【創新設計】2011屆高三數學一輪復習 8-6橢圓課件 文 蘇教版

掌握橢圓的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質．

第6課時橢圓【命題預測】

1．本講主要考查橢圓的基本概念和性質，用待定系數法求橢圓方程，橢圓第一、二定義的綜合運用，橢圓中各量的計算，關于離心率e的題目為熱點問題，各種題型均有考查，屬中檔題．2．考綱要求掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，所以，近幾年的高考試題一直在客觀題中考查定義、性質的理解和運用，在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關系．3．在解析幾何與向量的交匯處設計高考題，是近年來高考中一個新的亮點，主要考查：(1)將向量作為工具解答橢圓問題；(2)以解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設條件中．4．利用數形結合法或將它們的方程組成的方程組轉化為一元二次方程，利用判別式、根與系數關系來求解或證明直線與圓錐曲線的位置關系問題．

【應試對策】

率e確定橢圓的形狀，焦點到對應準線的距離p確定橢圓的大小．注意焦點在x軸和y軸上對應的橢圓方程的區別和聯系．涉及橢圓上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及橢圓上的點到某一焦點的距離，常常用橢圓的第二定義．對于后者，需要注意的是焦點與準線的正確對應，不能弄錯．1．在運用橢圓的兩種定義解題時，一定要注意隱含條件a>c，離心問題；準確把握橢圓標準方程的結構特征以及“標準”的含義；要能從橢圓標準方程中讀出幾何性質，能夠利用標準方程解決問題．橢圓的幾何性質是需要重點掌握的內容，要能夠熟練運用其幾何性質來分析和解決問題．特別是橢圓的離心率，作為橢圓的幾何性質之一，是高考的熱點．

2．考綱要求掌握橢圓的定義和標準方程，靈活運用橢圓的定義來解決得到一個關于x(或y)的一元二次方程，再求判別式或應用根與系數關系解題．由判別式可以得到字母關系的范圍；利用根與系數關系、數形結合的思想和“設而不求”的方法可以解決中點弦或弦的垂直等問題．橢圓在解答題的考查中計算量比較大，要有簡化運算的意識：可先運算字母關系，最后代入數值，這樣做可減少運算錯誤，提高運算的準確性．3．解決直線與橢圓問題的通法是：將直線和橢圓的方程聯立、消元，4．由于平面向量具有“雙重性”，與平面解析幾何在本質上有密切的聯， 因此，在解答此類問題時，要充分抓住垂直、平行、長度、夾角的關系， 將向量的表達形式轉化為坐標形式．【知識拓展】

焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的三角形PF1F2稱作焦點三角形，如圖，∠F1PF2＝θ.(1)θ=arccos當r1=r2時，即P為短軸端點時，θ最大，且θmax=arccos(2)

＝

當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2最大，且最大值為bc.

2．焦點弦(過焦點的弦) AB為橢圓

(a>b>c)的焦點弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)．則弦長l＝2a±e(x1＋x2)＝2a±2ex0,通徑最短lmin＝

1．橢圓的定義 (1)平面內的動點的軌跡是橢圓必須滿足的兩個條件：

①到兩個定點F1、F2的距離的

等于常數2a(a>0)．②2a

F1F2. (2)上述橢圓的焦點是

，橢圓的焦距是

. 思考：當2a＝F1F2時動點的軌跡是什么圖形？ 提示：當2a＝F1F2時，動點的軌跡是線段F1F2.

和＞F1、F2F1F22．橢圓的標準方程和幾何性質標準方程＝1(a>b>0)＝1(a>b>0)圖形性質范圍≤x≤

，≤y≤≤x≤

，≤y≤對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1

，A2B1

B2A1

，A2B1

，B2焦距|F1F2|＝離心率e＝∈準線方程x＝±y＝±a，b，c的關系c2＝－a－b－a－babba(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2c(0,1)a2－b2探究：橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關系？提示：離心率越接近1，橢圓越扁，離心率越接近0，橢圓就越接近于圓．

＝0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是________．答案：

1．(2010·東臺中學高三診斷)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足2．已知橢圓的方程是

＝1(a>5)，它的兩個焦點分別為F1、F2，且F1F2＝8，弦AB過F1，則△ABF2的周長為________．

解析：∵a>5，∴橢圓的焦點在x軸上．∴a2－25＝42，a＝

.

