五、體積應變與應力分量間的關系體積應變：體積應變與應力分量間的關系:s1s3s2a1a2a351廣義虎克定律51例7

已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內主應變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應力及另一主應變。所以，該點處的平面應力狀態(tài)52廣義虎克定律5253廣義虎克定律5323

1圖a圖

c3

-m

1-m2-mm圖bmm54復雜應力狀態(tài)下的變形比能54稱為形狀改變比能或畸形能。圖

c3

-m

1-m2-m55復雜應力狀態(tài)下的變形比能55例9用能量法證明三個彈性常數間的關系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應力表示為：txyA1356復雜應力狀態(tài)下的變形比能56一、引子：1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現象是怎樣產生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP強度理論的概念57二、強度理論：是關于“構件發(fā)生強度失效（failurebyloststrength）起因”的假說。1、伽利略播下了第一強度理論的種子；三、材料的破壞形式：⑴屈服；⑵斷裂。2、馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪應力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。強度理論的概念58一、最大拉應力（第一強度）理論：認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。1、破壞判據：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。四個強度理論及其相當應力59二、最大伸長線應變（第二強度）理論：

認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。1、破壞判據：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。四個強度理論及其相當應力60三、最大剪應力（第三強度）理論：認為構件的屈服是由最大剪應力引起的。當最大剪應力達到單向拉伸試驗的極限剪應力時，構件就破壞了。1、破壞判據：3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。2、強度準則：四個強度理論及其相當應力61四、形狀改變比能（第四強度）理論：認為構件的屈服是由形狀改變比能引起的。當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時形狀改變比能時，構件就破壞了。1、破壞判據：2、強度準則3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。四個強度理論及其相當應力62莫爾認為：最大剪應力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大剪應力及最大正應力的因素，莫爾得出了他自己的強度理論。莫爾強度理論及其相當應力63[y]saaot[

L]O1O2莫爾理論危險條件的推導2、強度準則：1、破壞判據：O3

1

3MKLPN莫爾強度理論：任意一點的應力圓若與極限曲線相接觸，則材料即將屈服或剪斷。莫爾強度理論及其相當應力64三、相當應力：（強度準則的統(tǒng)一形式）。其中，

*—相當應力。3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件及其拉壓極限強度不等的處于復雜應力狀態(tài)的脆性材料的破壞（巖石、混凝土等）。莫爾強度理論及其相當應力65一、強度計算的步驟：1、外力分析：確定所需的外力值。2、內力分析：畫內力圖，確定可能的危險面。3、應力分析：畫危面應力分布圖，確定危險點并畫出單元體，求主應力。4、強度分析：選擇適當的強度理論，計算相當應力，然后進行強度計算。強度理論的應用66二、強度理論的選用原則：依破壞形式而定。1、脆性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論；3、簡單變形時：一律用與其對應的強度準則。如扭轉，都用：2、塑性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論；4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關！當最小主應力小于零而最大主應力大于零時，使用莫爾理論。當最大主應力小于等于零時，使用第三或第四理論。其它應力狀態(tài)時，使用第三或第四理論。強度理論的應用67解：危險點A的應力狀態(tài)如圖：例1

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,為鑄鐵構件，[]=40MPa,試用第一強度理論校核桿的強度。故，安全。PPTTAAst強度理論的應用68例2薄壁圓筒受最大內壓時,測得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知鋼的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，試用第三強度理論校核其強度。解：由廣義虎克定律得:AsxsyxyA所以，此容器不滿足第三強度理論。不安全。強度理論的應用69作業(yè)劉鴻文材料力學第四版P253習題7-14;7-19;7-29;7-36;7-37應力應變分析強度理論70711.二向應狀態(tài)下任意斜截面上的應力

2.二向應狀態(tài)下主應力及其主方向3.二向應狀態(tài)下最大剪應力、最小剪應力及其作用面方應力應變分析強度理論71724廣義虎克定律5平面狀態(tài)下的應力—應變關系應力應變分析強度理論72736.位移與應變分量之間的關系—幾何方程7.三向應力狀態(tài)下的變形比能應變能密度體積改變能密度畸變能密度應力應變分析強度理論73747.強度理論第一強度理論(最大拉應力強度理論)

第二強度理論(最大伸長線應變理論)第三強度理論(最大剪應力強度理論)第四強度理論(形狀改變比能理論)莫爾強度理論莫爾應力圓應力應變分析強度理論74757.7鍋爐直徑D＝1m,壁厚10mm，蒸汽壓力，求內壁主應力，及最大切應力，斜面ab上的正應力剪應力。解：這是典型的二向應力狀態(tài)問題，環(huán)向應力和軸向應力分別是主應力徑向應力下面求斜面ab上的正應力剪應力，已知75767.8已知矩形截面梁上給定截面的彎矩及剪力分別為，，給出截面上1、2、3、4各點的應力狀態(tài)，并求這四點的主應力解：橫截面對z軸的慣性矩下面求各點的應力狀態(tài)和主應力1點的應力分量1點處于單向應力狀態(tài)76772點的應力分量2點處于純剪切應力狀態(tài)77783點的應力分量按照主應力符號規(guī)定78794點的應力分量4點處于單向應力狀態(tài)79807.10薄壁圓筒扭轉－拉伸試驗示意圖如圖所示，已知，

求A點在指定截面上的應力以及主應力大小和方向解：A點指定橫截面上的應力因為是薄壁圓筒，可以使用下面近似公式8081A點指定斜截面上的應力A點的主應力大小A點的主應力方向81827.14在通過一點的兩個平面上，應力如圖所示，單位為MPa，求主應力數值及主平面位置解：建立如下坐標系8283主應力公式主應力力方向單元體草圖83847.19a求下圖所示的應力狀態(tài)下的主應力和最大切應力解:本題屬于三向應力狀態(tài),但是一個方向只有主應力,即已經是主應力面,已經知道一個主應力為,原來問題簡化為二向應力狀態(tài)主應力:最大切應力84857.19b求下圖所示的應力狀態(tài)下的主應力和最大切應力解:本題屬于三向應力狀態(tài),但是一個方向只有主應力,即已經是主應力面,已經知道一個主應力為,原來問題簡化為二向應力狀態(tài)主應力:最大切應力85867.19c求下圖所示的應力狀態(tài)下的主應力和最大切應力解:本題屬于三向應力狀態(tài),但是一個方向只有主應力,即已經是主應力面,已經知道一個主應力為,原來問題簡化為二向應力狀態(tài)主應力最大切應力86877.25列車通過鋼橋時，在鋼橋橫梁的A點用變形儀測量得：試求A點在x-x,y-y方向的正應力，設，問這樣能否求出A點主應力