【創新設計】2011屆高三數學一輪復習 第6知識塊第4講簡單的線性規劃課件 北師大版

【考綱下載】1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組．3．會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決.第4講簡單的線性規劃1．二元一次不等式表示平面區域(1)Ax＋By＋C>0(<0)在平面直角坐標系中表示直線l：Ax＋By＋C＝0某一側所有點組成的平面區域，直線l應畫成

．(2)Ax＋By＋C≥0(≤0)表示直線l：Ax＋By＋C＝0某一側(含邊界直線)所有點組成的平面區域，直線l應畫成

．虛線實線2．線性規劃的有關概念名稱意義線性約束條件由關于x，y的

組成的不等式組目標函數欲達到

所涉及變量x，y的解析式線性目標函數關于x，y的

解析式可行解滿足

的解(x，y)可行域由所有

組成的集合最優解使目標函數取得

或

的可行解線性規劃問題求線性目標函數在線性約束條件下的

的問題一次不等式最大值或最小值一次函數線性約束條件可行解最大值最小值最大值或最小值提示：(1)目標函數的最優解一般在區域的某個頂點處取得，但也有可能是區域的某一邊界或區域內的某一點．(2)最優解可能是一個、多個、無數個．1．下面給出的四個點中，位于

表示的平面區域內的點是(

)

A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)解析：滿足條件

的點都在圖中陰影部分．由圖可知C選項滿足要求．答案：C2．在平面直角坐標系xOy中，滿足不等式組

的點(x，y)的集合用陰影表示為下列圖中的(

)解析：若0<x<1，當y>0時，要使|y|≥|x|，則y≥x；當y<0時，要使|y|≥|x|，則y≤－x；若－1<x<0，當y>0時，要使|y|≥|x|，則y≥－x；當y<0時，要使|y|≥|x|，則y≤x.故選C.答案：C3．已知變量x、y滿足條件

，則x＋y的最小值是(

)

A．4B．3C．2D．1解析：在直角坐標平面內畫出不等式組

所表示的平面區域，作出

直線x＋y＝0，平移該直線，注意觀察當直線平移到經過該平面區域內怎樣的點時，相應直線在x軸上的截距最小．結合圖形不難得知，當平移到經過該平面區域內的點(1,1)時，相應直線在x軸上的截距最小，即此時x＋y取得最小值，最小值等于2.答案：C4．(2009·安徽卷)不等式

組所表示的平面區域的面積等于

．解析：不等式組所表示的平面區域是一個三角形，三個頂點的坐標分別是

，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面積

答案：求線性平面區域的面積可以先根據不等式組畫出相應的平面區域，再求出相應的頂點坐標，根據圖形的特點解決問題．若圖形是不規則的多邊形，一般是劃分為幾個三角形分別求面積再相加．在劃分時盡量多構造直角三角形，這樣可以降低運算難度．

【例1】

(2009·浙江寧波十校聯考)已知點M(a，b)在由不等式組

確定的平面區域內，則點N(a＋b，a－b)所在平面區域的面積是_____．思維點撥：可以設m＝a＋b，n＝a－b，從而轉化為關于m、n的線性約束條件，根據畫出的圖形求面積．解析：由題意得：

，設

，則N(m，n)，∴線性約束條件轉化為：建立如圖所示的平面直角坐標系mOn，可行域如圖中陰影部分所示，則所求面積S=4.答案：4線性目標函數求最值的步驟為：1．作圖——畫出約束條件(不等式(組))確定的平面區域和目標函數所表 示的平行直線系中過原點的直線l；2．平移——將l平行移動至最優解所對應的點的位置；3．求值——解有關方程組求出最優點的坐標，再代入目標函數，求出目 標函數的最值．【例2】

已知實數x，y滿足

，則目標函數z＝x－y的最大值為____．思維點撥：先作出可行域，然后作出與直線x－y＝0平行的直線，通過平移，在可行域內找到最優解，從而求出最大值．

解析：先畫出約束條件的可行域，如圖所示：經分析可知z=x-y在A點取得最大值． =x-y=4-1=3.

