第8章 梁的變形分析與剛度問題

第8章梁的變形分析與剛度問題本章主要內容彎曲變形的概念梁的撓曲線近似微分方程積分法求梁的變形疊加法求梁的變形梁的剛度校核靜不定梁6-1彎曲變形的概念工程中的彎曲變形現象N8.2梁的撓曲線近似微分方程1、撓度與轉角

梁軸線上的一點在垂直于梁變形前軸線方向的線位移稱為該點的撓度

，用w表示。

比如，C截面的撓度為wC梁任一橫截面繞其中性軸轉動的角度稱為該截面的轉角。

比如，C截面的轉角為θC撓度對坐標的一階導等于轉角2、梁的撓曲線微分方程假設梁的撓曲線微分方程為第五章推導彎曲正應力公式時已知不計剪力對變形的影響，上式可以推廣到非純彎曲的情況依據高等數學，從幾何方面看，平面曲線的曲率可寫成左式中由于略去剪力的影響，并略去了w的一次導數值，故稱為撓曲線近似微分方程。8.3積分法求梁的變形1、積分法的步驟

積分常數C和D的值可通過梁支承處已知的變形條件來確定，這個條件稱為邊界條件。2、舉例以A為原點，取直角坐標系，x軸向右，y軸向上。（1）求支座反力列彎矩方程由平衡方程得：列彎矩方程為：（2）列撓曲線近似微分方程例8.1（3）積分（4）代入邊界條件，確定積分常數在x=0處：將邊界條件代入(c)、(d)得：將常數

C

和D

代入(c)、(d)得：（6）求最大轉角和最大撓度（5）確定轉角方程和撓度方程說明：轉角為正，說明橫截面繞中性軸順時針轉動；撓度為正，說明B點位移向下。例8.2一簡支梁如圖6-9所示,在全梁上受集度為q的均布載荷作用.試求此梁的轉角方程和撓度方程,并確定最大轉角|θ|max

和最大撓度|y|max由對稱關系得梁的兩個支座反力為以A點為原點，取坐標如圖，列出梁的彎矩方程為：（2）列撓曲線近似微分方程并進行積分(1)求支座反力，列彎矩方程簡支梁的邊界條件是：在兩支座處的撓度等于零在x=0處，wA=0；

在x=l處，wB=0（3）確定積分常數邊界條件代入（d），解得將積分常數C，D代入式（c）和（d）得（4）確定轉角方程和撓度方程由對稱性可知，最大撓度在梁的中點處，將x=l/2代入（f），得：（5）求最大轉角和最大撓度又由圖可見，在兩支座處橫截面的轉角相等，均為最大。由式（e）3、分段積分問題

當梁上的外力將梁分為數段時，由于各段梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應地各段梁的轉角方程和撓曲線方程也隨之而異。兩個邊界條件：連續條件：AC段：積分常數：C、DCB段：

積分常數：C、DD點的變形連續條件邊界條件積分常數得以確定梁的最大撓度與位置梁的最大撓度應位于w*=0處。當b無限小時，跨中C點的撓度8.4

疊加法求梁的變形

當梁上同時作用幾個載荷時，梁的總變形為各個載荷單獨作用下梁的變形的代數和。疊加原理、疊加法前提是小變形、線彈性由疊加法得：直接查表例8.3如圖8.5

梁的剛度校核彎曲構件的剛度條件:將吊車梁簡化為如圖例6-12b所示的簡支梁。計算梁撓度的有關數據為：P=50+5=55kN

（1）計算變形

由型鋼表查得

例8.4因P和q而引起的最大撓度均位于梁的中點C，由表6-1查得：由疊加法，得梁的最大撓度為：（2）校核剛度將梁的最大撓度與其比較知：故剛度符合要求。吊車梁的許用撓度為：例8.5將主軸簡化為如圖例所示的外伸梁，主軸橫截面的慣性矩為材料的彈性模量：（1）計算變形由表6-1查出，因P1在C處引起的撓度和在B引起的轉角（圖c）為：由表8.1查得，因P2在C處引起的撓度和在B處引起的轉角（d）為：主軸的許用撓度和許用轉角為：故主軸滿足剛度條件

（2）校核剛度

作業布置:8.2（b）（