第8章 假設檢驗(修改)

第8章假設檢驗了解假設檢驗的基本思想掌握假設檢驗的步驟對實際問題作假設檢驗學習目標：8.1假設檢驗的基本問題8.1.1假設檢驗問題的提出8.1.2假設的表達式8.1.3兩類錯誤8.1.4假設檢驗的流程假設檢驗問題的提出現實生活中，我們經常作出的論斷：上海2006年畢業生首月平均工資2317元我們學校去年的cet-4合格率為98%上月參與購買彩票的彩民中，80%以上的中獎額在100元以下？上述內容都是關于總體參數的一種陳述；如果根據樣本資料得到的樣本指標與它不符，是否能夠說明假設是錯誤的假設檢驗問題的提出假設假設檢驗的例子[例8.1]可口可樂公司生產的雪碧飲料標簽說明其容量為250ml，標準差4ml。現在從市場上隨機抽取50瓶，發現飲料平均容量為248ml。能否據此判定可口可樂公司的產品有欺詐行為？問題8.1的分析產品的標簽意味著產品總體的平均數為μ=250ml，總體的標準差σ=4ml。調查的樣本平均數為=248ml2ml的差距原因可能源于抽樣誤差廠商不誠信那么，如何區別這兩種原因呢？統計上就可以對其進行假設檢驗假設檢驗—假定來源于第一種原因因為抽樣誤差是我們能夠計算和控制的，因此假設樣本平均數與總體平均數的差距完全是由于抽樣誤差引起的；根據抽樣推斷的理論，給定概率保證度，可以確定z的大小，使得下面的式子可以接受：例如，當概率保證度為99%時，zα/2=2.58。小概率事件：在一次試驗中，幾乎不可能發生的事件。例題的檢驗與結論由已知，說明，經過一次抽樣(試驗)，小概率事件發生了，這違背了小概率事件的原理。問題出現在哪里？假設不成立，即2ml的差距不僅僅是由于抽樣誤差引起的，很有可能(99%)是廠商的缺斤少兩。假設檢驗的基本思想事先對總體參數或分布形式作出某種假設，然后利用樣本信息來判斷原假設是否成立采用邏輯上的反證法，依據統計上的小概率原理小概率原理：如果對總體的某種假設是真實的，那么不利于或不能支持這一假設的事件A（小概率事件）在一次試驗中幾乎不可能發生的；如果在一次試驗中A竟然發生了，就有理由懷疑該假設的真實性，拒絕這一假設。假設的表達形式原假設什么是原假設？(nullhypothesis)待檢驗的假設，又稱“0假設”研究者想收集證據予以反對的假設3. 總是有等號,或4. 表示為H0，如：H0：

某一數值例如,H0：

250ml什么是備擇假設？(alternativehypothesis)與原假設對立的假設，也稱“研究假設”研究者想收集證據予以支持的假設總是有不等號:

,

或表示為H1H1：

<某一數值，或某一數值例如,H1：

<250ml，或250ml備擇假設假設檢驗的流程提出假設確定適當的檢驗統計量規定顯著性水平計算檢驗統計量的值；作出統計決策假設檢驗的流程11提出有關總體參數的假設：一般包含兩部分：原假設H0和備擇假設H1根據問題的不同，假設提出的形式有所不同：對前面的例題分別提出不同的假設:目的不同

雙側檢驗：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0單側檢驗：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0

H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0雙側檢驗與單側檢驗

(假設的形式)假設研究的問題雙側檢驗左側檢驗右側檢驗H0m=m0m

m0m

m0H1m≠m0m<m0m>m0雙側檢驗

(原假設與備擇假設的確定)概念：屬于決策中的假設檢驗，不論是拒絕H0還是不拒絕H0，都必需采取相應的行動措施例如，某種零件的尺寸，要求其平均長度為10cm，大于或小于10cm均屬于不合格我們想要證明(檢驗)大于或小于這兩種可能性中的任何一種是否成立因此，建立的原假設與備擇假設應為

H0:

=10H1:

10雙側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)抽樣分布H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統計量拒絕域拒絕域1-置信水平單側檢驗：左側檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統計量拒絕域抽樣分布1-置信水平H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0假設檢驗的流程22設計檢驗統計量設計要求：所設計的檢驗統計量應該與總體參數有關當H0為真時，該統計量的真實分布已知假設檢驗的流程3，43給定顯著性水平和相應的臨界值顯著性水平α的含義：

