高數下總復習

高等數學(下)期末復習基本概念,基本定理,基本方法第0章空間解幾與向量代數向量的概念與運算,+,-,數乘,數量積,向量積;直角坐標系下向量的運算;向量的夾角,平行與垂直;平面,直線;曲面,柱面,投影柱面,旋轉面,二次曲面圖形;曲線,投影,參數方程.

1.向量:既有大小,又有方向的量,稱為向量.(或矢量)

2.向量的幾何表示法:

用一條有方向的線段來表示向量.AB向量AB的大小叫做向量的模.記為||AB||或一、向量的基本概念1、向量加法(1)平行四邊形法則設有(若起點不重合,可平移至重合).作以為鄰邊的平行四邊形,對角線向量,稱為的和,記作(2)三角形法則二、

向量的加減法2.向量加法的運算規律.交換律,結合律1.定義實數與向量的為一個向量.其中:當

>0時,當

<0時,當

=0時,2.

數與向量的乘積的運算規律:結合律,分配律(<0)(>0)三、數與向量的乘法定理1:兩個非零向量平行存在唯一實數，使得(方向相同或相反)設表示與非零向量同向的單位向量.則四.空間直角坐標系與空間向量的坐標表示1.空間直角坐標系的建立ozxyzxyx軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)組成了一個空間直角坐標系,又稱笛卡爾坐標系，點O叫做坐標原點.o向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式2.引入直角坐標系后,向量的運算:兩向量平行的充要條件.注:在(*)式中,規定若某個分母為零相應的分子也為零.

a//b1.方向角:

非零向量a與x,y,z軸正向夾角,,

稱為a的方向角.2.方向余弦:

方向角的余弦

cos,cos,cos

稱為方向余弦.3.向量的模與方向余弦的坐標表達式ayzx0向量的模與方向余弦的坐標表示式cos2+cos2+cos2=1a0=(cos,cos,cos)設a0是與a同向的單位向量設有兩個向量a、b,它們的夾角為,即:ab=|a||b|cos定義:將數值|a||b|cos

稱為a與b的數量積(或點積

),記作ab.內積五、向量的數量積a

b

=axbx+ayby+az

bz推論:

兩個向量垂直axbx+ayby+az

bz=0坐標表示式abc=ab(1)|c|=|a||b|sin(2)c與a、b所在的平面垂直,(即ca且cb).c的指向按右手規則從a轉向b來確定.則將向量c稱為a與b的向量積,記作:ab.即:c=ab注:

向量積的模的幾何意義.以a、b為鄰邊的平行四邊形,其面積等于|a||b|sin,所以ab的模,等于以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積.定義:設有兩個向量a、b,夾角為,作一個向量c,使得六、兩向量的向量積向量積的性質反交換律ab=

baa

b=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(axbyaybx)k向量積的坐標表示式[1]點法式方程[2]一般方程[3]截距式方程七、空間平面方程八、空間直線方程[1]一般方程[2]對稱式方程[3]直線的參數方程(為參數)[4]直線的兩點式方程[2]顯函數形式

十、空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數方程

十一.柱面給定空間一定曲線，如果直線沿曲線平行移動，則動直線所形成的曲面稱為柱面；動直線稱為柱面的母線，定曲線稱為柱面的準線。

特殊情況：柱面的母線平行于某坐標軸，而準線在與母線垂直的坐標平面上的柱面。設柱面的母線平行于軸，準線是平面上的一曲線.

，求柱面方程。

只含而缺的方程表示母線平行于軸，準線是的柱面；類似地，只含而缺的方程表示母線平行于軸，準線是的柱面；只含而缺的方程表示母線平行于軸，準線是的柱面。1.平行于坐標軸的柱面2.曲線

十二．旋轉曲面給定空間一直線與空間曲線，曲線繞直線旋轉一周所形成的曲面稱為旋轉曲面，定直線稱為旋轉曲面的旋轉軸。特殊情況：坐標平面上的平面曲線繞該坐標平面上的某坐標軸旋轉一周所形成的旋轉曲面.

