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文檔簡介

§1.1傅氏變換及單位脈沖函數本章學習目標1、了解傅里葉積分;

2、理解傅里葉變換;

3、掌握Dirac

函數及傅里葉變換;

4、熟悉傅里葉變換的性質.

一、傅里葉積分定理若函數f(t)在任何有限區間上滿足狄氏條件，且在上絕對可積。則有成立，而左端的f(t)在它的間斷點t處值為

例1求函數的傅里葉積分表達式。

??二.傅里葉變換的概念

即

??????

例題:

例1、求函數：的傅立葉變換，并求的值。

例2、求指數衰減函數的傅立葉變換，并求的值。

在物理和工程技術中,常常會碰到單位脈沖函數.因為有許多物理現象具有脈沖性質,如在電學中,要研究線性電路受具有脈沖性質的電勢作用后所產生的電流；在力學中,要研究機械系統受沖擊力作用后的運動情況等，研究此類問題就會需要我們介紹單位脈沖函數。三、單位脈沖函數在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈沖,現在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數,則當t0時,i(t)=0,由于q(t)是不連續的,從而在普通導數意義下,q(t)在這一點是不能求導數的.如果我們形式地計算這個導數,則得這表明在通常意義下的函數類中找不到一個函數能夠表示這樣的電流強度.為了確定這樣的電流強度,引進一稱為狄利克雷(Dirac)的函數,簡單記成d-函數:有了這種函數,對于許多集中于一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中于一點的質量及脈沖技術中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續分布的量那樣,以統一的方式加以解決.de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數稱為單位脈沖函數。可將d-函數用一個長度等于1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數的積分值,稱為d-函數的強度.tOd(t)1d-函數有篩選性質：可見d-函數和任何連續函數的乘積在實軸上的積分都有明確意義。因為d函數是廣義函數,所以其Fourier變換不是通常意義下的Fourier變換.根據Fourier變換的定義,以及d函數的性質,可得通常,沒有意義.然而由在廣義函數意義下,

性質：證法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例3證明：1和2pd(w)構成傅氏變換對.證法1：由上面兩個函數的變換可得例如常數,符號函數,單位階躍函數以及正,余弦函數等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈沖函數及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對于古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,原象函數f(t)和象函數F(w)構成一個傅氏變換對.在物理學和工程技術中,有許多重要函數不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件例5

求正弦函數f(t)=sinw0t的傅氏變換。例6證明：證：例5計算和根據d函數Fourier變換的,可得例6計算利用,可得因為d(x)是d逼近函數的弱極限,所以由,也可以理解為(1)d

函數Fourier變換的時移和頻移性質

d-函數的傅氏變換為:于是d(t)與常數1構成了一傅氏變換對.根據

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