由橢圓的定義知△ABF2的周長為4a＝4

答案：4

3．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是__________________．解析：∵2a＝18,2c＝

×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.

答案：

4．(揚州市高三期末調研)已知F1、F2是橢圓

的左、右焦點，弦AB過F1，若△ABF2的周長為8，則橢圓的離心率為________．

解析：由題意知，△ABF2的周長為8，根據橢圓定義得4a＝8，即a＝2.又c2＝a2－b2＝1，所以橢圓的離心率e＝

答案：

5．橢圓上有一點P到左準線的距離為那么P到右焦點的距離為________．解析：a＝5，b＝3，∴c＝4，e＝答案：8∴PF2＝10－2＝8.求橢圓的標準方程主要有定義法、待定系數法，有時還可根據條件用代入法．用待定系數法求橢圓方程的一般步驟是：(1)作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有能．(2)設方程：根據上述判斷設方程

(a>b>0)或

(a>b>0)或mx2＋ny2＝1.(3)找關系：根據已知條件，建立關于a、b、c的方程組．(4)得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求．

【例1】(江蘇南通調研題)一動圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓

O2：(x－3)2＋y2＝81內切，試求動圓圓心的軌跡方程．

思路點撥：兩圓相切，圓心之間的距離與圓半徑有關，據此可以找到動圓圓心滿足的條件．

解：由已知，兩定圓的圓心和半徑分別是O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設條件，可知MO1＝1＋R，MO2＝9－R.∴MO1＋MO2＝10.由橢圓的定義知：M在以O1、O2為焦點的橢圓上，且a＝5，c＝3，b2＝a2－c2＝25－9＝16.故動圓圓心的軌跡方程為

變式1：已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內一定點B(3,0)，動圓P

過B點且與圓A內切，求圓心P的軌跡方程.

解：設|PB|＝r.∵圓P與圓A內切，圓A的半徑為10，∴兩圓的圓心距PA＝10－r，即PA＋PB＝10(大于AB)．∴點P的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓．∴2a＝10,2c＝AB＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，即點P的軌跡方程為

1．橢圓的性質常涉及一些不等關系，例如對橢圓

(a＞b＞0)，

有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1等，在求與橢圓有關的一些量的范圍，或者求這些量的最大值或最小值時，經常用到這些不等關系．

2．求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析，即使不畫出圖形， 思考時也要聯想到圖形．當涉及到頂點、焦點、準線、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系．

關系構造出關于e的等式或不等式，從而求出e的值或范圍．離心率e與a、b的關系：

3．求橢圓離心率問題，應先將e用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些的兩焦點為F1、F2,P是橢圓上一點且 =0，試求該橢圓的離心率e的取值范圍．思路點撥：利用0≤x2≤a2建立關于a與c的不等式．

【例2】即

又

聯立①②消去y得：e2x

＝c2－b2，又c2＝a2－b2，∴e2

＝2c2－a2.

據題意，P點在橢圓上，但不在x軸上，∴0≤

于是0≤2c2－a2<c2，即

變式2：已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°，求橢圓離心率的范圍．

解：設橢圓方程為

＝1(a＞b＞0)，PF1＝m，PF2＝n.

在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.

∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，

∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤

(當且僅當m＝n時取等號)，∴4a2－4c2≤3a2，

∴

∴e的取值范圍是

【例3】設P(x0，y0)是橢圓

(a>b>0)上任意一點，F1為其左焦點．

(1)求|PF1|的最小值和最大值；(2)在橢圓

上求一點P，使這點與橢圓兩焦點的連線互相垂直．

思路點撥：用x0，a，e表示PF1，(1)利用PF1與x0，a，e之間的關系求最值；(2)用PF1、PF2與x0，a，e之間的關系及勾股定理列出x0，a，e的方程，并求x0.