設在平面上的曲線，繞軸旋轉一周，求旋轉曲面的方程。(1)曲線，繞軸旋轉一周所成的旋轉曲面的方程，只要在方程中，作如下改動，可得旋轉曲面的方程(2)曲線，繞軸旋轉一周所成的旋轉曲面的方程，只要在方程中，作如下改動，可得旋轉曲面的方程(3)曲線，繞軸旋轉一周所成的旋轉曲面的方程，只要在方程中，作如下改動，可得旋轉曲面的方程(4)曲線，繞軸旋轉一周所成的旋轉曲面的方程，只要在方程中，作如下改動，可得旋轉曲面的方程(5)曲線，繞軸旋轉一周所成的旋轉曲面的方程，只要在方程中，作如下改動，可得旋轉曲面的方程(6)曲線，繞軸旋轉一周所成的旋轉曲面的方程，只要在方程中，作如下改動，可得旋轉曲面的方程第八章多元函數微分學多元函數概念(多個自變量),多元初等函數;多元函數極限的概念及求法;連續性,多元初等函數的連續性;偏導數及幾何意義,高階偏導數,方向導數;全微分及與各導數,連續的相互關系;復合函數求導，注意區分和；隱函數和方程組求導，注意用公式和不用公式的區別；曲面的切平面與法線，曲線的切線與法平面；極值，最值，條件極值；梯度及性質．一.二元函數的定義類似地可定義三元及三元以上函數．二、多元函數的極限點P0的鄰域內點,外點,邊界點,聚點(極限點),孤立點邊界,開集,連通集,有界集,開(閉)區域二.求極限方法與一元類似:不同處:洛必達法則,單調有界法則不再有用;相同處:四則運算,夾逼,有界與無窮小,連續等.可代換化成一元;不能用y=kx代入來求極限.注:二元函數要比一元復雜得多.關鍵在于一元中方式簡單;而二元中的方式是任意的；這可用來證明二重極限不存在.連續函數的運算性質

多元連續函數的和、差、積均為連續函數．當分母不為零時，商也是連續函數．

多元連續函數的復合函數也是連續函數．三、多元函數的連續性閉區域上連續函數的性質

在有界閉區域D上的多元連續函數，在D上必有最大值和最小值．

在有界閉區域D上的多元連續函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理一切多元初等函數在其定義區域內是連續的．偏導數一、偏導數的定義及其計算法注fx（x0，y0）即是對一元函數f（x，y0）在x0處求導數；fy（x0，y0）即是對一元函數f（x0，y）在y0處求導數；偏導數的概念可以推廣到二元以上函數如在處具體求偏導數時，僅對涉及的變量求導，其余變量當作常數．因此＋，－，＊，／同一元．1、偏導數存在與連續的關系一元函數中在某點可導

連續，多元函數中在某點偏導數存在連續，連續偏導數存在2、偏導數不再是微商.3、偏導數的幾何意義如圖設M0（x0，y0，z0）是曲面z＝f（x，y）上的一點.幾何意義:混合偏導數二、高階偏導數定義二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.注對于高階混合偏導數，若連續，則混合偏導數與求導順序無關.此時，z

的n階偏導可記為三.全微分的定義四、可微的條件習慣上，記全微分為因此，微分的＋，－，＊，／同一元．多元函數的各偏導數存在并不能保證全微分存在，全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數多元復合函數的求導法則求導法則(鏈式法則)如圖示1.可推廣至任意中間變量和自變量情形;2.求導時,要兼顧到每一個中間變量.隱函數存在定理及求導法則用隱函數求導公式時須注意:1.用隱函數求導公式求導,在分子中出現對函數變量求導數時,函數作為常數.2.不用隱函數求導公式求導,只是用思想方法求導,當出現對函數變量求導數時,函數作為中間變量,微分法在幾何上的應用曲線在M0

處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.法平面：過M0點且與切線垂直的平面.一、空間曲線的切線與法平面空間曲線方程為切線方程為法平面方程為法線方程為切平面方程為二、曲面的切平面與法線稱為曲面在M處的法向量.

稱此極限為f在P（x，y）處沿方向的方向導數.

或存在，記為或.一、方向導數的定義二．方向導數的求法：三.三元函數情形四.多元函數連續、可導、可微的關系函數可微函數連續偏導數連續注判斷一個函數是否可微的策略:

①先看是否連續；②再看偏導是否存在；③最后用定義.方向導存在偏導存在五、梯度的概念注六、梯度的性質

類似于二元函數，此梯度也是一個向量,其方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數多元函數的極值及其求法一、極值1、定義2、多元函數取得極值的條件定義使一階偏導數同時為零的點,稱為函數的駐點.駐點極值點注意：求最值的一般方法：將函數在D

內的所有駐點處的函數值及在D

的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.二、多元函數的最值三、條件極值、拉格朗日乘數法條件極值：對自變量有附加條件的極值．再解方程組:

第九,十章多元函數積分學重積分，線,面積分的定義：和式的極限；性質同定積分，即：線性，區域可加性，１的積分，單調性，估值，中值定理；積分計算的基本思想是要積分變量一個不多,一個不少地跑遍積分域.二重積分計算：1)先x后y，2)先y后x，3)極坐標；三重積分計算：1)先１后２，2)先２后１，3)柱面坐標，４)球面坐標；第一類曲線積分計算：代入，下限小,上限大；第二類曲線積分計算：代入，下限起點,上限終點;第一類曲面積分計算：一投二代；第二類曲面積分計算：一投二代三定號;兩類線,曲面積分的關系:格林公式,高斯公式,斯托克斯公式(計算線,面積分時首選).切向量法向量一、二重積分的概念可積的必要條件積分區域積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當被積函數大于零時,二重積分是曲頂柱體的體積．當被積函數小于零時,二重積分是曲頂柱體的體積的負值．總之，二重積分是曲頂柱體體積的代數和．性質１當為常數時，性質２（二重積分與定積分有類似的性質）二、二重積分的性質性質性質３對區域具有可加性性質4若在D上特殊地則有性質5性質6（二重積分中值定理）（二重積分估值定理）如果積分區域為：其中函數,在區間上連續.三、利用直角坐標系計算二重積分［X－型］如果積分區域為：［Y－型］二重積分化為累次積分的公式（１）區域D特征如圖多用于D是圓及圓的一部分,f含x2+y2.四、利用極坐標系計算二重積分積分技巧點滴1.積分域：直角坐標是矩形，極坐標是圓心在原點的扇形，則各積分限是常數；若被積函數還是相應一元函數的乘積，則二重積分是定積分的乘積；2.絕對值函數要分不同區域去絕對值號．3.積分次序當被積函數是一元或二元函數時,則這些變量的積分靠后.例如被積函數是x的一元函數,則關于x的積分放在最后,一般來說,此類做法可減少定積分的運算.4.區域的對稱性,和被積函數的奇偶性.區域關于y軸對稱即邊界線方程用-x代x后不變,同時被積函數關于x是奇函數即f(-x,y)=-f(x,y),則積分為零;被積函數關于x是偶函數即

f(-x,y)=f(x,y),則積分等于在一半區域上積分的兩倍.區域關于其它坐標軸,被積函數關于相應變量的對稱有同樣的性質三重積分,第一類的線,面積分也具有此對稱性.5.變量的循環對稱.變量x和變量y互換,若區域不變,也是一個使用技巧的機會;有時,也要考慮交換積分變量的次序.使用明顯的重(形)心坐標.一、三重積分的定義與性質Ω的體積V直角坐標系中將三重積分化為三次累次積分．二、直角坐標系下三重積分的計算如圖，方法一：穿線法或稱先一后二注意可見，重點確定:投影域D和上下邊界面z1,z2。方法二：切片法(截面法)或稱先二后一Z（3）三、利用柱面坐標計算三重積分規定：

柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．柱面坐標系中的體積元素為柱坐標系(先一后二)特殊,f寫成一個一元函數和一個二元函數的乘積,D是圓的一部分.柱坐標系(先二后一)特殊,f寫成一個一元函數和一個二元函數的乘積,Dz是圓的一部分或Dz與z無關.四、利用球面坐標計算三重積分如圖，三坐標面分別為圓錐面；球面；半平面．球面坐標與直角坐標的關系為規定：則球面坐標系計算公式特殊,Ω是旋轉面(如繞z軸,則φ是與z軸的夾角)包圍的部分,則在某固定平面(尤其yoz面)上定r和φ的限.若Ω是繞x軸的旋轉面,則φ是與x軸的夾角,則在xoy面上定r和φ的限.球面坐標與直角坐標的關系為一.微元法把定積分的微元法推廣到積分的應用中.

若要計算的某個量U對于閉區域D具有可加性，并且在閉區域D內任取一個直徑很小的閉區域時，相應地部分量可近似地表示為則所求量為積分的應用二.物理應用：1.質量元空間立體:平面薄片:直線:曲面:曲線:第一型曲線積分

一、對弧長的曲線積分的概念1.定義被積函數積分曲線積分和2.存在條件：3.推廣4.性質(同定積分,重積分)二、對弧長曲線積分的計算定理注意:簡言之:代入空間:第二型曲線積分一、對坐標的曲線積分的概念1.定義類似地定義2.存在條件：3.向量形式4.推廣5.性質即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.其它:線性,連續是積分存在的充分條件等.二、對坐標的曲線積分的計算定理特殊情形簡言之:1)代入注意:十三、兩類曲線積分之間的關系：第一型曲面積分一、對面積的曲面積分的定義1.定義2.對面積的曲面積分的性質其它性質同定積分,重積分如線性,二、計算法則按照曲面的不同情況分為以下三種：(一投二代)是在XOY面上的投影二重積分則則第二型曲面積分二.概念及性質被積函數積分曲面類似可定義設有向曲面△S在xoy面上的投影（△S)xy，規定：3.存在條件:2.物理意義:流向曲面∑的流量4.性質:三、計算法(投影法)上+下-注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側.(一投二代三定號)前+后-右+左-二重積分四、兩類曲面積分之間的關系兩類曲面積分之間的聯系一、格林(Green)公式定理1Green公式及其應用邊界曲線L的正向:當觀察者沿邊界行走時,區域D總在他的左邊.二、區域連通性的分類