答案：3拓展2：將本例中條件“”改為“，且如果目標函數z＝x－y的最小值為－1”，則實數m等于(

)

A．7B．5C．4D．3

解析：畫出x，y滿足的可行域，可得直線y＝2x－1與直線x＋y＝m的交點使目標函數z＝x－y取得最小值，故解解得m＝5.答案：B近幾年有關線性規劃的高考試題中，相當一部分試題是結合其他知識點的綜合題，在作出平面區域后要善于利用幾何意義解決一些特殊函數的最值問題．【例3】實數x，y滿足不等式組

.求z＝x2＋y2的最大值和最小值．思維點撥：畫出可行域后，把問題轉化為兩點間的距離的平方問題．解：

畫出不等式組表示的平面區域如圖所示．陰影部分即點(x，y)所在區域，目標函數z=x2+y2表示點(x，y)到點(0,0)距離的平方．因此z的最小值為點(0,0)到直線x+2y-3=0的距離的平方．得P(5,6)．z的最大值為點O到點P的距離的平方．∴zmax＝(5－0)2＋(6－0)2＝61.變式3：若實數x、y滿足

，則的取值范圍是(

)A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：作出x，y滿足的可行域，如圖中陰影部分，它是以A(0,1)，B(1,2)，C(0,2)為頂點圍成的三角形(不包含邊AC)，設P(x，y)為可行域內任一點，則直線PO的斜率kPO=，由數形結合得，kPO=2是的最小值，故的取值范圍是[2，+∞)．答案：D在線性規劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務，問怎樣統籌安排，能使完成的這項任務耗費的人力、物力資源最小．

【例4】

某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項 目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低 于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每 投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規劃投資后，在這兩 個項目上共可獲得的最大利潤為(

)A．36萬元

B．31.2萬元C．30.4萬元

D．24萬元解析：設對甲項目投資x萬元，對乙項目投資y萬元，獲得總利潤為z萬元，則z＝0.4x＋0.6y，且作出不等式組表示的平面區域，如圖所示，作直線l0：0.4x+0.6y=0，并將l0向上平移，過點C時z取得最大值，即=0.4×24+0.6×36=31.2(萬元)．答案：B【方法規律】1．直線把平面分成的每一個區域內所有點的坐標各同時滿足一個不等式，確定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≤0，≥0)表示直線Ax＋By＋C＝0的哪一側區域，常用下列的方法確定：先由等式定直線，然后在直線的某一側任取(x0，y0)，把它的坐標代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，則和(x0，y0)同側的點都滿足不等式，從而平面區域被找到，否則，直線的另一區域為不等式Ax＋By＋C>0所表示的區域．2．在線性約束條件下，當b>0時，求目標函數z＝ax＋by＋c的最小值或最大 值的求解程序為： (1)作出可行域； (2)作出直線l0：ax＋by＝0； (3)確定l0的平移方向，依可行域判斷取得最優解的點； (4)解相關方程組，求出最優解，從而得出目標函數的最小值或最大值．3．目標函數非線性時，注意目標函數的幾何意義，如斜率，距離等．

4．線性規劃應用題建模的思路：一般以“資源——產品——收益”為主線；設元時將產品數量設為x、y，將收益多少設為z，資源數量為常數a、b、c等．這樣z與x、y之間的關系就是目標函數；而x、y與a、b、c等之間的關系就是約束條件.【高考真題】(2009·山東卷)某公司租賃甲、乙兩種設備生產A、B兩類產品，甲種設備每天能生產A類產品5件和B類產品10件，乙種設備每天能生產A類產品6件和B類產品20件．已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元．現該公司至少要生產A類產品50件，B類產品140件，所需租賃費最少為________元．【規范解答】解析：設租賃甲、乙兩種設備各x、y臺，則目標函數z＝200x＋300y，畫出可行域知目標函數在點(4,5)處取得最小值，故目標函數的最小值為2300，故填2300.答案：2300【探究與研究】這類實際應用型的線性規劃問題是教材重點講解的，各個版本教材上類似例題很多，本題來源于課本的基礎題．如人教A版必修5第三章第三節的例題4等．此類題目在備考中不需要作太多的深挖，以課本為綱即可．1．找不到主要變量；2．列錯可行域和目標函數；3．求解模型時計算出錯．本題也可以通過下面的途徑解決：設u＝5x＋6y，v＝10x＋20y，

代入目標函數z＝200x＋300y＝100u－