H0為真時，拒絕H0的概率α通常的取值α所確定的H0的接收域和拒絕域C

相同的α對于單尾檢驗和雙尾檢驗確定的區域不同4根據樣本數據計算統計量，并做出決策假設檢驗中的兩類錯誤假設檢驗的兩類錯誤和檢驗規則檢驗決策H0為真H0非真

拒絕H0

第I類錯誤（α）正確 接受H0正確第II類錯誤（β） I類錯誤——棄真錯誤，發生的概率為αII類錯誤——取偽錯誤，發生的概率為β審判被告原假設：被告無罪，備擇假設：被告有罪。法庭可能犯的第Ⅰ類錯誤是：被告無罪但判他有罪，即冤枉了好人；法庭可能犯的第Ⅱ類錯誤是：被告有罪但判他無罪，即放過了壞人。為了減少冤枉好人的概率，應盡可能接受原假設，判被告無罪，這可能增大了放過壞人的概率。US法庭采用無罪推定的審判準則真實情況:樣本來自μ=μ0的總體真實情況:樣本來自μ=μ1的總體接受H0:μ=μ0拒絕H0判斷正確判斷錯誤(II)判斷錯誤(I)判斷正確8.2一個總體參數的檢驗8.2.1檢驗統計量的確定8.2.2總體均值的檢驗8.2.3總體比例的檢驗8.2.4總體方差的檢驗檢驗統計量的確定假設檢驗最關鍵的步驟：設計合適的檢驗統計量，其一般形式：檢驗統計量的設計，主要考慮下面的因素：1樣本容量2總體標準差是否已知一個總體參數的檢驗Z檢驗（單尾和雙尾）t檢驗（單尾和雙尾）Z檢驗（單尾和雙尾）

2檢驗（單尾和雙尾）均值一個總體比例方差總體均值檢驗總體均值的檢驗

(檢驗統計量)總體是否已知？用樣本標準差S代替t檢驗小樣本量n否是z檢驗

z檢驗大總體均值的檢驗

(2

已知或2未知大樣本)1. 假定條件總體服從正態分布若不服從正態分布,可用正態分布來近似(n30)使用Z-統計量2

已知：2

未知：2

已知均值的檢驗

(例題分析)【例】某機床廠加工一種零件，根據經驗知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態分布，其總體均值為0=0.081mm，總體標準差為=0.025

。今換一種新機床進行加工，抽取n=200個零件進行檢驗，得到的橢圓度為0.076mm。試問新機床加工零件的橢圓度的均值與以前有無顯著差異？（＝0.05）2

已知均值的檢驗

(例題分析)H0:

=0.081H1:

0.081

=

0.05n

=

200臨界值:檢驗統計量:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025決策:結論:

在

=0.05的水平上拒絕H0有證據表明新機床加工的零件的橢圓度與以前有顯著差異2

已知均值的檢驗

(小樣本例題分析)【例】根據過去大量資料，某廠生產的燈泡的使用壽命服從正態分布N~(1020，1002)。現從最近生產的一批產品中隨機抽取16只，測得樣本平均壽命為1080小時。試在0.05的顯著性水平下判斷這批產品的使用壽命是否有顯著提高？(＝0.05)2

已知均值的檢驗

(小樣本例題分析)H0:

1020H1:>1020

=

0.05n

=

16臨界值(s):檢驗統計量:在

=0.05的水平上拒絕H0有證據表明這批燈泡的使用壽命有顯著提高決策:結論:Z0拒絕域0.051.6452

未知大樣本均值的檢驗

(例題分析)【例】某電子元件批量生產的質量標準為平均使用壽命1200小時。某廠宣稱他們采用一種新工藝生產的元件質量大大超過規定標準。為了進行驗證，隨機抽取了100件作為樣本，測得平均使用壽命1245小時，標準差300小時。能否說該廠生產的電子元件質量顯著地高于規定標準？(＝0.05)單側檢驗2

未知大樣本均值的檢驗

(例題分析)H0:1200H1:>1200

=

0.05n=

100臨界值(s):檢驗統計量:在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為該廠生產的元件壽命顯著地高于1200小時決策:結論:Z0拒絕域0.051.645總體均值的檢驗

