彈塑性力學3彈性力學解題方法

第3章彈性力學解題方法按位移求解彈性力學問題按應力求解彈性力學問題平面問題和應力函數半逆解法廣義胡克定律

1678年，R.Hooke發表了固體受力后應力和應變關系的定律—胡克定律。“有多大伸長，就有多大力”各向同性體的胡克定律還可以用應變表示應力。Lamé

彈性常數3-1

按位移求解彈性力學問題

彈性力學的一般問題中，共包含15個未知函數，將用15方程來求解。

對于各向同性的彈性體：

3個平衡微分方程；

6個幾何方程（微分方程）；

6個物理方程（廣義胡克定律）。

邊界條件（與上述方程組成封閉的定解問題）彈性力學問題解法的分類：取位移作為基本未知量?！灰品ㄈψ鳛榛疚粗??！獞Ψò次灰魄蠼鈴椥粤W問題時，取u,v,w作為基本未知量。幾何方程物理方程消去應變平衡方程消去應力Lamé位移方程力的邊界條件消去應力

按位移求解彈性力學問題

優點：未知函數的個數比較少，即僅有三個未知量u,v,w。

缺點：必須求解三個聯立的二階偏微分方程。 按位移求解問題是普遍適用的方法，特別是在數值解中得到了廣泛的應用，例如在有限元法，差分法等數值計算方法中，得到了很好的應用。

例1設有半空間體，單位體積的質量為ρ，在水平邊界上受均布壓力q的作用，試用位移法求各位移分量和應力分量，假設在z=h處z方向的位移w=0。qh解：由于載荷和彈性體對z軸對稱，并且為半空間體可以假設體積應變代入Lamé

位移方程力的邊界條件位移邊界條件位移分量應力分量3-2

按應力求解彈性力學問題 按應力求解彈性力學問題時，取6個應力分量作為基本未知量。變形協調方程物理方程消去應變平衡方程改變形式相容方程體積力為零或為常量推導參照教材應力第一不變量Θ是調和函數左式兩邊分別作Laplace運算應力分量是雙調和函數

按應力求解彈性力學問題

優點：邊界條件比較簡單，并且得到的應力表達式在大多數具體問題中比位移表達式簡單。

缺點：未知函數較多，所要求解的二階偏微分方程比較復雜。 按應力求解比按位移求解一般來說容易些。 但就解決彈性體問題的普遍性而言，按位移求解更具有普遍性。 對于實際問題，適當的選擇求解方法。3-3

平面問題和應力函數平面問題平面問題的分類：①平面應力問題②平面應變問題平面應力問題

構件幾何形狀特征：薄板

外力:平行于中面，沿厚度均勻分布，表面不受外力作用。xyzyzo

表面面力邊界條件： 由于薄板厚度很小，應力分量均勻分布中面平面應變問題

構件幾何形狀特征：具有很長縱向軸的柱體縱向軸 橫截面的大小和形狀沿軸線不變；外力與軸線垂直并且沿軸線不變；主體兩端受固定約束。z方向上位移位移發生在oxy平面內根據幾何方程根據物理方程應力函數 在平面問題中，引進應力函數的概念，往往使求解問題變得簡單。無體力存在時假定平衡方程將自然滿足只需求解以應力函數表示的協調方程平面應力問題：變形協調方程邊界條件 平面問題歸結為求解滿足雙調和方程和給定邊界條件的函數

例2圖示很長的矩形柱體，材料的比重為γ，將其放入形狀相同的剛性槽內若不考慮摩擦力，設應力函數的形式為試求各應力分量、應變分量以及位移分量。haaxyo解：根據Airy應力函數可得應力邊界條件剛性槽的條件針對求解的問題，根據材料力學已知解或彈性體的邊界形狀和受力情況，假設部分應力為某種形式的函數，從而推斷出應力函數；然后用方程和邊界條件確定尚未求出的應力分量，或完全確定原來假設的尚未全部定下來的應力。如能滿足彈性力學的全部條件，則這個解就是正確的解答，如不能滿足全部條件，則需另外假定，重新求解。

由于根據已有解或經驗作了一定假設，使得問題的求解過程得以大大簡化。3-4

半逆解法

例3圖示立柱（厚度為單位厚度），在其側面上，作用有均布剪力τ，試用半逆解法求其應力分布規律。hxyo解：假定縱向纖維互不擠壓代入上式對于y取任何值均應成立對應力分量無影響邊界條件：在x=0處，在x=h處，（主要邊界條件，需精確滿足）在y=0處，hxyo在y=0處，（次要邊界條件，使用圣維南原理建立）應力分量：hxyoxy1ll圖示梁對應的邊界條件：MM——對應于矩形截面梁的純彎曲問題應力分布。(1)例:矩形梁的純彎曲xy1llMM常數d與彎矩M的關系：(1)(2)此結果與材力中結果相同.位移分量的求解xyl1hMM（1）應變分量(a)（2）位移分量(c)(c)(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：整理得：(e)將上式代入式（d），得(f)(f)xyl1hMM（1）兩端簡支(f)(3-3)梁的撓曲線方程：——與材力中結果相同（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點不動）（軸線在端部不轉動）得：(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學中結果相同討論：若取固定端邊界條件為：h/2h/2（中點不動）(中點處豎向線段轉角為零)得到：求得：此結果與前面情形相同。（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應力分量：先由方程（2-27）求出應力函數：(2-26)（3）再讓滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。應力函數法求解平面問題的基本步驟：（1）根據問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量的某種函數形式；（2）根據與應力函數φ(x,y)的關系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件?！肽娼夥ǖ臄祵W基礎：數理方程中分離變量法。半逆解