【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3知識(shí)塊第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式課件 北師大版

【考綱解讀】1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式1．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：

.(2)商數(shù)關(guān)系：

.sin2α＋cos2α＝1提示：正確理解“同角”的含義：只要是“同一個(gè)角”，那么基本關(guān)系式就成立，不拘泥于“角的形式”，例如：sin2＋cos2＝1等都是成立的，但sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．2．誘導(dǎo)公式α函數(shù)sinαcosαtanαα＋2kπ，k∈Z

－απ＋απ－αsinαcosαtanα－sinαcosα－tanα－sinα－cosαtanαsinα－cosα－tanαα函數(shù)sinαcosαtanα2π－α－α＋α－α＋α－sinαcosα－tanαcosαsinαcosα－sinα－cosα－cosα－sinαsinα【思考】

請(qǐng)你敘述一下如何把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)？答案：1．(2009·全國(guó)Ⅰ)sin585°的值為 (

)

解析：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－答案：A2．α是第四象限角，cosα＝，則sinα＝(

)解析：∵α是第四象限角，∴sinα<0，

∴sinα＝－答案：B3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值為

(

)

A．1 B．2sin2α C．0 D．2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.答案：D4．(2009·北京卷)若sinθ＝－，tanθ>0，則cosθ＝________.解析：∵sinθ＝－<0，tanθ>0，∴θ在第三象限，∴cosθ＝－1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的一般要求是：三角函數(shù)名盡量少，項(xiàng)數(shù)盡量少，盡量使分母 不含三角函數(shù)式，能求出具體值的必須求出值．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)過(guò)程通常遵循 一定的原則，如切割化弦、化異為同、化高為低、化大為小、從繁到簡(jiǎn)等．2．求三角函數(shù)式的值． (1)已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求出這個(gè)角的其他5種三角函數(shù)值．要注意公 式的合理選擇，利用平方關(guān)系時(shí)，要特別注意符號(hào)的選取．這也是分類討論的標(biāo) 準(zhǔn)．(2)關(guān)于sinα，cosα的同次式可化為正切處理．【例1】解：原式＝∵sinαcosα<0，sinαtanα<0，∴α是第二象限的角，∴是第一或第三象限的角，當(dāng)

是第一象限角時(shí)，cos>0，∴原式＝

；當(dāng)

是第三象限角時(shí)，cos<0，∴原式＝－.若sinαcosα<0，sinαtanα<0，化簡(jiǎn)思維點(diǎn)撥：由已知條件確定

的范圍，再把被開方式化成完全平方式，脫掉根號(hào)，去掉絕對(duì)值號(hào)．變式1：(1)(2009·陜西卷)若tanα＝2，則

的值為 (

)解析：原式＝答案：B(2)(2009·遼寧卷)已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθ·cosθ－2cos2θ＝(

)解析：原式＝答案：D利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳．【例2】

化簡(jiǎn)．思維點(diǎn)撥：對(duì)k分奇數(shù)和偶數(shù)兩類后，正確使用誘導(dǎo)公式求解．解：當(dāng)k為偶數(shù)2n(n∈Z)時(shí)，當(dāng)k為奇數(shù)2n＋1(n∈Z)時(shí)，∴當(dāng)k

∈Z時(shí)，原式＝－1變式2：已知f(α)＝(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos 求f(α)的值．解：(1)f(α)＝對(duì)于sinxcosx，sinx＋cosx，sinx－cosx借助平方關(guān)系可知一求二，如(sinx±cosx)2＝1±2sinxcosx；若令sinx＋cosx＝t，則sinxcosx＝(sinx－cosx)2＝2－t2等．【例3】

已知－<x<0，sinx＋cosx＝(1)求sinx－cosx的值；(2)求

的值．解：(1)由sinx＋cosx＝平方得，1＋2sinxcosx＝∴2sinxcosx＝－

(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝又∵－

<x<0，∴sinx－cosx<0，即sinx－cosx＝－(2)由(1)得∴sinx＝－，cosx＝已知sin

θ＋cosθ＝，且

則cos2θ的值是________．解析：由已知sinθ＋cosθ＝

，①得2sinθcosθ＝∴cosθ<0，sinθ>0.(cosθ－sinθ)2＝則sinθ－cosθ＝由①②知cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－變式3：【方法規(guī)律】1．進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形，要善于觀察題目特征，靈活選擇公式，通過(guò)三角變 換達(dá)到化異為同的目的．

2．掌握三角變換的常見技巧：(1)1的代換；(2)sinα＋cosα、sinα－cosα、sin αcosα三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)式子的值，可求其余二式的值．若已知sinα＋cosα＝p，sinαcosα＝q，則可消去α，求出關(guān)系式1＋2q＝p2；(3)關(guān)于sinα， cosα的齊次式可化為關(guān)于tanα的式子．

3．誘導(dǎo)公式的記憶方法是：函數(shù)名不變、符號(hào)看象限(或奇變偶不變、符號(hào)看象限).(12分)若sinθ＝