(2未知小樣本)1. 假定條件總體為正態分布2未知，且小樣本2. 使用t

統計量2

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)【例】某機器制造出的肥皂厚度為5cm，今欲了解機器性能是否良好，隨機抽取10塊肥皂為樣本，測得平均厚度為5.3cm，標準差為0.3cm，試以0.05的顯著性水平檢驗機器性能良好的假設。2

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)H0:=5H1:

5

=0.05df=10-1=9臨界值(s):檢驗統計量:在

=0.05的水平上拒絕H0說明該機器的性能不好

決策：結論：t02.262-2.262.025拒絕H0拒絕H0.0252

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)

【例】一個汽車輪胎制造商聲稱，某一等級的輪胎的平均壽命在一定的汽車重量和正常行駛條件下大于40000公里，對一個由20個輪胎組成的隨機樣本作了試驗，測得平均值為41000公里，標準差為5000公里。已知輪胎壽命的公里數服從正態分布，我們能否根據這些數據作出結論，該制造商的產品同他所說的標準相符？(

=0.05)均值的單尾t檢驗

(計算結果)H0:

40000H1:

<40000

=0.05df=20-1=19臨界值(s):檢驗統計量:

在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為制造商的產品同他所說的標準不相符決策:

結論:

-1.7291t0拒絕域.05總體比例的檢驗

(Z

檢驗)一個總體比例檢驗假定條件有兩類結果總體服從二項分布可用正態分布來近似比例檢驗的Z統計量0為假設的總體比例一個總體比例的檢驗

(例題分析)【例】一項統計結果聲稱，某市老年人口（年齡在65歲以上）的比重為14.7%，該市老年人口研究會為了檢驗該項統計是否可靠，隨機抽選了400名居民，發現其中有57人年齡在65歲以上。調查結果是否支持該市老年人口比重為14.7%的看法？(=0.05)一個總體比例的檢驗

(例題分析)H0:

=14.7%H1:

14.7%

=0.05n

=400臨界值(s):檢驗統計量:在

=0.05的水平上不拒絕H0該市老年人口比重為14.7%決策:結論:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025總體方差的檢驗

(2檢驗)方差的卡方(2)

檢驗檢驗一個總體的方差或標準差假設總體近似服從正態分布檢驗統計量樣本方差假設的總體方差方差的卡方(2)

檢驗

(例題分析)【例】某廠商生產出一種新型的飲料裝瓶機器，按設計要求，該機器裝一瓶一升(1000cm3)的飲料誤差上下不超過1cm3。如果達到設計要求，表明機器的穩定性非常好。現從該機器裝完的產品中隨機抽取25瓶，分別進行測定(用樣本減1000cm3)，得到如下結果。檢驗該機器的性能是否達到設計要求

(=0.05)0.3-0.4-0.71.4-0.6-0.3-1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5-0.2-1.9-0.51-0.2-0.61.1綠色健康飲品綠色健康飲品方差的卡方(2)

檢驗

(例題分析)H0:

2=1H1:

2

1

=0.05df=

25-1=24臨界值(s):統計量:

在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為該機器的性能未達到設計要求

2039.3612.40/2=.05決策:結論:8.3兩個總體參數的檢驗8.3.1檢驗統計量的確定8.3.2兩個總體均值之差的檢驗兩個正態總體參數的檢驗兩個總體的檢驗Z

檢驗(大樣本)t

檢驗(小樣本)t

檢驗(小樣本)Z檢驗F

檢驗均值比例方差獨立樣本總體均值之差的檢驗兩個總體均值之差的檢驗

(12、22

已知)1. 假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都是正態分布若不是正態分布,可以用正態分布來近似(n130和n230)檢驗統計量為兩個總體均值之差的檢驗

(假設的形式)假設研究的問題沒有差異有差異均值1均值2均值1<均值2均值1均值2均值1>均值2H0

1–2=0

1–20

1–20H1

1–20

1–2<0

1–2>0兩個總體均值之差的檢驗

(例題分析)

雙側檢驗！【例】有兩種方法可用于制造某種以抗拉強度為重要特征的產品。根據以往的資料得知，第一種方法生產出的產品其抗拉強度的標準差為8公斤，第二種方法的標準差為10公斤。從兩種方法生產的產品中各抽取一個隨機樣本，樣本量分別為n1=32，n2=40，測得x1=50公斤，x2=44公斤。問這兩種方法生產的產品平均抗拉強度是否有顯著差別？(=0.05)兩個總體均值之差的檢驗

(例題分析)H0:

1-2=0H1:1-2

0

=

0.05n1