解：(1)對應于F1的準線方程為x＝－

∴PF1＝a＋ex0.又－a≤x0≤a，

∴當x0＝－a時，PF1min＝a＋

當x0＝a時，PF1max＝a＋(2)∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20，e2＝∵

∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2.將數據代入得25＋

代入橢圓方程得P點的坐標為

變式3：已知點P在橢圓 ＝1(a>b>0)上，

F1、F2為橢圓的兩個焦點，

求PF1·PF2的取值范圍．

解：設P(x0，y0)，橢圓的準線方程為y＝±不妨設F1、F2分別為下焦點、上焦點，則

PF2＝a－∴PF1·PF2＝∴當y0＝0時，PF1·PF2最大，最大值為a2；當y0＝±a時，PF1·PF2最小，最小值為a2－c2＝b2.因此，PF1·PF2的取值范圍是[b2，a2]．y0＋a，∵－a≤y0≤a，

1．直線與橢圓位置關系的判定把橢圓方程

＝1(a>b>0)與直線方程y＝kx＋b聯立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，對此一元二次方程有：(1)Δ>0，直線與橢圓相交，有兩個公共點．(2)Δ＝0，直線與橢圓相切，有一個公共點．(3)Δ<0，直線與橢圓相離，無公共點．

2．直線被橢圓截得的弦長公式，設直線與橢圓交于A(x1，y1)，

B(x2，y2)兩點，則AB＝

＝

(k為直線斜率)．

【例4】橢圓C：

＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1，F2，

點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，PF1＝

(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l過圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程．

思路點撥：(1)可根據橢圓定義來求橢圓方程；(2)解法一：設斜率為k，表示出直線方程，然后與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系及中點坐標公式求解；解法二：設出A、B兩點坐標，代入橢圓方程，作差變形，利用中點坐標公式及斜率求解(即點差法)．

解：(1)因為點P在橢圓C上，所以2a＝PF1＋PF2＝6，a＝3.

在Rt△PF1F2中，F1F2＝

故橢圓的半焦距c＝從而b2＝a2－c2＝4，所以橢圓C的方程為

(2)設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)．已知圓的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圓心M的坐標為(－2,1)，從而可設直線l的方程為：y＝k(x＋2)＋1，代入橢圓C的方程得：(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0.

因為A，B關于點M對稱，所以

＝－2，解得k＝

所以直線l的方程為y＝(x＋2)＋1，即8x－9y＋25＝0.(經檢驗，所求直線方程符合題意)變式4：斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點，則

AB的最大值為________．解析：設橢圓截直線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.則有x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴AB＝|x1－x2|＝·＝，當t＝0時，|AB|max＝2．(1)如果已知橢圓＋＝1(a>b>0)上一點P，需要解決有關△PF1F2的問題，由于在△PF1F2中已知F1F2＝2c，

PF1＋PF2＝2a，如果再給出一個條件，△PF1F2可解．(2)當然如果涉及到橢圓上點到焦點的距離，也可考慮由＝和方程推出的結論——焦半徑公式

PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.【規律方法總結】1．求橢圓方程：(1)可通過對條件的“量化”根據兩個條件利用待 定系數法求橢圓的標準方程；(2)可利用求軌跡方程的方法求 橢圓方程．3．在掌握橢圓簡單幾何性質的基礎上，能對橢圓性質有更多的了解，如(1)a＋c與a－c分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值；(2)橢圓的通徑(過焦點垂直于長軸的弦)長，是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值等．4．求橢圓的離心率e＝，可根據已知條件列出一個關于a、b、c的齊次等式，再結合a2＝b2＋c2可得關于e的方程求解，求橢圓的離心率與求橢圓的標準方程相比較，比求橢圓的標準方程少一個條件.

