【選修】5.3.1函數的單調性(1)(第二版)

5.3.1

函數的單調性(1)【選擇性必修第二冊】2學習目標1.理解可導函數的單調性與其導數的關系.重點：利用導數確定函數的單調性以及函數的單調區間.難點：證明不等式及逆向求參數問題.核心素養：數學抽象、數學運算、邏輯推理.2.能夠利用導數確定函數的單調性以及函數的單調區間.3.能夠利用函數的單調性解決有關問題,如證明不等式、求參數范圍等.4.體會求導法則判斷函數的單調性的優越性.3復習回顧一、基本初等函數求導公式[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)二、函數積、商的求導法則[cf(x)]′=cf′(x)[f(x)g(x)]′=f′(x)

g(x)+f(x)

g′(x)yx′

=yu′·ux′三、復合函數導數的求法4

(1)從起跳到最高點,運動員重心處于上升狀態,離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)單調遞增.相應地,v(t)=h′(t)>0.一、函數的單調性與導數的關系xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8圖5.3-15

我們看到,函數h(t)的單調性與h′(t)的正負有內在聯系.那么,我們能否由h′(t)的正負來判斷函數h(t)的單調性呢？(1)當t∈(0,a)時,h′(t)>0,函數圖象是“上升”的,函數h(t)在(0,a)上單調遞增;這種情況是否具有一般性呢？對于高臺跳水問題,可以發現：(2)當t∈(a,b)時,h′(t)<0,函數圖象是“下降”的,函數h(t)在(a,b)上單調遞減.(2)從最高點到入水,運動員重心處于下降狀態,離水面的高度h隨時間t的增加而減小,即h(t)單調遞減.相應地,v(t)=h′(t)<0.xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8圖5.3-16觀察下面一些函數的圖象(圖5.3-2),探討函數的單調性與導數的正負的關系.xyOy=xxyOy=x2xyOy=x3xyO

(1)(2)(3)(4)y′=1>0導數為正單調遞增y′=2x導數不定有增有減y′=3x2≥0導數非負單調遞增y′=-

<0導數為負在(-∞,0)和(0,+∞)上單調遞減7在某個區間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增;一般地,函數f(x)的單調性與導函數f′(x)的正負之間具有如下的關系：在某個區間(a,b)上,如果f′(x)<0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.如圖5.3-3,導數f′(x0)表示函數y=f(x)的圖象在點(x0,f(x0))處的切線的斜率,可以發現：在x=x0處,f′(x0)>0,切線是“左下右上”的上升式,函數f(x)的圖象也是上升的,函數f(x)在x=x0附近單調遞增;在x=x1處,f′(x1)<0,切線是“左上右下”的下降式,函數f(x)的圖象也是下降的,函數f(x)在x=x1附近單調遞減.xyOf(x)=x2圖5.3-3(x0,f(x0))(x1,f(x1))(1)在某個區間內,f

′(x)>0(f

′(x)<0)是函數f(x)在此區間內單調遞增(減)的充分條件,而不是必要條件.例如f(x)=x3在定義域(-∞,∞)上單調遞增,但f

′(x)=3x2≥0.8(2)函數f(x)在(a,b)內單調遞增(減)的充要條件是f

′(x)≥0(f

′(x)≤0)在(a,b)內恒成立,且f

′(x)在(a,b)的任意子區間內都不恒等于0.這就是說,在區間的個別點處有f

′(x)=0并不影響函數f(x)在該區間的單調性.

在某個區間內恒有f

′(x)=0,那么函數f(x)為常數函數;

如果在某個區間上恒有f

′(x)=0,那么函數f(x)有什么特性？

但是如果在某個區間內僅有有限個點所對應的函數值為0,則不能判定f(x)為常數函數.9解:(1)因為f(x)=

x3+3x,所以f′(x)=cosx-1<0.例1

利用導數判斷下列函數的單調性：所以,函數f(x)=sinx-x在(0,π)上單調遞減,如圖5.3-4(2)所示.(2)因為f(x)=sinx-x,x∈(0,π),所以所以,函數f(x)=x3+3x在R上單調遞增,如圖5.3-4(1)所示.f′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.

xyO圖5.3-4(1)f(x)=x3+3xxyO圖5.3-4(2)f(x)=sinx-xπ-π102.注意“臨界點”和“間斷點”：在對函數劃分單調區間時,除了必須確定使導數等于0的點外,還要注意定義域的間斷點.利用導數解決函數單調性問題需要注意：1.定義域優先原則：一定要在定義域范圍內,通過討論導數符號來判斷函數的單調性(單調區間).例1

利用導數判斷下列函數的單調性：

注:不能寫成函數在(-∞,0)∪(0,+∞)上單調遞增.111.

判斷下列函數的單調性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.解：(1)

f′(x)=2x-2,當f′(x)>0,即x>1時,函數單調遞增;當f′(x)<0,即x<1時,函數單調遞減.(2)f′(x)=ex-1,所以函數f(x)=ex-x的單調遞增區間為(0,+∞),單調遞減區間為(-∞,0).所以函數f(x)=x2-2x+4的單調遞增區間為(1,+∞),單調遞減區間為(-∞,1).當f′(x)>0,即x>0時,函數單調遞增;當f′(x)<0,即x<0時,函數單調遞減.xyOf(x)=x2-2x+41xyOf(x)=ex-x12解：當1<x<4時,f

′(x)>0,可知f(x)在區間(1,4)上單調遞增;例2已知導函數f

′(x)的下列信息：綜上,函數f(x)圖象的大致形狀如圖5.3-5所示.當x=1,或x=4時,f

′(x)=0,這兩點比較特殊,我們稱它們為“臨界點”.當x<1,或x>4時,f

′(x)<0,可知f(x)在區間(-∞,1)和(4,+∞)上單調遞減;當1<x<4時,f

′(x)>0;當x<1,或x>4時,f

′(x)<0;當x=1,或x=4時,f

′(x)=0.試畫出函數f(x)圖象的大致形狀.xyO14圖5.3-513

請同學們回顧一下函數單調性的定義,并思考在某個區間上單調的函數f(x)的平均變化率的幾何意義與f′(x)的正負的關系.設函數的定義域為I,區間D∈I,如果x1,x2∈D,

(1)都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在D上是增函數；(2)都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在D上是減函數.當x1＜x2時:

若f(x)在D上是增函數或減函數,則f(x)在D上具有嚴格的單調性,稱D為單調區間.若f(x)在(a,b)內單調遞增,則直線AB的斜率為正,f

′(x)>0;若f(x)在(a,b)內單調遞減,則直線AB的斜率為負,f

′(x)<0.142.

利用導數討論二次函數f(x)=ax2+bx+c的單調區間.解:f′(x)=2ax+b.153.函數y=f(x)的圖象如圖所示,試畫出函數f′(x)圖象的大致形狀.解：在(0,a)和(b,c)上函數不增不減,所以f′(x)=0;在(a,b)上函數單調遞減,且減小得越來越快,所以f

′(x)<0,且f′(x)減小的速度也快.求函數的單調區間的步驟：(1)求導數;(2)判斷f

′(x)的符號(含有參數時需分類討論);(3)得出結論.yy=f(x)xOabcy=f′(x)xOabcy函數的圖象看升降導函數的圖象看正負16在某個區間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增;一般地,函數f(x)的單調性與導函數f′(x)