設D為平面區域,如果D內任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區域,否則稱為復連通區域.復連通區域單連通區域DD三.與路徑無關的四個等價命題條件等價命題(3)(4)證一、高斯公式Gauss公式的實質

表達了空間閉區域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.一、斯托克斯(stokes)公式---------斯托克斯公式

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則Stokes公式的實質:

表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系.斯托克斯公式格林公式特殊情形另有四種形式,例如:便于記憶形式Green公式,Gauss公式,Stokes公式與N-L公式一樣,是建立函數在積分域內部的積分與邊界上的積分之間的關系.4個公式的作用(1)理論上;(2)雙向的計算.但,Green公式,Gauss公式,Stokes公式多用于將邊界線(面)向積分域內部轉化;與此同時,被積函數是向求導的方向轉化(線面積分計算時首選).這時要注意,變量的取值范圍發生了改變.在遇到奇點或邊界不封閉時,要加輔助線,多數為由平行于坐標軸的直線組成的折線;或加輔助面,多數為平行于坐標面的平面.梯度通量環流量散度旋度基本概念:級數(無窮和式),收斂與發散(部分和式的極限),和s,通項,余項,首項,等比級數,P級數,

絕對收斂,條件收斂.基本性質:線性,往后性,加括號性,通項趨于零是收斂的必要條件;正項級數收斂的充要條件是部分和有界;絕對收斂必收斂.正項級數判斂的充分條件(三板斧):1)比值,根值法;2)比較法及極限形式;3)通項不趨于零是發散.一般項級數判別絕對收斂,條件收斂的充分條第十一章級數

件(三板斧):1)比值,根值法判別出絕斂和散;2)比較法及極限形式判別出絕對斂,加萊布尼茨判別法判出條件斂;3)通項不趨于零是發散.冪級數:阿貝爾引理,收斂半徑,收斂區間,收斂域,收斂域內可作加減法,取極限(連續),求導.積分;求和函數;間接展開法.傅立葉級數:傅立葉系數,收斂性定理.三、基本性質收斂級數與發散級數的和一定發散.兩發散級數的和其斂散性則不一定.

線性:(往后性)

(無窮和式的結合律)

(加括號性)

注意收斂級數去括號后所成的級數不一定收斂.收斂的必要條件:如果級數的一般項不趨于零,則級數發散;通項與部分和的關系:1)un＝Sn－Sn－1(n>1),1.比較審斂法推論若，則有相應的性質.

比較審斂法的極限形式:設?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數,如果則(1)當時,二級數有相同的斂散性;(3)當時,若?￥=1nnv發散,則?￥=1nnu發散.(2)當時，若收斂,則收斂;(2)相當于;(3)相當于.注:必須是極限.若未必收斂.?￥=1nnu判別正項級數斂散性的步驟(三板斧):原級數(或適當放大)，用比值審斂法(后項與前項比的極限是否小于1或大于1)或根值審斂法;比值(根值)=1時原級數(或適當放大)，以P-級數為參考級數,用比較審斂法;通項,級數發散;原級數(或適當放大)，以其它級數為參考級數,用比較審斂法,或積分判別法;看部分和Sn是否有上界;用Cauchy收斂原理;用定義,求和s.un0(n→∞)二、一般項級數審斂法判別一般項級數斂散性的步驟(三板斧):對通項取絕對值(或適當放大)后,用比值審斂法或根值審斂法(p<1斂,p>1散);p=1,對通項取絕對值(或適當放大)后,以P-級數為參考級數,用比較審斂法;若發散,對原級數用Leibniz判別法;通項,級數發散;對通項取絕對值(或適當放大)后,以其它級數為參考級數,用比較審斂法,或積分判別法;若發散,對原級數用Leibniz判別法;用Cauchy收斂原理;用定義,求和s.un0(n→∞)冪級數收斂半徑R的特征：注:該定理反之不成立.即:冪級數的收斂半徑為R,未必和函數的分析運算性