【例5】(2009·重慶卷)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別

為F1(－c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點P使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為________．分析：在△PF1F2中根據正弦定理建立關系式和已知條件比較尋找關于離心率e的不等式．【高考真題】規范解答：根據已知條件∠PF1F2，∠PF2F1都不等于0，即點P不是橢圓的左、右頂點，故P，F1，F2構成三角形．在△PF1F2中，由正弦定理得

＝，則由已知得，即aPF1＝cPF2.設點P(x0，y0)，由焦點半徑公式，得PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，則a(a＋ex0)＝c(a－ex0)．得x0＝，由橢圓的幾何性質知x0>－a，則－a，整理得e2＋2e－1>0，解得e<－－1或e>－1.又e∈(0,1)，故橢圓的離心率e∈(－1,1)．故填(－1,1)．

答案：(－1,1)

【全解密】本題考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質、正弦定理等基礎知識，但試題的核心考查點是分析問題、解決問題的能力，試題給出的 實際上是給出了這個橢圓上點P到左、右焦點的兩條焦半徑之間的一個等量關系，要求考生根據這個等量關系建立關于離心率的不等式，對能力有較高的要求．試題設計新穎，是一道值得仔細品味的試題．【命題探究】橢圓的焦點半徑果在橢圓C：＋＝1(a>b>0)中，點P(x0，y0)，F1，F2分別為左、右焦點，則PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，F1F2＝2c，e為橢圓的離心率，其證明過程如下：由于＝1，故，根據兩點間的距離公式PF1＝=又由于－a≤x0≤a，所以0<－c＋a≤x0＋a≤c＋a，故PF1＝x0＋a＝a＋ex0；根據橢圓定義PF2＝2a－PF1＝2a－(a＋ex0)＝a－ex0，F1F2＝2c.【知識鏈接】

注：(1)通常把PF1、PF2稱為該橢圓的左、右焦點半徑，從這個規律可以看出焦點在x軸上的橢圓的焦點半徑只與點P的橫坐標有關，同理可以寫出焦點在y軸上的橢圓的焦點半徑．(2)由PF1＝a＋ex0知當x0＝－a時，PF1最小，當x0＝a時，PF1最大(雖然這時F1，F2已經不能構成三角形，但我們上面的推導并沒有用到P，F1，F2構成三角形這個條件)．

橢圓離心率范圍問題基本分析思路：求解橢圓的離心率實際上就是建立一個關于離心率的不等式，這個不等式可以通過建立a，b，c的不等式達到目的，在橢圓中建立不等式有如下一些思考途徑：一是橢圓幾何性質，如根據橢圓上點的坐標的范圍與已知條件建立不等式；二是涉及直線與橢圓相交時，直線方程與橢圓方程聯立消元后所得到的一元二次方程的判別式大于零；三是題目中給出的或能夠根據已知條件得出的不等關系式．【方法探究】

【技巧點撥】

在橢圓中，當橢圓上的點不是其長軸的兩個端點時，這個點與橢圓的兩個焦點可以構成一個三角形，這個三角形中一個邊長等于焦距，另兩個邊長之和等于長軸的長，在這個三角形中利用正余弦定理可以巧妙地解決一些問題．【發散思維】本題也可以按如下方法解答：據“規范解答”知PF1＝PF2，由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a，則PF2＋PF2＝2a，即PF2＝.由橢圓的幾何性質知PF2<a＋c，則<a＋c，即c2＋2c－a2>0，所以e2＋2e－1>0，從而可求出離心率e的范圍．【誤點警示】

本題易出現的一個致命的錯誤就是忽視了隱含條件“∠PF1F2，∠PF2F1都不能等于0”，這樣會導致在最后的答案中含有離心率等于－1.解答數學題目要注意對隱含條件的挖掘，確保答案準確無誤，特別是解答選擇題和填空題尤為如此.

1．已知橢圓x2＋＝1和直線y＝2x＋m恒有兩個不同的交點，求兩交點連線的中點軌跡方程．分析：解決直線與圓錐曲線的關系問題，除利用根與系數關系外，也可以運用點差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法．解：設直線與橢圓的兩個交點的坐標為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有①

②

設MN的中點P(x，y)，則x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.又∵＝2，∴2＝－4×